3º ENCONTRO DE MATEMÁTICA 2015 GRE Recife Sul 3º ENCONTRO DE MATEMÁTICA 2015 Resoluções da Lista

GRE Recife Sul 1) (Adaptada - Ufpe) Uma importante ferramenta que permite a visualização gráfica na geometria analítica é a equação segmentária de uma reta, a sua principal característica possibilita destacar os pontos onde a reta intercepta os eixos coordenados, A(0, q) e B(p, 0). Estabelecendo a condição: (x /p + y/q) = 1, sendo assim . de acordo com a figura abaixo observe que as retas r e s são paralelas, e a distância da origem (0,0) à reta “s” é √3. Sabendo-se que a equação reduzida da reta “s” é y=ax+b. podemos afirmar que 6 p² + 4 q² .é igual a: y s doc= q 45º q2= (√3)² +( √3)² r c √3 q² = 6 45º (√6) √3 √3 q = √6 p 45º o x (-√6) p = -√6 45º Assim: 6p² + 4q² 6 (-√6)² + 4(√6)² Resposta C 6 ( 6) + 4(6) 60

2ª Forma de Resolução: Desenvolvida pelos Professores no Encontro: Encontrando a Equação da reta s ms= tg45º =1 y=x +c y=x +c r: x - y +c=0 45º A(0,c) 45º y=x x0 =0 e y0=0 a=1 b=-1 c=c dps 45º 45º 45º B (-c ,0) 6p² + 4q² 6 (-√6)² + 4(√6)² A(0, q) e B(p, 0) Resposta e c = -p = q 6p² + 4q² 6 ( 6) + 4(6) 60

GRE Recife Sul 2. (UFRRJ ) A distância (d) entre o ponto (p) (intersecção entre as retas r e s), com a reta t e o consequente valor do ângulo β que é formado entre as retas r e s são respectivamente iguais a . Achar as equações de r e s Em relação a “r” : A(5,0) B(0,5) mr = 5 - 0 0 - 5 mr= -1 y– y0 = m ( x – xo) p (1,4) y– o = --1 ( x – 5) y = -- x + 5 Equação reta r Em relação a “s” : C(-1,0) D(0,2) ms = 2 - 0 0 –(-1) ms = 2 y = -2x + 2 Equação reta s y– o = -2[ x – (-1)] Ponto de Intersecção -2x + 2 = --x + 5 2x + x = 5 - 2 x = 1 y = -2.1 + 2 y = 4

Do gráfico temos os seguintes pontos da reta t E(1,0) F( 0,1) Para determinar a distância entre o Ponto de intersecção de r com s P1,4) Com a reta t, é necessário que primeiro se determine a equação da reta t : Do gráfico temos os seguintes pontos da reta t E(1,0) F( 0,1) mt = ( 1 – 0 ) ( 0 – 1) mt= -1 Retas r e t paralelas y– y0 = m ( x – xo) y– 0 = --1 ( x – 1) y = -- x + 1 x + y -1 = 0 Equação reta t distância do ponto P a reta r : ax0 + bx0 + c √a² + b² Temos a = 1 ; b=1 c=-1 x0 = 1 y0 = 4 d = 4 √2 d = 4 x √2 √2 x √2 Substituindo : d = 1.(1) + 1 .( 4) -1 √1² + 1² d = 2√2 d = 2√2

Para determinarmos o ângulo entre as retas r e s temos: tg β= mr – ms 1 + msxmr mr = -1 ms = 2 180- ϴ (1,4) tg ϴ = mr – ms 1+– mrxms ϴ βr βs tg ϴ = -1– (2) 1 + (-1)x(2) tg ϴ - 3 1 - 2 tg ϴ = 3 tg ϴ= 3 ϴ= βr- βs ϴ = arctg 3 tg ϴ = mr – ms 1 + msxmr Resposta c

GRE Recife Sul 3.(Uel) Considere os pontos A(0;0), B(2;3) e C(4;1). O segmento BC é o diâmetro da circunferência cuja equação esta representada por: a) x² + y² + 6x + 4y + 11 = 0 b) x² + y² - 6x - 4y + 11 = 0 c) x² + y² - 4x + 9y + 11 = 0 d) x² + y² - 6x - 4y + 9 = 0 e) x² + y² - 4x - 9y + 9 = 0 ° O Centro será o ponto médio de AB C ( xa + xb ) , ya` + yb 2 2 2 A c C ( 4+ 2) , (1` + 3) 2 2 C(3,2) C(3,2) B : O raio “r” será a distância BC / 2 d(BC)2 = (xc – xb)² + (yc –yb)² d(BC)2 = (4– 2)² + (1 – 3)² d(BC)2 = (2)² + (–2)² d(BC) = √8 r = √8/2 d(BC)2 = 4 + 4 Equação geral da circunferência

{ Equação geral da circunferência ϫ: (x – a)² + (y –b)² = r² C(a,b) ϫ: (x –3)² + (y–2)² = (√8/2)² ϫ: (x² –6x + 9) + (y² –4x +4 ) = (8/4) ϫ: (x² + y² –6x -4y + 13 = 2 Logo a equação da circunferência é igual a: ϫ: (x² + y² –6x -4y + 11=0 Resposta b

4. (PUC Campinas) Sejam o ponto P(-3; 0), a reta r de equação y = x + 6 e a circunferência C de equação x²+y²- 4y = 0. é verdade que: a) P pertence ao interior de C. b) P pertence a r. c) r e C não têm pontos comuns. d) r e C interceptam-se em um único ponto. e) r e C interceptam-se em dois pontos Se P pertence ao interior de C então, a distância entre os pontos do centro da circunferência e o ponto P deverá ser menor que r x²+y²- 4y = 0 (x – 0)² + (y – 2)² - 4 = 0 (x – 0)² + (y – 2)² = 4 c( 0, 2) e r= 2 d(cp)2 = (xc – xo)² + (yc –yo)² De P(-3,0) temos: xo = -3 e yo=0 P é externo a C d(cp)2 =[ (0 – (-3)]² + (2–0)² d(cp)2 =[ 3)² + (2)² d(cp) = √13 ˃ 2 b) Se P pertence a r , ele deve satisfazer a equação de r : P(-3; 0), a equação de é y = x + 6 P(-3; 0), a equação de é 0= x + 6 x= -6 ≭ -3 P (-3,0) não satisfaz “r” Portanto o ponto “P”: não pertence a reta r

c) Se r e C não tem ponto comum , então a distância entre os pontos do centro da circunferência e a reta r deverá ser maior que - r: x – y +6 =0 distância do ponto c a reta r : ax0 + by0 + c √a² + b² a=1 b=-1 c=6 xo=0 yo= 2 distância do ponto c a reta r : 1(0) -1(2)+ 6 √1² + (-1)² d= 4 √2 d= 2√2 ˃ 2 r e c não tem pontos comuns (d) e (e) : Se r e C não tem ponto comum então , a reta r não é nem secante nem tangente a C ., Resposta c

5. (Uel) O gráfico abaixo corresponde à função: a) y = 2 sen x b) y = sen (2x) c) y = sen x + 2 d) y = sen (x/2) e) y = sen (4x) Valor médio = 0 Amplitue máxima Imagem sen [ -1 , 1] Temos uma amplitude na imagem de f(x) No gráfico : 2π 3π/2 Imagem (Amplitude) = [2.(-1)] e (2.1) Imagem (Amplitude) = -2 e 2 Valor Médio T : 2π / nº mult. X O n´º que mult. X =1 Período : 2π Amplitue mínima y = 0 + 2 sen x y = 2sen x Resposta a

T = 2π Nº que meltiplica π T=2π/1 = 2π Linha Média Amplitude máxima

(C) faltaram menos de 50 unidades para se alcançar a meta. 6. O gráfico abaixo representa as vendas de aparelhos celulares em uma loja no primeiro semestre do ano. Essa loja tinha uma meta de vender, no primeiro semestre, 250 aparelhos celulares. Pode-se afirmar que: (A) a meta foi atingida. (B) a meta foi superada. (C) faltaram menos de 50 unidades para se alcançar a meta. (D) as vendas ficaram 75 unidades abaixo da meta. (E) as vendas aumentaram mês a mês. 40 35 35 Venda : 20 + 25 + 20 + 35 + 35 + 40 = 175 25 20 20 Meta = 250 aparelhos Venda = 175 aparelhos Diferença = 250 - 175 aparelhos = 75 Resposta D

7. (ENEM) O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo. Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com a seguinte tabela. Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual O investidor fez o melhor negócio: Lucro = Receita – Custo Vendeu por : comprou por Investidor 1 : 460 – 150 = 310 Investidor 2 : 200 – 150 = 50 Investidor 3 : 460 – 380 = 80 Investidor 4 : 100 – 460 = -360 Investidor 5 : 200 – 100 = 100 Resposta a

8. (M120126ES) Observe no plano cartesiano abaixo a representação da reta r de equação y = mx + n. Os valores de m e n, referentes à reta r são, respectivamente iguais a A) – 4 e 4. B) – 4 e 1. C) 1 e – 4. D) 1 e 4. E) 4 e – 4 . y= mx + n ; n coordenada que intercepta eixo y n= -4 Temos no gráfico x = 4 y=0 Logo 0 = 4m -4 m =1 Resposta c

tg ϫ= coeficiente angular : m = -1 a) y= -x – 5 b) y= x + 5 c) y= -x +5 d) y= 5x +5 e) y = -5x +5 a) y= -x – 5 b) y= x + 5 c) y= -x +5 d) y= 5x +5 e) y = -5x +5 De acordo com o gráfico abaixo discriminado Podemos afirmar que a Representação da equação da reta obtida é igual a : tg ϫ= 3 – 1 2 – 4 tg ϫ= -1 tg ϫ= coeficiente angular : m = -1 P(4,1) Q(2,3) y– y0 = m ( x – xo) y– 1 = -1( x – 4) y– 1 = - x + 4) y = - x + 5) Resposta c

10. A equação da reta que passa pelo ponto (2, –1) e tem coeficiente angular ½ . É igual a : y– y0 = m ( x – xo) y– (-1) = 1 /2 ( x – 2) 2 (y + 1) = ( x – 2) 2 y + 2 = x – 2 x - 2y – 4 =0 - - x + 2y – 4 =0 Resposta d

11. Em uma promoção de venda de camisas, o valor a ser pago P pelo consumidor é calculado pela expressão P(x) = -½ x + 35, onde x é a quantidade de camisas compradas (0 ≤ x ≤ 20). O gráfico que representa o preço P em função da quantidade x é X=0 P(x)= 35 x= 20 P (x) = -1/2 20 +35 = 25 Resposta a

12. Na figura o ponto P é a interseção das retas r e s 12. Na figura o ponto P é a interseção das retas r e s. As equações de r e s são respectivamente y = x - 1 e y = -2x + 5. As coordenadas do ponto P são: A) (2,1) B) (1,2) C) (1,0) D) (0,5) E) (1,1) Ponto de Intersecção : y = x - 1 e y = -2x + 5. x - 1 = -2x + 5. 3 x = 6 x = 2 3 x = + 5 +1 . y = 2 - 1 y = 1 Resposta a

13. D11 – Contextualizar em Sala (M090371A9 ) A figura abaixo representa a área de um sítio que foi cercada com 4 voltas de fio de arame farpado. Qual foi a quantidade mínima de arame farpado usada para cercar essa área? A) 472 m B) 480 m C) 952 m D) 960 m 1 Volta = 2 x 50 + 2 x 70 – 2 = 238 4 Voltas = 4 x 238 = 952m Resposta a

Qual é a medida do lado desse terreno? D) 40 metros. E) 50 metros 14. Uma casa, com 899 m2 de área, ocupa uma região retangular de um terreno quadrado, cujo lado mede L metros, conforme mostra o desenho abaixo. Qual é a medida do lado desse terreno? A) 20 metros. B) 29 metros. C) 31 metros. D) 40 metros. E) 50 metros L - 9 (L -11 ) x ( L -9 ) = 899 L² -9L -11L +99 = 899 L -11 L² -20L - 800 =0 ∆ = 20² - 4 x1 x (- 800) =0 ∆ = 3600 √∆ = 60 L1 , l2 = 20 +/- 60 2x1 L1 = -20 Resposta d L2 = 40m

15. Qual é a equação da circunferência de centro C(1,0) e raio r = 3? a) x²+ y² - 2x - 8 =0 b) x²+ y² + 2x – 8 =0 c) x²+ y² - 2x - 5 =0 d) x²+ y² + 2x – 5 =0 e) x²+ y² + 2x – 4 =0 (X – 1)² + ( y – 0)² = 3² X² – 2x +1 + ( y² – y0 + 0²) = 9 X² +y² – 2x +1 = 9 X² +y² – 2x - 8 = 0 Resposta a

GRE Recife Sul Obrigado a todos! Um abraço!