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Revisão do conceito de matrizes
Pesquisa Operacional Prof(a) Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães
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Pesquisa Operacional: Álgebra Linear – revisão de matrizes.
Tema da aula 02 Pesquisa Operacional: Álgebra Linear – revisão de matrizes.
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Matrizes - conceituação
A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa: Química Inglês Literatura Espanhol A 8 7 9 B 6 C 4 5 Para saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.
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Matrizes - conceituação
Representação matricial das notas do exemplo anterior. Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela temos, portanto, uma matriz de dimensão 4 x 4. 4
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Matrizes - conceituação
Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita. 5
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Matrizes - conceituação
Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por: ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz notas, a33 é o elemento da 3ª linha e da 3ª coluna (aluno C, Literatura, nota 5). 6
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Matrizes - conceituação
Representar a matriz A (2 x 3) conforme a equação aij = 2i + j. : a11 = a21 = a11 = 3 a21 = 5 a12 = a22 = a12 = 4 a22 = 6 a13 = a23 = a13= 5 a23 = 7 7
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Soma de matrizes = somar seus elementos individualmente.
Duas matrizes podem ser adicionadas se e somente se elas forem da mesma ordem. Soma de matrizes = somar seus elementos individualmente. O resultado da soma será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais. Simbolicamente, temos que, se C = A + B, então cij = aij + bij, para todo i e j.
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Exemplo: Soma de matrizes Somar: A + B; C + A; B + C e A + D.
A + D não pode ser efetuada pois as dimensões são diferentes. 9
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Subtração de matrizes Duas matrizes podem ser subtraídas se e somente se elas forem da mesma ordem. Subtração de matrizes = subtrair seus elementos individualmente. O resultado da subtração será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais. Simbolicamente, temos que, se C = A - B, então cij = aij - bij, para todo i e j. 10
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Subtração de matrizes Uma matriz pode ser multiplicada por um escalar, multiplicando-se cada elemento da matriz por este escalar.
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Então E - F = E + (-F). Por exemplo.
Subtração de matrizes Subtração entre duas matrizes é equivalente a somar a primeira com o produto da segunda pelo escalar -1. Então E - F = E + (-F). Por exemplo. F multiplicada por -1 12
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Subtração de matrizes Exemplo:
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Produto de duas matrizes
O produto de duas matrizes somente pode ser efetuado se o número de colunas da matriz à esquerda for igual ao número de linhas da matriz à direita. O produto de matrizes é, em geral, não comutativo, ou seja, dadas duas matrizes A e B e seu produto, AB, o produto BA pode não existir e, se existir, pode não ser igual a AB. O produto de duas matrizes tem o número de linhas da matriz à esquerda e o número de colunas da matriz à direita. Ou seja, sendo C = AB, se A é m x n e B é n x p, C é m x p. 14
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Produto de duas matrizes
Exemplo: 15
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Produto de duas matrizes
Exemplo: 16
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Produto de duas matrizes
Exemplo: 17
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Produto de duas matrizes
Exemplo: 18
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Produto de duas matrizes
Exemplo: 19
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Produto de duas matrizes
Exemplo: 20
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Produto de duas matrizes
Exemplo: 21
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Produto de duas matrizes
Exemplo: 22
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Produto de duas matrizes
Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B: A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n): Colunas de A diferente Linhas de B 23
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Exercícios propostos Sejam as matrizes:
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Exercícios propostos Sejam as matrizes: 25
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Memória de aula Conceitue uma matriz. Quais são regras para adição e subtração de matrizes? Como podemos subtrair duas matrizes utilizando um produto escalar? Quais são regras para produto de matrizes? Posso efetuar o produto da matriz A3x2 e B2x5? Posso efetuar o produto da matriz A3x3 e B2x2? Justifique sua resposta.
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Bibliografia indicada
ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para a análise de decisão. Rio de Janeiro: Editora LTC, pg. 244 a 248 LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, versão digital disponível na Internet (
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