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Modelagem de Problemas como ferramenta ensino-aprendizagem Algumas considerações finais.

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Apresentação em tema: "Modelagem de Problemas como ferramenta ensino-aprendizagem Algumas considerações finais."— Transcrição da apresentação:

1 Modelagem de Problemas como ferramenta ensino-aprendizagem Algumas considerações finais

2 Ferramentas de modelagem de problemas estudados Sistemas Lineares Programação Linear Funções (Lineares, Afins, Escada, Quadrática, Racional, Polinomial geral, Exponencial, Logarítmica) Equações de Recorrência Lineares

3 Um problema de população Num país as taxas de nascimentos e mortes são, respectivamente 40 por mil e 15 por mil, por ano, respectivamente. A população inicial é de 50 milhões de habitantes. a) Deduza uma equacão de diferenças para a população no final de um ano, em relação à do final do ano anterior. b) Resolva a equação e estime qual será a população em 10 anos. c) Se, devido à alta taxa de natalidade, ocorrer emigração a uma taxa de por ano, qual será a mudança nos resultados?

4 Solução do Problema P n =P n-1 +4/100 P n /100 P n-1, P 0 = 50 milhões P n = (102.5/100) n P 0 = (102.5/100) n 50 milhões P 10 =(102.5) /(100) 10 = habitantes aproximadamente. P n =P n-1 +4/100 P n /100 P n , logo P n =(102.5/100)P n , equação não homogênea P n =k 1 (102.5/100) n +k 2, logo k 2 =0.4 x 10 6 e k 1 =49.6x10 6 P 10 = milhões de habitantes, aproximadamente

5 Sistema de Equações de Diferenças Suponha que a população de um país é dividida em 2 grupos de idades: G1= de 0 a 12 anos, G2= o resto. Suponha que os nascimentos só ocorrem no grupo 2, a uma taxa de 0.04 e cada grupo tem sua própria taxa de mortalidade, no G1, de e no G2, de Suponha que a população inicial de G1 é de 5 milhões e de G2 é de 15 milhões. É assumido que em cada ano 1/12 dos sobreviventes do G1 progridem para G2. a) Qual a população em G1/G2 após 1 ano? b) E após 2 anos? c) Como deve ser obtida a população após 10 anos?

6 Solução do Problema P 1 (t)= população de G1, P 2 (t)=população de G2 Para G1: P 1 (t+1)=0.04P 2 (t)+11/12 P 1 (t)( )= os nascidos do G2+ a parcela dos sobreviventes que não foram para o G2 Para G2: P 2 (t+1)=1/12 P 1 (t)( )+P 2 (t)(1-0.03)=os sobreviventes de G1 que foram para G2 e os sobreviventes de G2. Usando matrizes, se o vetor P t for formado por P 1 (t) e P 2 (t), teremos P t+1 =A P t, levando à resolução P t =A t P 0, onde as linhas de A são: e 0.04 a primeira e e 0.97 a segunda. P 1 (t)=5.11 e P 2 (t)=14.96, logo a população total será de milhões. Para as demais deverá ser utilizado o recurso de produto de matrizes (pode ser implementado facilmente em MAPLE, por exemplo).

7 Porque resolver uma recorrência? Utilizar a relação de recursividade é ineficiente em geral, porque recalcula o mesmo valor várias vezes. Recorrência de Fibonacci: F n =F n-1 +F n-2 (recursivo) F n =1/5(ө n -(-ө) -n ), onde ө=(1+5)/2, razão de outro (iterativo) Comparação: se n=20, o recursivo leva 1s e o iterativo leva 1/2ms, se n=30, o recursivo leva 2 min e o iterativo leva ½ ms, se n=50, o recursivo leva 21 dias e o iterativo leva ¾ ms, se n=100 o recursivo leva 10 9 anos e o iterativo leva 1,5ms. Recursividade= conceitual, Iteratividade = computacional.

8 Extensões dos tópicos estudados Programação não linear: a função objetivo e/ou as restrições são não lineares--- derivadas parciais de funções não lineares de várias variáveis+ Método de Multiplicadores de Lagrange (Teorema de Kuhn- Tucker) Equações de Recorrência não lineares y n+1 =f(y n, y n-1,… ), onde f função não linear

9 Exemplos de relação de recorrência não linear X n+1 =ax n (1-x n ) Equação Logística Discreta ( May -1976) R n =aR n -bR n W n e W n =cR n W n -dW n Sistema de Equações de Diferenças Predador x Presa, W=Lobos (predadores) e R=Coelhos (presas), a,b,c,d constantes positivas – análise experimental

10 Outras ferramentas importantes Derivada de funções --máximos e mínimos de funções Integral (anti-derivada) de funções – equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais Funções de Várias Variáveis, Derivadas parciais, Máximos e Mínimos de funções de várias variáveis, equações diferenciais parciais e sistemas de equações diferenciais parciais.

11 Exemplo 1

12 Solução do Exemplo 1

13 Exemplo 2 Se U(x,y,z,t) for a temperatura num ponto (x,y,z) de um corpo sólido, num instante t, conhecendo as leis físicas que descrevem a evolução das trocas de calor, a temperatura inicial em cada ponto e a temperatura na superfície do sólido, determinar a temperatura em cada ponto do interior do corpo, em cada instante. Modelagem utilizando EDP; solução utilizando séries de Fourier, implementação computacional utilizando aproximação por polinômio trigonométrico ou método de diferenças finitas

14 Exemplo 3

15 Solução do Exemplo 3

16 Conclusão Método de Polya para Modelagem de Problemas: ainda útil nas áreas mencionadas e nos exemplos citados Compreensão do Problema, Dedução de um modelo matemática que descreva o problema, Solução do Modelo e verificação da solução, Interpretação da Solução Tópicos estudados: são úteis para estudar problemas mais sofisticados (aproximação de problemas não lineares por famílias de problemas lineares, de forma iterativa- métodos de ponto fixo)


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