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Prof. Roberto Cristóvão robertocristovao@gmail.com
Aula 12 Séries
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Séries Se tentarmos somar os termos de uma sequência infinita obteremos uma expressão da forma que é denominado uma série infinita (ou apenas série) e é denotada, por simplicidade pelo símbolo
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Séries Mas faz sentido falar sobre a soma de uma quantidade infinita de termos?
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Séries Seria impossível encontrar uma soma finita para a série porque, se começarmos adicionando os termos, obteremos as somas cumulativas e depois do -ésimo termo, que se torna muito grande à medida que aumenta.
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Séries Contudo, se começarmos a somar os termos da série obteremos
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Séries Podemos observar que quando adicionamos mais e mais termos, essas somas parciais se tornam cada vez mais próximas de 1. Dessa forma, parece razoável dizer que a soma dessa séria infinita é 1 e escrever
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Séries Dada uma série usamos uma idéia parecida para determinar se ela tem uma soma ou não.
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Somas Parciais
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Somas Parciais Essas somas parciais formam uma nova sequência que pode ou não ter limite. Se existir o chamaremos de soma da série infinita
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Série Convergente Definição: Dada uma série Seja sua -ésima soma parcial: Se for convergente e então a série é dita convergente e caso contrário, a série é divergente.
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Exemplo 1 Série geométrica Se então Como não existe, a série geométrica diverge nesse caso.
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Série geométrica Se temos subtraindo essas equações, obtemos
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Série geométrica Se então quando então Então, quando a série geométrica converge, e sua soma é
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Série geométrica Se ou a sequência é divergente, assim não existe. Portanto, a série geométrica diverge naqueles casos.
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Prova Geométrica Por semelhança de triângulos temos
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Resumindo A série geométrica é convergente se e sua soma é Se a série geométrica divergente.
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Exemplo 01 Encontre a soma da série geométrica Solução:
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Graficamente
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Exemplo 02 A série converge ou diverge? Solução: Diverge !
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Exemplo 3 Escreva o número como fração de inteiros. Solução:
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Exemplo 4 Encontre a soma da série onde Solução:
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Exemplo 5 Mostre que a série é convergente e encontre sua soma. Solução:
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Exemplo 5
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Exemplo 6 Mostre que a série harmónica diverge.
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Solução
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Obrigado !
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