TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA.

Apresentação em tema: "TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA."— Transcrição da apresentação:

1 TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA

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3  caso contínuo: aplica-se à divisão de objectos que podem ser divididos numa grande variedade de partes, por exemplo, bolos, pizzas, terrenos, dinheiro, etc.;  caso discreto: aplica-se à divisão de objectos que não podem ser subdivididos em partes mais pequenas (ou não tão facilmente divisíveis) , por exemplo, casas, rebuçados por crianças, lugares num parlamento;  caso misto: aplica-se à divisão de um conjunto constituído por objectos dos dois tipos acima referidos, por exemplo, uma herança constituída por um carro e algum dinheiro .

4 Caso Contínuo Método do divisor-selector Método do divisor-único
Método do selector-único Método do último a diminuir Método da faca deslizante Divisão Justa

5 DIVISÃO JUSTA “Partilhar de forma justa um conjunto S de objectos por um conjunto de N jogadores consiste em dividir S de forma a que cada um dos N jogadores receba uma parte justa, isto é, receba uma parte que, na sua opinião, valha pelo menos 1/N do valor total de S.”

6 O processo é interno Os jogadores devem agir de forma racional Os jogadores não devem ter conhecimento das preferências dos outros jogadores

7 MÉTODO DO DIVISOR-SELECTOR
1º Passo: O jogador P1 divide o conjunto S em duas partes; 2º Passo: O jogador P2 escolhe uma das partes; 3º Passo: O jogador P1 fica com a parte que P2 não escolheu;

8 Exercício: ? O Nuno e a Liliana pretendem dividir um bolo de morango e chocolate, no valor de €24. O Nuno prefere chocolate três vezes mais do que morango e a Liliana prefere chocolate duas vezes mais do que morango.

9 Se o Nuno for o divisor, quais das seguintes divisões serão possíveis?
1ªdivisão ªdivisão ªdivisão ªdivisão ªdivisão Visão do Nuno

10 Para cada uma das divisões, de acordo com o sistema de valores do Nuno, qual a melhor escolha para a Liliana? Visão da Liliana Note que… Se fosse a Liliana a divisora, provavelmente, a divisão não seria a mesma; Este método pode ainda funcionar para um nº de jogadores igual a uma potência de 2.

11 MÉTODO DO DIVISOR ÚNICO
Divisão: O divisor, suponhamos P1, divide o conjunto S em três partes iguais, de acordo com o seu sistema de valores. Declaração: Cada selector declara secretamente quais das três partes são na sua opinião justas. Note-se que poderá escolher mais do que uma. Distribuição: A distribuição dependerá das declarações do passo anterior dando origem a três casos distintos:

12 MÉTODO DO DIVISOR ÚNICO
CASO 1: Cada selector declara partes distintas e não mais do que uma. Partes S S S3 P1 Jogadores P2 P3 1 Notação: 1 – parte declarada 0 – parte não declarada

13 MÉTODO DO DIVISOR ÚNICO
CASO 2: No máximo uma das partes não é declarada. Partes S S S3 P1 Jogadores P2 P3 1 Notação: 1 – parte declarada 0 – parte não declarada

14 MÉTODO DO DIVISOR ÚNICO
CASO 3: Os selectores declaram as mesmas partes. Há mais do que uma parte não declarada. Partes S S S3 P1 Jogadores P2 P3 Notação: 1 – parte declarada 0 – parte não declarada

15 MÉTODO DO DIVISOR ÚNICO
Neste caso: O divisor fica com um dos pedaços não declarados pelos selectores (escolhido aleatoriamente). Os restantes dois pedaços juntam-se e aplica-se o método do Divisor-Selector.

16 MÉTODO DO SELECTOR ÚNICO
Primeira divisão: Os dois divisores dividem S em duas partes justas usando o método do divisor-selector. Segunda divisão: Cada um dos divisores divide a sua parte em três porções. Selecção: O selector escolhe agora uma das três porções de cada um dos divisores para si, ficando cada divisor com o que restou das suas partes.

17 EXEMPLO: A mãe da Tânia, da Patrícia e do Carlos comprou-lhes um bolo de morango e laranja para o lanche. O bolo custou €12.

18 Suponhamos que: A Tânia e a Patrícia são os divisores
Suponhamos que: A Tânia e a Patrícia são os divisores e o Carlos é o selector. 1ª divisão:

19 2ª divisão:

20 Visão do Carlos Selecção:

21 Conclusões: O que é importante é o valor e não o tamanho de cada parcela, para quem a recebe. No final da divisão cada um deles obtém uma parte que equivale a pelo menos 1/3 do valor total do bolo (neste caso €4).

22 MÉTODO DO ÚLTIMO A DIMINUIR
1º Passo: O jogador P1 escolhe uma parte de S que considera corresponder a ¼ de S. 2º Passo: De seguida o jogador P2 pode: Concordar com a divisão feita por P1 e passar a sua vez ao jogador P3. Discordar com a divisão e diminuir a porção escolhida por P1.

23 MÉTODO DO ÚLTIMO A DIMINUIR
3º Passo: Os jogadores P3 e P4, de acordo com a parcela que está agora em jogo, irão proceder do mesmo modo que P2. 4º Passo: Depois de todos os jogadores terem actuado sobre a parcela, esta é atribuída ao último jogador que optar por diminui-la, saindo assim do jogo. 5º Passo: O processo repete-se novamente (com menos um jogador) uma e outra vez até que ficam apenas dois jogadores.

24 Exercício: Quatro estudantes (João, Tiago, Inês e Maria), numa sessão contínua de estudo, decidem encomendar uma pizza Marguerita e utilizar o método do último a diminuir, que estão a estudar para a dividir. Sabendo que na 1ª volta ninguém diminui e na 2ª volta só o Tiago e a Inês diminuem... Quem fica com a primeira fatia? Quem corta a fatia no início da 2ª volta? Quem fica com a segunda fatia? Quantas voltas são necessárias para que todos obtenham uma fatia?

25 MÉTODO DA FACA DESLIZANTE
1º Passo: Alguém que não pretende ficar com nenhuma fatia do bolo move a faca contínua e lentamente sobre a porção do bolo; 2º Passo: Um dos jogadores dirá “pára” a qualquer momento; 3º Passo: Quando tal acontecer o bolo será cortado ficando a respectiva fatia para esse jogador;

26 Caso Discreto Método das Licitações Fechadas Método dos Marcadores
Método Convencional Método de Hamilton Método de Jefferson Método de Adams Método de Webster Método de Huntington-Hill Método de Hondt Divisão Justa Divisão Proporcional

27 DIVISÃO JUSTA objectos diferentes jogadores idênticos

28 Método das Licitações Fechadas
Este método é dos mais importantes para problemas deste tipo e muito utilizado no que diz respeito a heranças. Consiste em atribuir valores monetários aos objectos e consequentemente dividi-los em partes justas, isto é, cada indivíduo terá que despender ou receber dinheiro.

29 Método das Licitações Fechadas
Processa-se em 4 fases: ● Licitação ● Distribuição ● Pagamento ● Excesso

30 Licitação: Cada indivíduo atribui um valor monetário a cada objecto.

31 Distribuição: esta etapa diz respeito à distribuição dos objectos pelos indivíduos. Cada objecto caberá ao jogador que lhe atribuir maior valor.

32 Pagamento: Cada indivíduo terá de pagar/receber dinheiro consoante a sua proposta for superior/inferior à sua parte justa. A parte justa varia consoante as licitações de cada jogador e calcula-se através da razão entre a soma das suas licitações e o número de jogadores.

33 Excesso: Consiste em dividir o dinheiro em excesso de modo a que cada jogador receba a mesma quantia.

34 Método das Licitações Fechadas
Para que este método seja honesto terão de se verificar as seguintes condições: ● cada indivíduo deve fazer a sua própria licitação sem conhecer a proposta dos restantes (uma forma de o fazer será através de envelopes fechados); ● cada indivíduo deve ter dinheiro suficiente para as suas licitações; ● cada indivíduo deve aceitar dinheiro em substituição do objecto.

35 Método das Licitações Fechadas
EXEMPLO: Após o falecimento do Sr. João, os seus quatro filhos, cujos nomes são respectivamente Ana, Pedro, Rita e Luís viram-se “obrigados” a partilhar os bens do seu pai. O Sr. João possuía uma casa, um cavalo e uma mota de água.

36 Método das Licitações Fechadas
Foram de comum acordo em utilizar o Método das Licitações Fechadas. Vejamos como se processam as fases de: Licitação Distribuição Pagamento Excesso

37 Licitação: Os filhos do Sr. João fazem as suas propostas, isto é, atribuem um valor monetário aos bens. A tabela seguinte evidencia tais valores: € 8 000 € € € € 3 000 € 6 000 € 5 000 € 4 000 € € € € LUÍS RITA PEDRO ANA

38 Distribuição: ? LUÍS RITA PEDRO ANA
Surgem então as seguintes questões: - O que recebe afinal a Ana? - Não está a ser prejudicada? É o que vamos responder de seguida!

39 Pagamento: Qual a parte justa dos bens relativamente a cada herdeiro?
ANA PEDRO RITA LUÍS € € € € € 4 000 € 5 000 € 6 000 € 3 000 € € € € 8 000 Soma das licitações € € € € Parte justa € € € €

40 Pagamento: Esta é a altura em que é necessário abrir uma conta em nome da herança (“banca”). Comparando o valor do objecto recebido por cada herdeiro com o valor que ele estimou ser a sua parte justa, cada indivíduo terá de pagar à/receber da “banca” consoante o valor da parte justa for superior/inferior ao valor do objecto obtido. Torna-se assim evidente que se a um dos herdeiros não for atribuído nenhum objecto ele terá que ser reembolsado pela “banca”, este valor não é mais do que o que este considera ser a sua parte justa da herança.

41 Pagamento: Vejamos o que acontecerá a cada um dos herdeiros neste exemplo concreto: Pagar LUÍS € € = € RITA € € = € Receber PEDRO € € = € Receber ANA € Receber

42 Excesso: Feitas as operações bancárias temos:
€ € € € = € Sobram assim na conta criada em nome da herança € Logo dividimos este valor pelos quatro herdeiros. Cabe assim a cada um € 8 500 (€ / 4 = € 8 500)

43 Excesso: Temos assim: LUÍS € 132 250 - € 8 500 = € 123 750 Pagou
RITA € € = € Recebeu PEDRO € € = € Recebeu ANA € € = € Recebeu

44 Globalmente temos: LUIS RITA PEDRO ANA - € 123 750 + € 46 500 +
€ €

45 Relativamente à sua própria avaliação:
LUÍS € € = € Recebe Recebe RITA € € = € Recebe PEDRO € € = € ANA € Recebe

46 Relativamente à sua própria avaliação:
Isto mostra que: Todos acabam por receber mais € do que aquilo que consideravam justo! Nenhum dos herdeiros tem assim motivo para se considerar injustiçado!

47 Método dos Marcadores Supondo que temos N indivíduos pelos quais queremos distribuir M objectos, este método consiste em: alinhar por uma ordem fixa durante todo o processo de divisão, os M objectos a partilhar (normalmente para esta sequência utilizam-se Array’s); de seguida cabe a cada indivíduo partir a sequência em N partes que ele considera justas, de forma a que os restantes não tenham conhecimento da maneira como o fez. no final cada indivíduo ficará com uma das N partes da sequência que considerou justa não sabendo, à priori, qual delas.

48 Método dos Marcadores EXEMPLO:
Após o Euro 2004, a UEFA decidiu, em conjunto com as Federações de Futebol de cada país interveniente neste evento, que seriam doados equipamentos dos jogadores das diferentes selecções a instituições de caridade de cada país. A Federação Portuguesa de Futebol decidiu distribuir estes equipamentos pelas seguintes instituições: - Casa do Gaiato - Santa Casa da Misericórdia - APPACDM

49 Método dos Marcadores A Portugal couberam os seguintes equipamentos :
2 equipamentos do Beckham equipamento do Raul 2 equipamentos do Zidane equipamento do Poborsky 1 equipamento do Nikopolidis equipamento do C. Ronaldo 3 equipamentos do Figo equipamento do R. Carvalho

50 Método dos Marcadores Aleatoriamente, colocam-se os equipamentos por ordem e numeram-se como se indica a seguir: 12 6 5 4 3 2 1 11 10 9 8 7 Seguidamente, os representantes de cada instituição marcam em anonimato (por exemplo num papel) os segmentos da sequência que consideram como partes justas.

51 Método dos Marcadores Obtemos a seguinte divisão: Notar que:
12 6 5 4 3 2 1 11 10 9 8 7 C1 C2 S1 S2 A1 A2 Notar que: - C1 e C2 dizem respeito à Casa do Gaiato; - S1 e S2 dizem respeito à Santa Casa da Misericórdia; - A1 e A2 dizem respeito à APPACDM.

52 Método dos Marcadores De seguida faz-se a distribuição dos equipamentos pelos representantes das 3 instituições, isto é, é atribuído um segmento a cada instituição. Observa-se assim a linha da esquerda para a direita até encontrar o primeiro marcador respeitante ao primeiro conjunto de marcadores. Neste exemplo, o primeiro marcador que encontramos (C1) diz respeito à Casa do Gaiato pelo que lhe é entregue o seu segmento (1). Casa do Gaiato: 1

53 Método dos Marcadores A Casa do Gaiato recebe uma parte justa dos equipamentos e os marcadores respeitantes a esta instituição são retirados. 12 6 5 4 3 2 1 11 10 9 8 7 A1 A2 S1 S2 C1 C2

54 Método dos Marcadores Procura-se de seguida o primeiro do segundo conjunto de marcadores. Uma vez que encontramos dois (A2 e S2) na mesma posição, qual deles devemos escolher? Vamos tirar à sorte com, por exemplo, o lançamento de uma moeda. Suponhamos que coube à Santa Casa da Misericórdia. Atribui-se a esta instituição o segundo segmento (4-9) que vai do seu primeiro marcador (S1) até ao segundo (S2). Santa Casa da Misericórdia: 6 5 4 9 8 7

55 Método dos Marcadores É a altura de retirar os marcadores respeitantes à Santa Casa da Misericórdia. 12 6 5 4 3 2 1 11 10 9 8 7 A1 A2 S1 S2 É então trivial que o único segmento que resta para a APPACDM seja o

56 Método dos Marcadores APPACDM:
12 11 10 Mas como podemos ver restam ainda 2 equipamentos para distribuir: 12 6 5 4 3 2 1 11 10 9 8 7

57 Método dos Marcadores O número de equipamentos que resta é demasiado pequeno para aplicar novamente o método. É de notar que o vamos fazer aleatoriamente, isto é, organiza-se uma ordem pela qual as instituições vão escolher um a um os equipamentos que restam até que estes se esgotem. Neste exemplo estipula-se a seguinte: Casa do Gaiato – Santa Casa da Misericórdia – APPACDM. O representante da Casa do Gaiato escolhe o equipamento do Raul (3), de seguida o representante da Santa Casa da Misericórdia escolhe o equipamento do Zidane (2). Não resta assim mais nenhum equipamento para distribuir pela APPACDM.

58 Método dos Marcadores Temos assim a seguinte distribuição final:
Casa do Gaiato : 12 6 5 4 3 2 1 11 10 9 8 7 Santa Casa da Misericórdia: 12 6 5 4 3 2 1 11 10 9 8 7

59 Método dos Marcadores APPACDM: 12 6 5 4 3 2 1 11 10 9 8 7

60 Método dos Marcadores Após a exposição do método, podemos verificar algumas vantagens e desvantagens deste, que passamos a referir: Vantagens: - não requer dinheiro (ao contrário do método anterior); Desvantagens: - não é eficaz se o número de indivíduos for superior ao número de objectos a distribuir (ao contrário do método anterior); - só é justo em condições restritas, isto é, quando os objectos a dividir são de valores baixos e homogéneos (torna-se assim praticamente impossível dividir de modo justo por exemplo um conjunto de rebuçados e um barco).

61 DIVISÃO PROPORCIONAL objectos iguais
jogadores sujeitos a diferentes partes

62 Caso discreto: lugares no parlamento
Como se distribuem os 230 lugares da Assembleia da República? Como se processa a transformação de votantes/votos em mandatos? Se o método fosse outro, a distribuição de deputados por círculo/partido eleitoral seria diferente? Qual o melhor método eleitoral?

63 “Este é um dos poucos assuntos em que a História, a Política e a Matemática se ligam.” Peter Tannenbaum in EXCURSONS IN MODERN MATHEMATICS Filadélfia, 1787 A Constituição dos E.U.A. estabelece que a legislatura é formada por duas Câmaras:  a Câmara dos Representantes, onde cada estado tem um número de representantes que é função da sua população;  o Senado, representado por dois senadores de cada estado. (Secções 2 e 3 do artigo 1 da Constituição dos E.U.A.)

64 O problema da secção 2 Censos eleitorais de 1790
População dos E.U.A.: População do estado Carolina do Norte: Número de membros da Câmara dos Representantes: Número de representantes de Carolina do Norte: 353523  105  10.265 Não é um número natural

65 Como exemplo… Mandatos a atribuir: 226 Eleitores inscritos: 8687945
Número de círculos: 01 Lisboa Viana do Castelo 02 Porto Madeira 03 Braga Vila Real 04 Setúbal Castelo Branco 05 Aveiro Açores 06 Santarém Guarda 07 Leiria Bragança 08 Coimbra Évora 09 Viseu Beja 10 Faro Portalegre

66 Conceitos Básicos n: número de círculos p: população total recenseada
pi: população do círculo i, i=1,2,…,n m: número de mandatos ai: número de mandatos atribuídos ao círculo i, i=1,2,…,n p m D = Divisor eleitoral: pi D qi p = . m Quota do círculo i: Quota mínima: [qi] Quota máxima: [qi] +1

67 MÉTODO ELEITORAL Define-se como o mecanismo matemático pelo qual se transformam votantes/votos em mandatos. 226 D = MÉTODO CONVENCIONAL pi qi ai p1 46,446 46 p2 37,206 37 p3 17,543 18 p4 17,007 17 p5 15,140 15 p6 10,016 10 p7 9,881 p8 9,720 p9 9,131 9 p10 8,325 8 pi qi ai p11 5,946 6 p12 5,823 p13 5,672 p14 4,859 5 p15 4,855 p16 4,376 4 p17 3,851 p18 3,780 p19 3,603 p20 2,819 3 ∑ i=1 20 m = ai 227 NÃO FUNCIONA

68 Método de Hamilton Calcular o divisor eleitoral;
Para cada estado, calcular a quota; Atribuir a cada estado a sua quota mínima; Distribuir os lugares que sobram (um a um) pelos estados, por ordem decrescente das partes decimais das suas quotas.

69 226 D = 38442,23 pi qi p1 46,446 p2 37,206 p3 17,543 p4 17,007 p5 15,140 p6 10,016 p7 9,881 p8 9,720 p9 9,131 p10 8,325 [qi] 46 37 17 15 10 9 8 qi-[qi] 0,446 0,206 0,543 0,007 0,140 0,016 0,881 1 0,720 0,131 0,325 m 46 37 17 15 10 9 8 pi qi p11 5,946 p12 5,823 p13 5,672 p14 4,859 p15 4,855 p16 4,376 p17 3,851 p18 3,780 p19 3,603 p20 2,819 [qi] 5 4 3 2 qi-[qi] 0,946 1 0,823 0,672 0,859 0,855 0,376 0,851 0,780 0,603 0,819 m 6 5 4 3 215 11 226

70 Regra da Quota O resultado da divisão de lugares para um
estado será sempre a quota máxima ou a quota mínima.

71 Paradoxo de Alabama O Paradoxo de Alabama acontece quando
um aumento no número total de lugares, força um estado a perder um dos seus lugares. Exemplo

72 227 D = 38272,89 m pi qi p1 46,651 p2 37,370 p3 17,621 p4 17,083 p5 15,207 p6 10,060 p7 9,925 p8 9,763 p9 9,171 p10 8,362 [qi] 46 37 17 15 10 9 8 qi-[qi] 0,651 1 0,370 0,621 0,083 0,207 0,060 0,925 0,763 0,171 0,362 m 47 37 18 17 15 10 9 8 H 46 37 17 15 10 9 8 pi qi p11 5,972 p12 5,848 p13 5,697 p14 4,881 p15 4,877 p16 4,395 p17 3,868 p18 3,797 p19 3,619 p20 2,832 [qi] 5 4 3 2 qi-[qi] 0,972 1 0,848 0,697 0,881 0,877 0,395 0,868 0,797 0,619 0,832 m 6 5 4 3 H 6 5 4 3 215 12 227

73 Paradoxo da População O Paradoxo da População acontece quando
um estado X perde lugares para o estado Y, mesmo que a população de X tenha crescido muito mais do que a de Y. Exemplo

74 p p3 = 679399 + 5000 226 D = 38197,37 p19 = 143807 + 5300 pi qi p1 46,019 p2 37,020 p3 17,787 p4 17,014 p5 15,015 p6 10,012 p7 9,945 p8 9,784 p9 9,010 p10 8,012 [qi] 46 37 17 15 10 9 8 qi-[qi] 0,019 0,020 0,787 1 0,014 0,015 0,012 0,945 0,784 0,010 m 46 37 18 17 15 10 9 8 H 46 37 17 15 10 9 8 pi qi p11 5,958 p12 5,860 p13 5,787 p14 4,890 p15 4,886 p16 4,718 p17 3,876 p18 3,804 p19 3,765 p20 2,837 [qi] 5 4 3 2 qi-[qi] 0,958 1 0,860 0,787 0,890 0,886 0,718 0,876 0,804 0,765 0,837 m 6 5 4 3 H 6 5 4 3 215 11 226

75 Paradoxo dos Novos Estados
O Paradoxo dos Novos Estados acontece quando a adição de um novo estado, com a sua quota de lugares, pode afectar a divisão de lugares dos outros estados. Exemplo

76 Novo Estado: círculo - países estrangeiros população de p16 - 180612
230 D = 38558,94 pi qi p1 46,305 p2 37,093 p3 17,490 p4 16,956 p5 15,095 p6 9,986 p7 9,851 p8 9,690 p9 9,103 p10 8,300 p11 5,928 [qi] 46 37 17 16 15 9 8 5 qi-[qi] 0,305 0,093 0,490 0,956 1 0,095 0,986 0,851 0,690 0,103 0,300 0,928 m 46 37 17 15 10 9 8 6 H 46 37 17 15 10 9 8 6 pi qi p12 5,805 p13 5,655 p14 4,844 p15 4,840 p16 4,684 p17 4,363 p18 3,839 p19 3,768 p20 3,592 p21 2,811 [qi] 5 4 3 2 qi-[qi] 0,805 1 0,655 0,844 0,840 0,684 0,363 0,839 0,768 0,592 0,811 m 6 5 4 3 H 6 5 - 4 3 217 13 230

77 Análise Favorece os estados… Paradoxo dos Novos Estados
Paradoxo da População Paradoxo de Alabama Viola a regra da quota grandes Sim Não H grandes Não Sim J pequenos Não Sim A pequenos Não Sim W Teorema da Impossibilidade de Balinski e Young: Não há métodos de divisão proporcional perfeitos. Qualquer método de divisão proporcional que não viole a regra da quota produz paradoxos, e qualquer método de divisão proporcional que não produza paradoxos viola a regra da quota.

78 [ ] Método de Jefferson … Encontrar o número D (divisor eleitoral)
tal que, quando as quotas modificadas dos vários estados (população do estado a dividir por D) são arredondadas por defeito (quota mínima modificada), a soma dessas quotas dá exactamente o número de lugares a distribuir; = [ p1 D ] + p2 pn … m Atribuir a cada estado a quota mínima (modificada).

79 D = 38442,23 D = 37500 D = 37000 m = 215 (-11) m = 219 (-7) m = 226 pi qi p1 48,256 p2 38,656 p3 18,227 p4 17,670 p5 15,731 p6 10,407 p7 10,267 p8 10,098 p9 9,487 p10 8,650 [qi] 48 38 18 17 15 10 9 8 H 46 37 17 15 10 9 8 pi qi p11 6,178 p12 6,050 p13 5,893 p14 5,049 p15 5,044 p16 4,546 p17 4,001 p18 3,927 p19 3,743 p20 2,929 [qi] 6 5 4 3 2 226 H 6 5 4 3

80 (ou método dos pequenos divisores)
Método de Adams (ou método dos pequenos divisores) Encontrar o número D (divisor eleitoral) tal que, quando as quotas modificadas dos vários estados (população do estado a dividir por D) são arredondadas por excesso (quota máxima modificada), a soma dessas quotas dá exactamente o número de lugares a distribuir; Atribuir a cada estado a quota máxima (modificada).

81 D = 38442,23 D = 39000 D = 40000 m = 235 (+9) m = 230(+4) m = 226 pi qi p1 44,637 p2 35,757 p3 16,860 p4 16,345 p5 14,551 p6 9,626 p7 9,497 p8 9,341 p9 8,775 p10 8,001 [qi]+1 45 36 17 15 10 9 H 46 37 17 15 10 9 8 pi qi p11 5,714 p12 5,596 p13 5,451 p14 4,670 p15 4,666 p16 4,206 p17 3,701 p18 3,633 p19 3,463 p20 2,710 [qi]+1 6 5 4 3 226 H 6 5 4 3

82 Método de Webster Encontrar o número D (divisor eleitoral)
tal que, quando as quotas modificadas dos vários estados (população do estado a dividir por D) são arredondadas pelo processo convencional, a soma dessas quotas dá exactamente o número de lugares a distribuir; Atribuir a cada estado a quota modificada arredondada pelo método convencional.

83 D = 39000 m = 226 pi qi p1 45,782 p2 36,674 p3 17,292 p4 16,764 p5 14,924 p6 9,873 p7 9,740 p8 9,581 p9 9,000 p10 8,206 AC 46 37 17 15 10 9 8 H 46 37 17 15 10 9 8 pi qi p11 5,861 p12 5,739 p13 5,591 p14 4,790 p15 4,786 p16 4,313 p17 3,796 p18 3,726 p19 3,551 p20 2,779 AC 6 5 4 3 226 H 6 5 4 3

84 Método de Huntington-Hill
Regra de Arredondamento de Huntington-Hill: se a quota está entre L e L+1, o ponto de viragem é H √L(L+1). Se a quota é inferior a H, arredonda-se por defeito, caso contrário, arredonda-se por excesso; = Encontrar o número D (divisor eleitoral) tal que, quando cada quota modificada de estado (população do estado a dividir por D) é arredondada pela regra de Huntington-Hill, o total dos arredondamentos é exactamente o número de lugares a distribuir; Atribuir a cada estado a sua quota modificada arredondada pela regra de Huntington-Hill.

85 D = 38442,23 D = 39100 m = 228(+2) m = 226 pi qi p1 45,664 p2 36,579 p3 17,248 p4 16,721 p5 14,885 p6 9,848 p7 9,715 p8 9,556 p9 8,977 p10 8,185 viragem 45,497 36,497 17,493 16,492 14,491 9,487 8,485 m 46 37 17 15 10 9 8 H 46 37 17 15 10 9 8 pi qi p11 5,846 p12 5,725 p13 5,577 p14 4,777 p15 4,773 p16 4,302 p17 3,786 p18 3,716 p19 3,542 p20 2,772 viragem 5,477 4,472 3,464 2,449 m 6 5 4 3 226 H 6 5 4 3

86 Método d’Hondt Apura-se, em separado, o número de votos recebidos por cada lista, no círculo eleitoral respectivo; O número de votos apurados por cada lista é dividido, sucessivamente, por 1,2,3,4,etc., sendo os quocientes alinhados por ordem decrescente, numa série de tantos termos quantos os mandatos atribuídos ao círculo eleitoral respectivo; Os mandatos pertencem às listas a que correspondem os termos da série estabelecida pela regra anterior, recebendo cada uma das listas tantos mandatos quantos os seus termos na série; No caso de restar um só mandato para distribuir e de os termos da série serem iguais e de listas diferentes, o mandato cabe à lista que tiver obtido menor número de votos.

87 Círculo eleitoral de Viseu: 9 mandatos
Resultados: PPD/PSD =p1 PS =p2 CDS-PP 22283=p3 6 5 4 3 2 1 109261 65410 22283 pi a+1    109261,00 54630,50 36420,33 27315,25 21852,20 18210,17 21803,33 65410,00 16352,50 13082,00 10901,67 32705,00 7427,67 11141,50 5570,75 4456,60 3713,83 22283,00 109261,00 65410,00 22283,00 54630,50  32705,00    36420,33 21803,33  27315,25 21852,20 

88 [ ] … Método de Jefferson Método d’Hondt = p1 + p2 pn m D D D d1 d2 dn
Sejam n:=nº partidos; m:=nº de mandatos; pi:=nº de votos do partido i, i=1,…,n, tal que p1≥…≥pn; ai :=nº de mandatos atribuídos ao partido i.

89 [ ] [ ] ∑ p1 d pi p1 d a1+1 d := pi d pi ai+1 m ai pi d ai :=
1º passo : d = p1 p1 d = 1 1 =: a1 pi < 1 0 =: ai , i=2,…,n 2º passo : diminui-se d de tal forma que o partido 1 receba o próximo mandato. Então, , isto é, ; p1 d = a1+1 a1+1 d := o partido i recebe o mandato ai+1 se pi d [ ] = ai+1; Atribui-se um mandato ao partido 1 e aos partidos que verificam a condição anterior, por ordem decrescente dos divisores , di = pi ai+1 n ∑ i=1 m ≤ ai pi d [ ] enquanto Seja, para i=1,…,n , ai := 3º passo : se já foram atribuídos os m mandatos, termina o processo; senão, volta-se ao 2º passo.

90          PPD/PSD 109261=p1 PS 65410=p2 CDS-PP 22283=p3 p2 d
Círculo eleitoral de Viseu: 9 mandatos p2 d < 1 a1:=1 d = p1 = a2:=0 p3 a3:=0  p1 d = 2 =: a1 d = 54630,5 p2 = 1.2 a2:=1 p3 = 0.41 a3:=0   p1 d = 3 =: a1 d = 36420,33 p2 = 1.8 a2:=1 p3 = 0.61 a3:=0  p1 d = 4 =: a1 d = p2 = 2.39 a2:=2 p3 = 0.82 a3:=0   p1 d = 5 =: a1 d = p2 = 2.99 a2:=2 p3 = 1.02 a3:=1   p1 d = 6 =: a1 d = p2 = 3.6 a2:=3 p3 = 1.22 a3:=1 

91 Conclusão 109261 65410 22283 pi a+1         
Segundo o método de Jefferson, o partido i receberá o seu a+1 mandato quando, para um certo d, , o que sucede quando o número de mandatos atribuídos é igual a m. Então, podemos afirmar que atribuímos os mandatos seguindo uma ordem de prioridades por meio da função pi d a +1 = di = pi a+1 6 5 4 3 2 1 109261 65410 22283 pi a+1 109261,00 54630,50 36420,33 27315,25 21852,20 18210,17 21803,33 65410,00 16352,50 13082,00 10901,67 32705,00 7427,67 11141,50 5570,75 4456,60 3713,83 22283,00         

92 FIM Trabalho realizado por: Carla Pimentel Joana Couto
Mª Cristina Rodrigues Sandra Nabiça