INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE PROBABILIDADE

história  A história da teoria das probabilidades, teve início na tentativa de explicar jogos de azar, como os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.

PROBABILIDADE Você já jogou par ou ímpar? É possível saber o resultado antes das duas pessoas mostrarem a quantidade representada em suas mãos? Claro que não, mas, em situações como essa, é possível avaliar ou calcular a chance ou a possibilidade de ocorrência de um resultado. A probabilidade é a parte da matemática que ajuda A ENTENDER SITUAÇÕES EM QUE NÃO PODEMOS DIZER ANTECIPADAMENTE, COM CERTEZA, QUAL SERÁ O RESULTADO, MAS APRESENTA AS CHANCES E A POSSIBILIDADE DE SUA OCORRÊNCIA OU NÃO Os fenômenos estudados pela probabilidade, mesmo em condições normais de experimentação, podem variar de uma observação para outra, dificultando a previsão de um resultado futuro.

EXPERIMENTO ALEATÓRIO Realizamos um experimento várias vezes, observando a regularidade ou padrão existente nos resultados desse experimento e associamos esse padrão ou essa regularidade a um número. Esse número é conhecido como a PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE UM EVENTO. Experimento aleatório é todo aquele que, quando repetido muitas vezes, sempre em condições semelhantes, possui resultados imprevisíveis entre os resultados possíveis Se  lançarmos uma moeda ao chão para observarmos a face que ficou para cima, o resultado é imprevisível, pois tanto pode dar cara, quanto pode dar coroa. Se ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o resultado será mais imprevisível ainda, pois aumentamos o número de possibilidades de resultado. A experimentos como estes, ocorrendo nas mesmas condições ou em condições semelhantes, que podem apresentar resultados diferentes a cada ocorrência, damos o nome de experimentos aleatórios.

Exemplos de Experimento aleatório Resultado experimental Jogar uma moeda Cara ou Coroa Retirar uma carta de um baralho Copa, espada, ouro e paus Jogar um dado 1, 2, 3, 4, 5, 6 Selecionar uma peça para inspeção Defeituosa, ou não defeituosa Sorteio de um número em um bingo 1, 2, 3, ....., 60

ESPAÇO AMOSTRAL Ao  lançarmos uma moeda não sabemos qual será a face que ficará para cima, no entanto podemos afirmar com toda certeza que ou será cara, ou será coroa, pois uma moeda só possui estas duas faces. Neste exemplo, ao conjunto { cara, coroa }damos o nome de espaço amostral, pois ele é o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer neste experimento. Representamos um espaço amostral, ou espaço amostral universal como também é chamado, pela letra S. No caso da moeda representamos o seu espaço amostral por: S = { cara, coroa } Se novamente ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o espaço amostral será: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Diagrama da árvore

evento Quando lançamos um dado ou uma moeda, chamamos a ocorrência deste fato de evento. Qualquer subconjunto de um espaço amostral é um evento. Em relação ao espaço amostral do lançamento de um dado, veja o conjunto a seguir: A = { 2, 3, 5 } Note que  ( A está contido em S, A é um subconjunto de S ). O conjunto A é a representação do evento do lançamento de um dado, quando temos a face para cima igual a um número primo.

Classificação de um evento Podemos classificar os eventos por vários tipos. Vejamos alguns deles: Evento Simples Classificamos assim os eventos que são formados por um único elemento do espaço amostral. A = { 5 } é a representação de um evento simples do lançamento de um dado cuja face para cima é divisível por 5. Nenhuma das outras possibilidades são divisíveis por 5.

Classificação de um evento Evento Certo Ao  lançarmos um dado é certo que a face que ficará para cima, terá um número divisor de 72. Este é um evento certo, pois D{720} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720}, obviamente qualquer um dos números da face de um dado é um divisor de 720, pois 720 é o produto de todos eles. O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa um evento certo pois ele possui todos os elementos do espaço amostral  S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

Evento Impossível No lançamento conjunto de dois dados qual é a possibilidade de a soma dos números contidos nas duas faces para cima, ser igual a 15? Este é um evento impossível, pois o valor máximo que podemos obter é igual a doze. Podemos representá-lo por A =  , ou ainda por A = {}.

A probabilidade de um evento ocorrer A probabilidade de um evento ocorrer , considerando-se um espaço amostral , é igual a razão do número de elementos do evento  para o número de elementos do espaço amostral . Sendo E um evento, n(E) o seu número de elementos, S o espaço amostral não vazio e n(S) a quantidade de elementos do mesmo, temos que a probabilidade de E ocorrer é igual a: P(E) = 𝑛 𝐸 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑎𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛 𝑆 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 sendo n(S)≠0. A probabilidade é um número entre zero e um, inclusive, o que significa que no mínimo não a nenhuma hipótese do evento acontecer e no máximo o evento sempre ocorrerá: 0 ≤ P(E) ≤ 1

Números que podem indicar uma probabilidade Considere uma urna contendo os números: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36. Retirando-se uma bola ao acaso o espaço amostral seria: S = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36} Evento A: Retirar um número par A = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36} Evento B: Retirar um número múltiplo de 6 B = { 12, 24, 36} Evento C retirar um número ímpar C = 

No exemplo anterior, existem eventos que podemos considerar certos, ou seja, não há dúvidas que eles irão ocorrer. Esse foi o caso de retirar da urna um número par. P(A) = 9 9 = 1, ou seja, a probabilidade é de 100% Há também eventos impossíveis, ou seja, aqueles que, com certeza, não ocorrerão. Este foi o caso de retirar um número ímpar. P(C) = 0 9 = 0 O evento retirar um número que seja múltiplo de 6 é provável, ou seja, há chances de ocorrência. Pode ser que não ocorra sempre, mas ocorrerá com alguma frequência. P(B) = 3 9 = 0,333... = 33% Dessa forma o número de casos favoráveis de um evento pode ser no máximo, o número total de resultados possíveis.

Professor Bartolomeu Santos Fontes: Livro de Matemática 8º Ano Rede Salesiana http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeConceitos.aspx http://www.somatematica.com.br/emedio/probabilidade2.php