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©2000-2001 Prof.ª Gladys Castillo 1 Problema de designação Pesquisa Operacional Prof a Úrsula Lisbôa Fernandes Ribeiro.

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1 © Prof.ª Gladys Castillo 1 Problema de designação Pesquisa Operacional Prof a Úrsula Lisbôa Fernandes Ribeiro

2 © Prof.ª Gladys Castillo 2 O Problema de designação Suponha n trabalhadores a distribuir por n tarefas de forma a que cada trabalhador execute apenas uma tarefa, e que cada tarefa seja executada apenas por um trabalhador. Conhecendo os custos da realização de cada tarefa por cada trabalhador: designar os trabalhadores às tarefas de forma a minimizar os custos O problema de designação é um problema de dimensão (n x n), em que: as variáveis de decisão x ij podem tomar valores 0 ou 1;

3 © Prof.ª Gladys Castillo 3 Número de Possíveis Soluções O Problema de designação envolve a determinação de n! possíveis soluções. Exemplo: para um problema com 5 trabalhadores e 5 tarefas o número de soluções possíveis é igual a 5 ! = 120. para um problema com 10 trabalhadores e 10 tarefas o número de soluções é igual a 10 ! = Obter a solução ótima por tentativa é DIFÍCIL !

4 © Prof.ª Gladys Castillo 4 Destino Origem 1 2 … n Oferta Procura 1 … … c c 11 c c 12 c c 1n c c 21 c c 22 c c 2n c c m1 n1 c c m2 n2 c c mn nn x x 11 x x 12 x x 1n … … x x 21 x x 22 x x 2n … … x x n1 x x x x … … n2 nn Problema de designação Formulação n

5 © Prof.ª Gladys Castillo 5 Problema de designação Formulação Minimizar sujeito a: cada trabalhador é designado a uma só tarefa cada tarefa é executada apenas por um trabalhador

6 © Prof.ª Gladys Castillo 6 Resolução do Problema de Designação Método Húngaro Este método consiste em adicionar ou subtrair valores de forma adequada às linhas e às colunas da matriz de custos de dimensão n n para obter um problema equivalente com n zeros enquadrados na matriz de custos Uma vez transformada a matriz de custos numa matriz com n zeros enquadrados, esses zeros correspondem à designação ótima, tomando: x ij = 1, para os zeros enquadrados da matriz de custos transformada x ij = 0, para os restantes valores

7 © Prof.ª Gladys Castillo Resolução do problema de designação Método Húngaro - Exemplo Considere que existem 5 trabalhadores que devem ser designados a 5 tarefas. A matriz dos custos associados à realização de cada tarefa por cada trabalhador é a seguinte:

8 © Prof.ª Gladys Castillo 8 Resolução do problema de Designação Método Húngaro Início: Redução da Matriz de Custos. 1º. Subtrair aos elementos de cada coluna da matriz de custos o mínimo dessa coluna. 2º. Na matriz resultante, subtrair a cada linha o respectivo mínimo. Iteração: 1º. Desenhar o número mínimo de traços que cobrem todos os zeros da matriz 2º. Critério de parada: o número mínimo de traços é igual a n?. Sim – enquadrar n zeros, um por linha e um por coluna, a solução é ótima. FIM. Não – passar a 3. 3º. Redução da matriz de custos. Determinar o menor valor não riscado. Subtrair a todos os elementos não riscados e somar a todos os elementos duplamente riscados. Considerar de novo todos os zeros livres e voltar a 1 (Iteração)

9 © Prof.ª Gladys Castillo º: Subtrair o menor elemento de cada coluna de todos os elementos dessa coluna = = = = = 8.5 menor elemento da coluna 1 Método Húngaro. Exemplo. Início: Redução da Matriz de Custos.

10 © Prof.ª Gladys Castillo º: Subtrair o menor elemento de cada linha de todos os elementos dessa linha Existe empate na escolha do menor elemento da linha 1 (igual a 0.5). Nas linhas restantes o mínimo é zero, sendo que as linhas restantes não vão ser alteradas = = = = 6 Método Húngaro. Exemplo. Início: Redução da Matriz de Custos.

11 © Prof.ª Gladys Castillo Método Húngaro. Exemplo. Iteração: Critério de parada. 1º. Desenhar o número mínimo de traços que cobrem todos os zeros da matriz. 2º. Critério de parada: o número mínimo de traços é igual a 5?. Não – passar a 3.

12 © Prof.ª Gladys Castillo º. min {elementos da submatriz dos elementos não riscados } = 1.5 4º. Os restantes elementos não são alterados. 2º. Subtrair 1.5 a todos os elementos não riscados. 3º. Somar 1.5 aos elementos na intersecção dos traços Método Húngaro. Exemplo. Iteração: Redução da Matriz de Custos.

13 © Prof.ª Gladys Castillo Método Húngaro. Exemplo. Iteração: Critério de parada. 1º. Desenhar o número mínimo de traços que cobrem todos os zeros da matriz. 2º. Critério de parada: o número mínimo de traços é igual a 5?. Sim – enquadrar 5 zeros, um por linha e um por coluna, a solução é ótima. FIM

14 © Prof.ª Gladys Castillo Matriz inicial de custos Método Húngaro. Exemplo: Solução Ótima. solução ótima é : x 13 = 1, x 24 = 1, x 35 = 1, x 41 = 1, x 52 = 1 com um custo total : = 33.5


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