Números Complexos Profª.: Juliana Santos.

Apresentação em tema: "Números Complexos Profª.: Juliana Santos."— Transcrição da apresentação:

1 Números Complexos Profª.: Juliana Santos

2 Conteúdo Programático
Aula 1: Números complexos: uma abordagem histórica Introdução aos números complexos Forma algébrica dos números complexos Aula 2: Os números complexos e sua representação geométrica Conjugado do número complexo Divisão de números complexos Aula 3: Módulo de um número complexo Forma trigonométrica dos números complexos Aula 4: Multiplicação e divisão de números complexos na forma trigonométrica Aula 5: Potenciação e radiciação de complexos na forma trigonométrica

3 AULA 1 Números Complexos – Uma Abordagem Histórica
Aos números complexos é atribuído grande esforço e “tortura mental” (como disse Girolamo Cardano) dos maiores matemáticos da história. A primeira vez que alguém se deparou com problemas que envolviam números complexos foi por volta do século I d.C.. Desde então, matemáticos como Cardano ( ), Tartaglia (1499/ ), Del Ferro ( ), Bombelli ( ), Euler ( ), Gauss ( ), dentre outros, aperfeiçoaram bastante o conceito e o estudo em torno dos complexos. E, no entanto, até hoje, existem ainda muitas questões em aberto.

4 Introdução aos Números Complexos
Vamos tratar inicialmente um número complexo como sendo um par ordenado (a,b). A partir daí, podemos utilizar as seguintes propriedades: IGUALDADE: (a,b) = (c,d)  a=b e c=d ADIÇÃO: (a,b) + (c,d)  (a+c , b+d) MULTIPLICAÇÃO: (a,b)(c,d)  (ac – bd , bc + ad) Exemplos: (x, -2) = (1, y)  x = 1 e y = -2 (3, -8) + (-1, 7)  (3-1 , -8+7)  (2, -1) (0, 5)(3, -2)  [ 0.5 – 5.(-2) , (-2) ]  (-10, 15)

5 Forma Trigonométrica dos Números Complexos
Existem muitas maneiras de definir o conjunto ℭ (o conjunto dos números complexos), onde estão definidas operações de adição e de multiplicação. Além disso, é importante saber que os números reais também estão incluídos em ℭ, e: Existe um número complexo i com i2 = -1. Todo número complexo pode ser escrito de uma maneira única na forma a + bi, onde a e b são reais (a é chamado parte real e b é chamado parte imaginária do complexo a + bi). Assim: z = a + bi

6 Usando as propriedades que vimos anteriormente, podemos operar com complexos de maneira análoga à que operamos com reais, com o cuidado de tomar i2 = -1. Exemplos: (5 + 3i) + (8 + 5i) = (3 + 5)i = i (7 + 2i)(4 – 3i) = 7(4 – 3i) + 2i(4 – 3i) = 28 – 21i + 8 – 6i2 = ( )i = 34 – 13i (6 + 7i) – (4 + 2i) + (1 – 10i) = 6 – 4 + (7 – 2)i (1 – 10i) = (2 + 5i) + (1 – 10i) = (5 – 10)i = 3 – 5i (5 + 4i)(1 – i) + (2 + i)i = 5(1 – i) + 4i(1 – i) + (2.i + i.i) = (5 – 5i + 4i – 4i2) + (2i + i2) = (9 – i) + (-1 + 2i) = 9 – 1 + (-1 + 2)i = 8 + i

7 Uma observação importante!
Já sabemos que i² = -1. Dessa forma, temos que: i¹ = i i² = -1 i³ = i².i = (-1).i = -i i4 = (i²)² = (-1)² = 1 i5 = i4.i = 1.i = i ... Logo, para potências maiores do que i², como a 4ª potência, os resultados começam a se repetir, então dividimos o valor da potência por 4 e elevamos i ao resto da divisão. Exemplo: i74 = i² = 2

8 AULA 2 Os Números Complexos e sua Representação Geométrica
Da definição adotada, ocorre que podemos pensar no número complexo z = a + bi como o ponto (a, b) no plano cartesiano cujas coordenadas a e b são exatamente como as coordenadas x e y do plano. Exemplo: z = 1 + 2i Onde a corresponde a x e b corresponde a y.

9 Conjugado de um Número Complexo
Seja o número complexo z = a + bi. Temos que o seu conjugado é dado por Ou, na forma de par ordenado: se z = (a, bi), então Exemplos: z = a – bi z = (a, –bi) . z = a – bi = (a, –bi) z = a + bi 10 + 5i 10 – 5i - 2 – i - 2 + i z = (a, bi) (0, 6i) (0, -6i) (-7, -3i) (-7, 3i) z = a – bi z = (a, –bi)

10 O conjugado de z também pode ser representado geometricamente no plano
O conjugado de z também pode ser representado geometricamente no plano. Exemplos: Seja z = 1 + 2i. Logo, z = 1 – 2i

11 Divisão de Números Complexos
A partir do estudo do conjugado de z, agora é possível efetuar divisões entre dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, tal que z2 ≠ 0. Isto é, para calcular basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Exemplo: Dados os complexos z1 = 1 + i e z2 = 1 – i , efetuar : Solução:

12 AULA 3 Módulo de um Número Complexo
Dado um número complexo z = a + bi, chama-se módulo de z (|z|) ao número real não negativo: Geometricamente, |z| mede a distância de 0 a z, ou seja, mede o módulo do vetor que representa o complexo z.

13 Exemplos: Se z = 1 + i , |z| = ? Se z = 3i , |z| = ? Solução: Se z = 3 + 4√2i , |z| = ? Se z = √2 – i.√2 , |z| = ?

14 Forma Trigonométrica dos Números Complexos
Vimos que um número complexo pode ser pensado como um ponto do plano de coordenadas (a, b) ou como um vetor , de origem O e extremidade (a, b). A representação z = a + bi dá ênfase às coordenadas do ponto z. Uma representação que dá ênfase aos elementos geométricos do vetor é obtida do seguinte modo: Indiquemos por o comprimento de que suporemos diferente de zero e por θ o ângulo positivo xOz, que também é chamado argumento de z (arg(z)).

15 Então temos e Como r = |z| , vem: e
Isto é, z = a + bi = r . cos θ + r . sen θ . i ou z = |z| . (cos θ + i . sen θ) que é chamada forma trigonométrica dos números complexos.

16 Uma observação importante!
Os números complexos na sua forma trigonométrica também têm sua representação geométrica no plano. Exemplo: √3 1

17 AULA 4 Multiplicação e Divisão de Complexos na Forma Trigonométrica
Se z1 = |z1|.(cos θ1 + i.sen θ1) e z2 = |z2|.(cos θ i.sen θ2) são as formas trigonométricas dos complexos z1 e z2, então:

18 Exemplos: Sejam e , z1.z2 = ? Solução:

19 Exemplos: Sejam e , z1.z2 = ? Solução:

20 AULA 5 Potenciação e Radiciação de Complexos na Forma Trigonométrica
Se z = |z|.(cos θ + i.sen θ) é a forma trigonométrica do número complexo z e n € , então: Exemplo: Calcular z³ , sendo Solução:

21 Se z = |z|.(cos θ + i.sen θ) é a forma trigonométrica do número complexo z, então existem n raízes enésimas de z que são da forma: Exemplos: Calcular as raízes cúbicas de 8. Solução: Temos que z = 8 , então |z| = 8 e θ = 0 . Pela fórmula dada, vem: , então k= 0, 1 e 2

22 Contato: julianna_stos@hotmail.com