A MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O ESTUDO DE FUNÇÕES NO CONTEXTO DA EDUCAÇÃO AMBIENTAL Mestranda: Kátia Luciane Souza da Rocha Orientadora: Eleni Bisognin.

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1 A MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O ESTUDO DE FUNÇÕES NO CONTEXTO DA EDUCAÇÃO AMBIENTAL
Mestranda: Kátia Luciane Souza da Rocha Orientadora: Eleni Bisognin

2 SUMÁRIO Proposta do trabalho
Metodologia do Trabalho Pesquisa exploratória ATIVIDADE 1 Quantidade de hectares de terra plantados com eucaliptos no Brasil ATIVIDADE 2 Qual a altura máxima que um eucalipto atinge? Qual a altura mínima para o primeiro corte? ATIVIDADE 3 Consumo de madeira de floresta natural no Brasil ATIVIDADE 4 Levantamento das vantagens e desvantagens da instalação de um a indústria de produção de celulose na região. ATIVIDADE 5 Plantio de Eucaliptos e Pinus, no Brasil. ATIVIDADE 6 Questões econômicas impulsionadas por esse plantio. Considerações Finais

3 O propósito deste trabalho foi de analisar quais as contribuições que a metodologia da Modelagem Matemática, aliada à Educação Ambiental, pode oferecer para o estudo de funções para alunos de 8ª série do ensino fundamental enquanto se explora o tema “cultivo de eucaliptos”

4 D’Ambrósio (1996) propõe que a questão fundamental para melhor ensinar Matemática é partir do contexto sociocultural do aluno, situando-o num ambiente que lhe é familiar, fornecendo-lhe instrumentos que lhe permitam ser um indivíduo atuante e guiado pelo movimento sociocultural vivenciado.

5 São Gabriel está localizada no Pampa Gaúcho, na região da fronteira-oeste do Rio Grande do Sul
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6 São Gabriel está localizada no Pampa Gaúcho, na região da fronteira-oeste do Rio Grande do Sul
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7 Metodologia do Trabalho
Esta experiência foi realizada com alunos de 8ª série do Ensino Fundamental. Os alunos trabalharam em grupos de acordo com suas afinidades. Foram utilizadas 24 horas aula, aproximadamente 2 meses.

8 A metodologia utilizada em sala de aula foi a Modelagem Matemática
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9 PESQUISA EXPLORATÓRIA
Foto1:Visita à fazenda de plantação de eucaliptos

10 Foto2:Visita à fazenda de plantação de eucaliptos

11 Após a visita à fazenda para vivenciar como ocorria o plantio de eucaliptos e como se davam os cuidados com o ambiente cultivado, foram iniciadas as primeiras investigações sobre o plantio de eucaliptos no Bioma Pampa.

12 Com as informações obtidas, a professora e os alunos construíram os gráficos para ter uma melhor percepção de quanto representa essa área cultivada com eucaliptos, representa em relação ao todo.

13 O gráfico mostra a porcentagem do território ocupado pelo Bioma Pampa em relação ao território do Rio Grande do Sul.

14 Neste gráfico é feito um comparativo entre a área cultivada com eucaliptos e o território do município de São Gabriel (5.020 km2). Da área pertencente à empresa responsável pelo plantio de eucaliptos, 84,3 km2 correspondente a 48% do total, já está cultivada com eucaliptos no território de São Gabriel.

15 Com o objetivo de obter mais informações sobre o tema escolhido, programou-se uma palestra com um Engenheiro Florestal para falar sobre a importância do plantio de eucaliptos na região e quais os benefícios e consequências oriundas desse plantio.

16 A palestra ocorreu no dia 10 de novembro de 2008, sob o título: “Conhecendo o Eucalyptus spp”.
Dentre as diversas questões abordadas, foi relatada a origem Australiana dessa árvore exótica e como foram os primeiros anos de seu plantio, desde que foram introduzidas no Brasil, mais precisamente no Rio Grande do Sul, em 1968.

17 Palestra informativa Foto3: palestra sobre o plantio de eucaliptos

18 O palestrante falou sobre a importância do plantio dessa espécie para a região fronteira-oeste do estado do Rio Grande do Sul e quais os principais produtos cuja matéria prima é oriunda do eucalipto.

19 Foi destacado que: a partir da fibra obtém-se a celulose para a fabricação de papel, tecidos sintéticos, cápsulas de remédios; da madeira fabricam-se móveis, postes, pisos; das folhas obtém-se o óleo utilizado para a fabricação de produtos de higiene, limpeza, alimentícios e remédios; do pólen das flores obtém-se ainda o mel de alto valor nutritivo.

20 Também foi abordada a questão relativa a quanto tempo é necessário, após o plantio, para que o eucalipto seja aproveitado pela indústria, além de salientar os aspectos econômicos para a região. Por último, o palestrante analisou as consequências ruins para o Bioma Pampa e para a fauna e flora pampiana.

21 A partir da palestra informativa, os alunos, em sala de aula, foram orientados pela professora a pesquisar nos sites da Associação Brasileira de Produtores de Florestas Plantadas (ABRAF), Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA), Associação Brasileira de Celulose e Papel (BRACELPA), entre outros, para realizar um levantamento de dados sobre a quantidade de hectares de terra plantados com eucaliptos no Brasil. ATIVIDADE 1

22 A partir dos dados coletados, solicitou-se aos alunos que os organizassem numa tabela, onde estivessem relacionados o ano de plantio e a quantidade de hectares plantada no período. Ano de plantio 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Quantidade de hectares Tabela 1: Quantidade de hectares plantadas no Brasil, desde 2000 Fonte: ABRAF, 2008

23 A exploração dos dados foi feita a partir de alguns questionamentos, tais como: -A quantidade de hectares plantada vem aumentando proporcionalmente a cada ano? -Vem diminuindo a cada ano?

24 Observando a tabela de valores os alunos perceberam que a quantidade de hectares plantada estava aumentando ano a ano. Ano de plantio 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Quantidade de hectares

25 Na seqüência, solicitou-se aos alunos que, considerando o período de tempo no eixo “x” e a quantidade de hectares plantados no eixo “y”, marcassem no plano cartesiano, os pontos da tabela e desenhassem o gráfico representativo da situação.

26 Após a construção da tabela, os alunos construíram o gráfico representativo da situação,
Gráfico da equação y = x + b para diferentes valores de “b”

27 O mesmo procedimento foi feito aumentando-se e diminuindo-se o valor do coeficiente “a”.

28 Esta atividade foi elaborada com o auxílio do Excel para que os alunos percebessem que quando se muda o valor de “b” na equação da reta y=ax+b, o gráfico traçado se afasta ou se aproxima do eixo das abscissas, conforme o caso. E, quando se altera o valor de “a”, o que muda no gráfico traçado é o ângulo de elevação da reta em relação ao eixo das abscissas.

29 ATIVIDADE 2 Na visita à fazenda de propriedade de uma das empresas que cultivam eucaliptos, no município de São Gabriel, os alunos indagaram: Qual a altura máxima que um eucalipto atinge? Qual a altura mínima para o primeiro corte?

30 Os técnicos informaram que as sementes são plantadas num viveiro florestal e as mudas são transplantadas aproximadamente aos 90 dias, com altura aproximada de 40 centímetros e que, a partir daí, o crescimento varia de acordo com o solo, com o clima, com o relevo, com a adubação e uso de inseticidas e herbicidas.

31 Na conversa com os técnicos, os alunos descobriram também que um eucalipto sofre o primeiro corte aos sete anos, para fins comerciais de fabricação de celulose, e que nessa idade o eucalipto está com aproximadamente 30 metros.

32 A altura máxima que um eucalipto pode atingir é variável de região para região. Sua altura média é de aproximadamente 50 metros.

33 E para melhor analisar os dados, sugeriu que construíssem o gráfico.
Os alunos organizaram-se em grupos para analisarem o crescimento do eucalipto nos 7 primeiros anos. De posse dos dados, a professora orientou-os a tabelá-los. E para melhor analisar os dados, sugeriu que construíssem o gráfico.

34 Tempo de Vida ( em anos) Altura (em metros) 0,4 1 6 2 13 3 18 4 22 5 25 28 7 30 Altura de uma árvore de Eucalipto Fonte: Aracruz

35 Crescimento de uma árvore de eucalipto
Utilizando o Excel os alunos buscaram uma aproximação dos dados tabelados, obtendo a equação y = 4,3 x + 2,9 que é um modelo que descreve a situação.

36 Pretendia-se, por meio do modelo, descobrir a altura de uma árvore de eucalipto com 50 anos, mas verificou-se que o modelo não era adequado, visto que após 50 anos a altura seria muito grande. Por meio do modelo linear encontrado a altura de uma árvore de eucalipto, com esse tempo de vida, ultrapassaria 215 metros, quando na verdade essa altura atinge, em média, 50 metros.

37 Optou-se, então, revisar o que havia sido construído e buscar dados reais para construir um novo modelo que melhor descrevesse o crescimento de um eucalipto.

38 Desta análise feita ficou claro para os alunos que um eucalipto com 100 anos de idade não ultrapassa a 60 metros de altura. Foi trabalhada então com os alunos, a noção de assíntota, uma vez que com o decorrer do tempo a altura do eucalipto se aproximava de 51 metros, mas não ultrapassava esse valor. .

39 A validação do modelo deu-se confrontando as informações obtidas nas conversas com seus familiares e técnicos da indústria, com os dados obtidos por meio do modelo matemático.

40 Levantamento das vantagens e desvantagens da instalação de uma indústria de produção de celulose na região. VANTAGEM - Muitas das respostas dos alunos apontaram inicialmente as vantagens da vinda da indústria, pois assim seus familiares tiveram a oportunidade de trabalhar. DESVANTAGENS Passado alguns meses do plantio de eucaliptos, a maioria dos trabalhadores foi dispensada, pois nesse momento não é mais necessário a mão de obra de vários trabalhadores, diminuindo os empregados mantidos no setor.

41 Outro ponto levantado por alguns alunos foi em relação ao aproveitamento do solo. O modo como os eucaliptos foram plantados na região não permite a plantação de outra cultura o que dificulta o sustento das famílias. 41

42 ATIVIDADE 3 Uma informação obtida pelos alunos durante a pesquisa exploratória referente ao plantio de eucaliptos, foi sobre o consumo de madeira de floresta natural no Brasil. Percebendo o interesse dos alunos a professora solicitou que pesquisassem esse assunto.

43 No site da Associação Brasileira de Florestas Plantadas (ABRAF) os alunos obtiveram os seguintes dados sobre o consumo de madeira de florestas naturais Ano Quantidade de Madeira (1000 m3) 1989 1990 1991 92.615 1992 93.876 1993 85.159 1994 83.179 1995 77.744 1996 72.474 1997 67.228 Fonte: ABRAF, 2008 Consumo de Madeira de Floresta Natural m3

44 A partir dos dados dispostos na tabela questionou-se:
a relação entre o consumo de madeira de floresta natural e o ano correspondente é uma função? Por quê?

45 Os alunos responderam afirmativamente ao questionamento e justificaram ser uma função, pois à medida que aumentava o tempo, diminuía a quantidade de madeira e a cada ano corresponde um valor diferente

46 ATIVIDADE 4 A partir da palestra proferida na etapa da exploração do tema, descobriu-se que desde 1950 as empresas vêm produzindo celulose de eucaliptos como alternativa à celulose de Pinus. Em 1961, uma das empresas passou a produzir papel exclusivamente a partir da celulose de eucalipto e, três anos depois, começou a exportar celulose

47 Assim, o Brasil passava da condição de importador para exportador
Assim, o Brasil passava da condição de importador para exportador. Com um ciclo de corte médio de sete anos, o eucalipto tornou-se a melhor opção para a produção de papel de imprimir e escrever, papel para a imprensa e papel sanitário.

48 A tabela a seguir mostra o número de toneladas de celulose produzidas a cada ano, a partir de 1995 até 2007. Ano ( a partir de 1995) Celulose produzida (toneladas) 1 4.900 2 5.601 3 6.100 4 6.687 5 7.270 6 7.863 7 8.412 8 9.100 9 9.700 10 10.340 11 10.700 12 11.400 13 11.998

49 A partir da tabela, foram “ajustados” os valores pela professora para que os alunos pudessem interpretar os dados por meio de um modelo linear e os representassem num gráfico.

50 Foi solicitado aos alunos que construíssem uma tabela com os novos valores representados,marcassem no plano cartesiano esses valores e construíssem um novo gráfico.

51 Os alunos conseguiram construir uma tabela indicando na coluna à esquerda o ano e na coluna à direita, a quantidade de toneladas de celulose produzida. Um dos grupos construiu a seguinte tabela:

52 O mesmo grupo construiu o gráfico correspondente.

53 A professora indagou: é possível descobrir quantas toneladas de celulose serão produzidas em 2010?

54 Esta foi uma tarefa difícil para os alunos.
A maioria dos alunos partiu de imediato para a construção da equação matemática, indicando a quantidade de toneladas produzidas por y e os anos solicitados por x, a partir da tabela e do gráfico construídos anteriormente. Esta foi uma tarefa difícil para os alunos.

55 ATIVIDADE 5 Na palestra inicial do desenvolvimento deste trabalho, foi abordada a questão do Plantio de Eucaliptos e Pinus, no Brasil. Eucaliptos Pinus

56 Os dados trazidos pelo palestrante desde o ano 2000 foram mostrados por meio de um gráfico, na figura abaixo, indicando a quantidade de hectares plantados destas espécies no Brasil.

57 Este questionamento gerou discussão na sala, pois cada um tinha uma observação diferente. Salienta-se a análise de um dos grupos que observou que o Plantio de Pinus não foi significativo, pois o gráfico representativo do total de árvores plantadas está muito próximo do gráfico que representa o Plantio de Eucaliptos. Foi solicitado aos alunos que pesquisassem sobre as vantagens e desvantagens do plantio de eucaliptos e destacassem as principais ideias para posterior apresentação e discussão em sala de aula.

58 Os grupos pesquisaram no site da ABRAF (2008) e destacaram os seguintes parágrafos:
“A sociedade necessita cada vez mais de produtos de base florestal para a sua sobrevivência e conforto. As florestas nativas antes abundantes em todo o mundo, estão cada vez mais escassas e ameaçadas de desaparecerem. O pouco que resta é indispensável para manutenção da biodiversidade e de diversos serviços ambientais.”

59 Continuando a pesquisa...
São inúmeras as formas de contabilizar as riquezas geradas nas comunidades próximas ao cultivo do eucalipto. Entre elas, empregos diretos e indiretos, recolhimento de impostos, ... 4.bp.blogspot.com/.../s400/CHARGE+EUCALIPTO.bm

60 “O eucalipto também remove gás carbônico (CO2) da atmosfera, contribuindo para minimizar o efeito estufa e melhorando o microclima local. Por fim, o eucalipto protege os solos contra processos erosivos, conferindo-lhes características de permeabilidade, aumentando a taxa de infiltração das águas pluviais e regularizando o regime hidrológico nas áreas plantadas”.

61 “Em tempos de mudanças climáticas, as árvores têm, então, um papel estratégico no equilíbrio ambiental. Elas são naturalmente envolvidas na redução do gás carbônico atmosférico, principal responsável pelo aquecimento global (efeito estufa). Além disso, as árvores também contribuem para a proteção dos recursos hídricos e para o combate à desertificação.

62 “ Do eucalipto também se obtém óleos usados em produtos de limpeza, alimentícios, perfumes e remédios. Há, ainda, o mel, bastante apreciado, produzido a partir do pólen de suas flores. A contribuição do eucalipto para o desenvolvimento sustentável do Brasil é crescente. As atividades ligadas ao setor florestal já respondem por boa parcela do nosso PIB e geram milhões de empregos diretos.”

63 Essa atividade teve como propósito incentivar os alunos a pesquisarem sobre o tema e destacar aspectos que acharam importantes no texto. A apresentação oral foi um momento difícil para eles, mas conseguiram expressar suas idéias. Tinha-se como objetivo propiciar aos alunos uma oportunidade de se expressarem com clareza e ter capacidade de resumirem as principais idéias. A apresentação dos parágrafos pelos alunos serviu de motivação à outras atividades tais como a elaboração de redações nas aulas de Português.

64 Nesta aula, a professora retomou as discussões sobre as informações contidas no gráfico apresentado pelo palestrante e sugeriu aos alunos que dispusessem os dados do gráfico em uma tabela, indicando o ano de plantio por “x” e a quantidade de árvores plantadas por “y”.

65 Ela desafiou-os a encontrar uma função que descrevesse a evolução da quantidade de hectares de florestas plantadas de pinus e de eucaliptos. É possível prever a quantidade de hectares plantados em 2010, e 2015 2020?

66 Como os dados fornecidos pelo palestrante não descreviam uma reta os alunos calcularam a média aritmética dos valores e reescreveram a tabela acrescentando essa média ano a ano, conforme se pode observar na tabela construída pelos alunos Ano de Plantio (x) Pinus (Hectares) Eucaliptos 2000 22.155 2001 22.058 2002 21.961 2003 21.864 2004 21.767 2005 21.670 2006 21.573 2007 21.476 2008 21.379 2009 21.282 2010 21.185

67 Assim, o grupo 1 optou por escrever a tabela completando até o ano de 2010, para responder a questão sobre a previsão de hectares que seriam plantadas de Pinus e de Eucaliptos, neste ano Sobre as equações que descrevem a evolução do plantio, os alunos desse grupo sugeriram y = – 97x e y = x para as plantações de Pinus e Eucaliptos, respectivamente.

68 A professora indagou: Por que o coeficiente “a” da primeira equação da reta é negativo?
Esse grupo de alunos era mais atento e responderam que era porque a plantação de pinus estava diminuindo. Observou-se nesse momento que os alunos foram capazes de transferir um conhecimento já obtido para uma nova situação.

69 Para a previsão da quantidade de hectares plantados para os anos de 2015 e 2020, o grupo optou por substituir os valores de x na equação e encontraram os valores de e hectares previstos com a plantação de Pinus, respectivamente.

70 Para o plantio de Eucaliptos, o grupo encontrou os valores de 563
Para o plantio de Eucaliptos, o grupo encontrou os valores de hectares para o ano de 2015 e hectares para o ano de 2020.

71 Após a construção da tabela, a professora sugeriu aos alunos que construíssem o gráfico representativo da situação, incluindo os anos de 2010, 2015 e O gráfico abaixo foi elaborado pelos alunos desse grupo.

72 ATIVIDADE 6 A partir das discussões oriundas das atividades anteriores sobre as vantagens e desvantagens da plantação de eucaliptos na região, emergiu o debate referente às questões econômicas impulsionadas por esse plantio.

73 Os alunos estavam interessados em saber se havia ganhos para o Brasil com a silvicultura.
Para responder a essa indagação os alunos foram orientados a lerem os artigos referentes ao assunto, nos sites das empresas responsáveis pelo plantio e cultivo de eucaliptos no país e trazerem, para a sala de aula, dados que pudessem ser debatidos e posteriormente analisados, sob o ponto de vista matemático.

74 São apresentadas a seguir algumas questões que foram
A maioria dos alunos focou suas buscas nas exportações de produtos oriundos de florestas plantadas. Vários produtos foram citados como fundamentais para o setor florestal, mas optou-se em analisar aqueles cujas informações eram detalhadas sob o ponto de vista quantitativo, permitindo assim uma análise matemática mais eficiente. São apresentadas a seguir algumas questões que foram trazidas pelos alunos e debatidas em sala de aula.

75 Grupo 1 Trouxe informações a respeito da venda de madeira de florestas plantadas. Segundo as pesquisas que fizeram no site da Associação Brasileira de Florestas Plantadas – ABRAFLOR -, o setor florestal aparece em 3º lugar na lista de exportações em 2007, graças à venda de madeira oriunda de florestas plantadas.

76 A ABRAFLOR afirma que o Brasil exportou, em 2007, US$ 587 milhões, em produtos madeireiros oriundos de florestas plantadas, tais como assoalhos, molduras, pisos, decks, portas, aplainados, móveis, etc., registrando um aumento de 26% em relação ao ano anterior. Com esta informação, os alunos partiram para a coleta de dados a respeito de quanto o Brasil vem exportando em produtos oriundos de florestas plantadas na última década

77 De posse dos dados, foram orientados a organizá-los em uma tabela relacionando o ano com a quantidade de milhões de dólares exportados. Essa atividade foi realizada na sala de informática e os alunos utilizaram o programa Excel, como uma ferramenta de auxílio ao trabalho proposto.

78 Valores em Milhões de Dólares – Exportações
Dados obtidos e tabelados por um dos grupos Ano Valores em Milhões de Dólares – Exportações 1997 2.318 1998 2.383 1999 2.822 2000 2.697 2001 2.771 2002 3.274 2003 3.947 2004 4.226 2005 4.386 2006 5.658 Importação de Produtos de Florestas Plantadas em milhões de dólares

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80 Professora: Que curva os pontos do gráfico sugerem? que curva
Os alunos observaram que havia uma diferença no gráfico, com relação aos anteriores. Como o objetivo da atividade era explorar a função determinada pelos dados obtidos, a professora fez algumas indagações: Professora: Que curva os pontos do gráfico sugerem? que curva Alunos: Lembra uma parábola, mas não muito bem ... Professora: Será possível encontrarmos uma função cujo gráfico se aproxima dessa curva?

81 A professora ajudou-os a utilizar o Excel para fazer os ajustes necessários e encontraram a equação y = 33x2 + 2x como um modelo matemático capaz de ilustrar o comportamento dos dados referentes às exportações dos produtos oriundos de florestas plantadas no Brasil. 2950 3273 3662 4117 4638 5225 2318 2377 2502 2693 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Período desde 1997

82 Assim, a professora questionou sobre quais foram as mudanças percebidas no gráfico construído a partir da função dada, quando comparado com o gráfico construído a partir dos dados coletados. Os alunos referiram-se apenas ao alinhamento dos pontos.

83 Solicitou-se aos alunos que usassem a função y = 33x2+ 26x e organizassem uma nova tabela indicando o período desde 1997 até 2006 e quais os valores em milhões de dólares obtidos ano a ano.

84 Valor das Exportações - Milhões de Dólares
Ano Valor das Exportações - Milhões de Dólares 1997 33. (0) (0) = 2.318 1998 33. (1) (1) = 2.377 1999 33. (2) (2) =2.502 2000 33. (3) (3) =2.693 2001 33. (4) (4) =2.950 2002 33. (5) (5) =3.273 2003 33. (6) (6) =3.662 2004 33. (7) (7) =4.117 2005 33. (8) (8) =4.638 2006 33. (9) (9) =5.225

85 Analisando com os alunos os dados da tabela, a professora questionou-os sobre valor de “y” para os diferentes valores de “x”: Qual o valor de “y” quando x = 0? Comparando a função y = 33 x2 + 26x com a função quadrática y = a x2 + b x + c qual o valor de “a”, de “b” e de “c”? Que significado geométrico tem os coeficientes?

86 Na sequência, ainda questionou:
Professora: Com relação ao coeficiente “c”, onde ele está localizado no gráfico? Aluno: No eixo “y”. Professora: Sim, tem-se o valor de “c” no eixo y, quando x = 0. Professora: Qual foi o menor valor de exportação neste período? Aluno: Em Professora: Quanto? Aluno: milhões de dólares...professora agora apareceu “de novo” o valor de “c”.

87 Alguns alunos perceberam que o significado do coeficiente “c” estava relacionado com o valor de “y” quando x = 0. Essa conclusão foi colocada pela professora para todos os alunos Em seguida, a professora os incentivou a relacionarem o coeficiente “a” com a curva sugerida pelo gráfico, para que percebessem que a concavidade estava voltada para cima.

88 Professora: A parábola está voltada para cima ou para baixo?
Aluno: Para cima. Professora: E qual o valor do coeficiente “a” da equação? Aluno: O valor é 33. Professora: e 33 é maior que zero, ou seja é positivo. Então podemos afirmar que quando o coeficiente “a” da equação for maior que zero a parábola estará voltada para cima. Aluno: e vai estar voltada para baixo quando o coeficiente “a” for negativo? Professora: Vamos analisar alguns gráficos para concluir.

89 A professora apresentou para os alunos vários exemplos, com diferentes valores do coeficiente “a” para que os alunos percebessem o efeito geométrico produzido pelos diferentes coeficientes, considerando valores positivos e negativos.

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91 Foi dado um tempo para os alunos analisarem os gráficos e perceberem a diferença quando o valor do coeficiente “a” variava. No final, a professora fez um esquema no quadro destacando que, se o coeficiente “a” é positivo a parábola está voltada para cima e se “a” for negativo, a parábola está voltada para baixo.

92 Em seguida, foram analisados os gráficos para valores de “a” entre 0 e 1 e para os valores maiores do que 1. O uso do Excel ajudou os alunos a estabelecerem as diferenças e tirarem as conclusões. Aqueles que duvidavam das conclusões podiam comprovar fazendo o gráfico da função

93 Na sequência, a professora retomou o gráfico referente à equação y = 33x x e explorou com os alunos o valor do discriminante da equação. A professora lançou a seguinte pergunta aos alunos: o gráfico intercepta o eixo x? Os alunos disseram não haver intersecção com o eixo “x”. A professora perguntou: por que não? Os alunos não souberam responder. Logo após, a professora perguntou também sobre a intersecção com o eixo “y”.

94 Com o intuito de melhor compreender o significado das intersecções do gráfico com o eixo “x” e com o eixo “y”, foram analisados vários gráficos. Primeiramente foi traçado o gráfico da função y = x2 + 2 x – 3. Para essa função, foi destacado que o gráfico intercepta o eixo dos “x” em dois pontos x1 = -3 e x2 = 1, que são raízes da equação y = x2 + 2 x – 3.

95 Na análise, foram colocadas várias questões:
Professora: como podemos descobrir as raízes? Aluno: calculando o discriminante. Professora: muito bem, então calculem o discriminante de y = x2 + 2 x – 3. Aluno: deu 16. Professora: o que podemos afirmar sobre as raízes dessa equação a partir do discriminante? Aluno: ...se ele é maior que zero, as raízes são diferentes.

96 A professora usou outros exemplos para que os alunos percebessem a relação entre o valor do discriminante e a existência das raízes. Foram analisados os gráficos de várias funções quadráticas para distinguir qual equação do tipo ax2 + b x + c = 0 possui duas raízes reais distintas, uma raiz dupla e quando a equação não possui raízes reais.

97 Grupo 2 Apresentou informações relacionadas à quantidade de produtos que o Brasil ainda compra do exterior. À exemplo do grupo 1, os alunos construíram uma tabela e representaram graficamente os dados obtidos.

98 Valores em Milhões de Dólares - Importações
Ano Valores em Milhões de Dólares - Importações 1997 1.219 1998 1.168 1999 1.099 2000 899 2001 749 2002 736 2003 645 2004 624 2005 840 2006 990 Importação de Produtos de Florestas Plantadas em milhões de dólares Fonte: BRACELPA

99 Na análise do gráfico, os alunos perceberam que os dados marcados “anunciavam” uma função quadrática, pois havia uma curva que sugeria uma parábola. Assim, a professora fez os ajustes necessários e obter a função y = 30x x

100 Importação em Milhões de Dólares
Foi solicitado, então, que os alunos, a partir da função y = 30x x , organizassem uma nova tabela indicando o período desde 1997 até 2006 e quais os valores em milhões de dólares referentes ano a ano. Ano Importação em Milhões de Dólares 1997 30.(0) (0) = 1219 1998 30.(1) (1) = 989 1999 30.(2) (2) = 819 2000 30.(3) (3) = 709 2001 30.(4) (4) = 659 2002 30.(5) (5) = 669 2003 30.(6) (6) = 739 2004 30.(7) (7) = 869 2005 30.(8) (8) = 1.059 2006 30.(9) (9) = 1.309

101 Também foi solicitado que um novo gráfico fosse traçado a partir da tabela e questionou-se sobre as mudanças percebidas quando comparado com gráfico anterior. Milhões de US$ 1400 1309 1200 1219 1000 1059 989 800 869 819 600 709 739 659 669 400 200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Período desde 1997

102 Os alunos apontaram que a diferença entre os dois gráficos estava no seu desenho, pois agora os pontos estavam bem alinhados e que, novamente com os ajustes, os valores haviam mudado sensivelmente. Referiram que a quantidade inicial das importações em 1997 foi de milhões de dólares e que isso representava o coeficiente “c” da função.

103 A professora questionou também sobre quais os períodos de crescimento e decrescimento nas importações de produtos de florestas plantadas desde Os alunos analisaram corretamente e afirmaram que de 1997 a 2001 houve uma diminuição nas importações de produtos de florestas plantadas, voltando a crescer a partir de 2001 até 2006

104 ... e os questionamentos continuaram:
Professora: Qual foi o ano em que as importações foram menores neste período? Aluno: No ano de 2001. Professora: Quanto? Aluno: 659 milhões de dólares. Professora: O que representa o número 659, no gráfico?

105 A intenção com este questionamento era de que os alunos percebessem que o número 659 representava o vértice da parábola. Então foi sugerido que fizessem os cálculos lembrando que o vértice da parábola é o ponto.

106 Com os cálculos feitos alguns alunos obtiveram o ponto
e outros escreveram na forma decimal, obtendo V = (4,3 ; 655,7), com o uso de arredondamentos em uma casa decimal, conforme figura .

107 O grupo 2 fez os cálculos e representaram primeiramente no caderno:

108 Logo após, questionou-se sobre qual seria o conjunto imagem desta função. Para esse questionamento, lembrou-se aos alunos que, se a função apresenta o coeficiente “a” maior que zero, ela apresenta um ponto mínimo.

109 Então a imagem será formada por todos os valores pertencentes ao conjunto dos números reais maiores ou iguais ao yv, no caso O conjunto imagem foi expresso por: Im (f) = ou Im (f) =

110 Na continuidade do diálogo a professora pergunta:
o que podemos afirmar a partir de 2001? Os alunos observaram que a partir do ano de 2001 as importações oriundas de produtos de florestas plantadas aumentaram. qual o valor de x no ponto de intersecção com o eixo y? No gráfico os alunos apontaram o ano de 1997 com milhões de dólares

111 Assim, partiu-se para a análise do gráfico, explorando-se os coeficientes da equação da parábola.
Com relação aos valores do coeficiente “a”, afirmaram ser positivo, pois a concavidade da parábola estava voltada para cima, mas com relação ao coeficiente “b”, não chegaram a nenhuma conclusão

112 Não foi explorado o significado do coeficiente “b” da equação y = a x2 + b x + c por tratar-se de alunos de oitava série. Um aluno do grupo indagou: se o valor de “a” for negativo, as raízes são as mesmas? A professora então os orientou a fazerem os cálculos para verificarem a situação.

113 Então os alunos do grupo 3 fizeram os cálculos e desenharam o gráfico

114 Confrontando os valores das raízes da equação
y = – 30 x2 – 260 x = 0 com as raízes de y = 30x2 – 260 x = 0, os alunos concluíram que, ao variar o sinal do coeficiente “a”, as raízes da equação também variam.. Essas atividades foram realizadas utilizando somente lápis e papel

115 Considerações Finais Esta pesquisa objetivou investigar a contribuição da Modelagem Matemática para o estudo de funções, tendo como tema integrador o plantio de eucaliptos. Constatou-se que o Plantio de Eucaliptos na região, nos últimos anos, provoca inquietações na sociedade local, tanto no que diz respeito às questões ambientais, quanto sociais e econômicas.

116 Por meio de um problema real local, no caso as incertezas quanto aos benefícios que o Plantio de Eucalipto pode trazer para a região fronteira-oeste do Rio Grande do Sul, os alunos tiveram a oportunidade de aprender Matemática e ao mesmo tempo conhecer questões que permeiam a sua realidade.

117 Das observações registradas e da análise das atividades desenvolvidas pelos alunos pode-se concluir que o uso da Modelagem Matemática, relacionando problemas oriundos da vivência dos alunos, teve resultados mais positivos do que as abordagens convencionais. A compreensão dos fenômenos relacionados ao cotidiano possibilitou a construção de modelos que aliaram conhecimentos multidisciplinares com os conteúdos matemáticos ajudando-os na compreensão destes fenômenos de uma maneira crítica e integradora.

118 A dinâmica do trabalho em grupo se mostrou relevante, pois através das experiências individuais, aliadas às pesquisas realizadas pelos grupos, aprofundou-se o conhecimento dos alunos sobre a problemática levantada no início do trabalho.

119 Comprovou-se que: Grupos de trabalhos se fazem necessários para uma dinâmica mais participativa, onde o aluno passa da passividade das aulas explicativas, onde ele é mero espectador e “depositário” de informações, para uma dinâmica integrativa e criativa. (CALDEIRA, 2009, p.4)

120 Assim, considera-se que esta dissertação trouxe contribuições para a discussão do uso da Modelagem Matemática no ensino de funções, tendo como espaço de investigação os problemas ligados à problemática do plantio de eucaliptos na região fronteira-oeste do Rio Grande do Sul.