Cálculo Numérico / Métodos Numéricos

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1 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos
Sistemas lineares Métodos Iterativos / Processos de relaxação: Introdução 19 May :04

2 Resolvendo sistemas lineares
20 May :19 Resolvendo sistemas lineares Métodos exatos: Método de eliminação de Gauss Método de decomposição LU Método de Cholesky Métodos iterativos: Método de Jacobi-Richardson Método de Gauss-Seidel Processos de relaxação

3 Conceitos básicos Seja uma função y = f(x)
20 May :19 Conceitos básicos Seja uma função y = f(x) O ponto x0 para o qual f'(x0) = 0 é denominado ponto estacionário. f'(x0) = 0 x0 é um ponto estacionário de f(x). x0

4 Conceitos básicos Tipos de pontos estacionários: f'(x0) = 0
20 May :19 Conceitos básicos Tipos de pontos estacionários: ponto de mínimo: f''(x0) > 0 ponto de máximo: f''(x0) < 0 ponto de inflexão: f''(x0) = 0 f'(x0) = 0 f''(x0) < 0 x0 é um ponto de máximo x0

5 Conceitos básicos E para uma função de n variáveis ?
20 May :19 Conceitos básicos E para uma função de n variáveis ? grad f = (fx1, fx2, ..., fxn) um ponto estacionário de f é aquele onde: grad f = 0 Para saber o tipo do ponto, definimos a matriz A.

6 Conceitos básicos A(P): positiva definida, então P é ponto de mínimo
20 May :19 Conceitos básicos A(P): positiva definida, então P é ponto de mínimo A(P): negativa definida, então P é ponto de máximo A(P): indefinida, então P é ponto de sela

7 Conceitos básicos (Lembrete) Matrizes positivas definidas:
20 May :19 Conceitos básicos (Lembrete) Matrizes positivas definidas: ztAz > 0, qualquer que seja z. Critério de Sylvestre: a matriz é positiva definida se e somente se todos os menores principais tem determinante positivo

8 Processos de relaxação
20 May :19 Processos de relaxação Seja o sistema linear: Ax + b = 0 Se v é solução do sistema, então: Av +b = 0 Caso contrário, há um resíduo: Av +b = r (Se conseguirmos um v que anula o resíduo, conseguimos resolver o sistema linear)

9 Processos de relaxação
20 May :19 Processos de relaxação Vamos considerar a seguinte função quadrática: Vamos mostrar que se A é simétrica, positiva definida então resolver o sistema Ax + b = 0 equivale a conseguir um ponto de mínimo para a função F(v).

10 Processos de relaxação
20 May :19 Processos de relaxação Calculando os produtos escalares:

11 Processos de relaxação
20 May :19 Processos de relaxação Obtendo as derivadas parciais de cada termo: Logo: (pois A é simétrica)

12 Processos de relaxação
20 May :19 Processos de relaxação Note que agora sabemos calcular o gradiente de F: Em um ponto estacionário, grad F = 0, logo:

13 Processos de relaxação
20 May :19 Processos de relaxação Ou seja, provamos que encontrar v que resolve Av+b =0 equivale a encontrar um ponto estacionário de F(v).

14 Processos de relaxação
20 May :19 Processos de relaxação Na verdade, podemos provar que este ponto estacionário é, na verdade, o único mínimo da função. Para isso, basta observar: 1) o ponto obtido é o único ponto estacionário de F. 2) logo, a matriz A(P), definida anteriormente, é igual à matriz A do sistema a se resolver: Como A é definida positiva, v é um ponto de mínimo