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Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio
Aula 16 Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio
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Teorema de Rolle Seja uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
é contínua no intervalo fechado é derivável no intervalo aberto 3. Então existe um número em tal que
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Ilustração
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Ilustração
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Exemplo 1 Considere a função posição de um objeto em movimento. Se o objeto estiver no mesmo lugar em dois instante diferentes e então Pelo Teorema de Rolle algum entre e no qual isto é, a velocidade é 0. Obs.: Em particular, vc pode ver que isto é verdadeiro quando uma bola é atirada diretamente para cima.
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Exemplo 2 Demonstre que a equação tem exatamente uma raiz real?
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Solução Seja Então e Note que é contínua pois é um polinômio; assim pelo Teorema do Valor Intermediário a equação dada, tem uma raiz. Suponhamos que se tenha duas raízes pelo Teorema de Rolle Mas
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O Teorema do Valor Médio
Seja uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: é contínua no intervalo fechado é derivável no intervalo aberto Então existe um número em tal que
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Interpretação Geométrica
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Exemplo 3 é um polinômio é contínua e derivável Pelo T.V.M. tal que Mas isto é, Porém, como temos então
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Gráfico
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Observação A grande importância do Teorema do Valor Médio reside no fato de ele nos possibilitar obter informações sobre uma função a partir de dados sobre sua derivada. O próximo exemplo mostra esse princípio.
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Exemplo 5 Suponha que e Quão grande pode ser?
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Solução Pelo T.V.M. tal que Logo Como temos Daí, logo o maior valor possível para é 7.
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Alguns fatos básicos Teorema. Se em um intervalo então é constante em
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Demonstração Sejam e em , sendo Pelo T.V.M. obtemos tal que e Como daí ou tem o mesmo valor em e quaisquer em . Isto significa que é constante em .
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Alguns fatos básicos Corolário. Se em um intervalo então é constante em isto é, em que é uma constante.
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Demonstração Seja Então em . Assim, pelo Teorema anterior é constante, isto é, é constante.
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Observação Note que o domínio de é e em Mas claramente não é uma função constante. Isso não contradiz o Teorema anterior pois não é um intervalo.
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Exemplo 6 Demonstre a identidade
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Solução uma constante. Fazendo temos
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