Análise Combinatória Desenvolvido por: Cristiano De Angelis

Apresentação em tema: "Análise Combinatória Desenvolvido por: Cristiano De Angelis"— Transcrição da apresentação:

1 Análise Combinatória Desenvolvido por: Cristiano De Angelis
Jorge Cunha Adélson Jardim

2 Anagrama é a alteração da posição das
letras de uma mesma palavra. Vejamos quantos anagramas tem a palavra CHÁ: H A 1º- CHA C A H 2º - CAH A C 3º - HAC H C A 4º - HCA C H 5º - ACH A H C 6º - AHC

3 Ao considerarmos três espaços, temos:
3letras 2letras 1letra c,h ou a uma que não tenha sido usada a restante No primeiro espaço podemos considerar três letras - C, H ou A No segundo espaço temos somente duas opções. (caso contrário repetiremos a primeira letra) No terceiro espaço teremos somente uma opção, a letra restante. 3.2.1 = 3! = 6

4 4 . 3! = 4! = 24 Vejamos agora quantos anagramas tem a palavra CAFÉ.
1º- CAFE A E F 2º - CAEF E A 3º - CFEA F C A E 4º - CFAE A F 5º - CEAF E Puts !!! F A 6º - CEFA... Isto somente começando com a letra C ! Mas, como existem só mais três letras que podem começar os anagramas da palavra café, temos: 4 . 3! = 4! = 24

5 No primeiro anagrama temos:. 3. = 3. 2
No primeiro anagrama temos: 3! = = 6 No segundo anagrama temos: 4! = = 24 Definição: Quando o número de elementos “n” é igual ao número de vagas, teremos: n! Isto quer dizer:

6 Existe um grupo de 5 estudantes (Cristiano, Jorge, Adélson, Marina, Raquel) para concorrer ao Daema, sendo a chapa formada por presidente e vice. Quantas serão as chapas possíveis? Vamos fazer inicialmente todas as permutações possíveis.

7 Cristiano Presidente !! Jorge Presidente !! Adélson Presidente !!
CJAMR CAMRJ CMRJA CRJAM CJARM CAMJR CMRAJ CRJMA CJMRA CAJMR CMJAR CRMJA CJMAR CAJRM CMJRA CRMAJ CJRMA CARJM CMAJR CRAJM CJRAM CARMJ CMARJ CRAMJ Cristiano Presidente !! JAMRC JMRCA JRCAM JCAMR JAMCR JMRAC JRCMA JCARM JARCM JMCAR JRAMC JCMRA JARMC JMCRA JRACM JCMAR JACMR JMARC JRMAC JCRMA JACRM JMACR JRMCA JCRAM Jorge Presidente !! AMRCJ ARCJM AC MRJ AJMRC AMRJC ARCMJ AC MJR AJMCR AMCJR ARJMC AC JMR AJRCM AMCRJ ARJCM AC JRM AJRMC AMJRC ARMCJ AC RJM AJCMR AMJCR ARMJC AC RMJ AJCRM Adélson Presidente !! MRCJA MCRJA MJRCA MARCJ MRCAJ MCRAJ MJRAC MARJC MRJAC MCJAR MJCAR MACJR MRJCA MCJRA MJCRA MACRJ MRAJC MCAJR MJARC MAJRC MRACJ MCARJ MJACR MAJCR Marina Presidente !! RCJAM RJCAM RACJM RMCJA RCJMA RJCMA RACMJ RMCAJ RCAMJ RJAMC RAJMC RMJAC RCAJM RJACM RAJCM RMJCA RCMJA RJMAC RAMCJ RMAJC RCMAJ RJMCA RAMJC RMACJ Raquel Presidente !!

8 O resultado das permutações será: 5! = 5.4.3.2.1 = 120,
mas existem vários resultados repetidos que consideram o mesmo presidente com o mesmo vice: CJAMR CJARM CJMRA CJMAR CJRMA CJRAM Quais resultados serão estes? A permutação de todos os elementos que não influenciam na formação da chapa!

9 Precisamos excluir a permutação dos três objetos sem influência.
Temos então, a permutação de “n” objetos, mas precisamos excluir a permutação dos objetos que não influenciam no resultado. 5! ou 3! 3.2.1 Precisamos excluir a permutação dos três objetos sem influência. Agora podemos simplificar !!

10 Isto é:

11 Arranjo aparece quando temos um universo de “n” objetos agrupados em “p” vagas em que a ordem
interessa!

12 Quantas serão as duplas possíveis?
Existe um grupo de 5 estudantes (Cristiano, Jorge, Adélson, Marina, Raquel) para formar uma dupla de representantes de turma. Quantas serão as duplas possíveis?

13 CJAMR CAMRJ CMRJA CRJAM CJARM CAMJR CMRAJ CRJMA
CJMRA CAJMR CMJAR CRMJA CJMAR CAJRM CMJRA CRMAJ CJRMA CARJM CMAJR CRAJM CJRAM CARMJ CMARJ CRAMJ JAMRC JMRCA JRCAM JCAMR JAMCR JMRAC JRCMA JCARM JARCM JMCAR JRAMC JCMRA JARMC JMCRA JRACM JCMAR JACMR JMARC JRMAC JCRMA JACRM JMACR JRMCA JCRAM AMRCJ ARCJM AC MRJ AJMRC AMRJC ARCMJ AC MJR AJMCR AMCJR ARJMC AC JMR AJRCM AMCRJ ARJCM AC JRM AJRMC AMJRC ARMCJ AC RJM AJCMR AMJCR ARMJC AC RMJ AJCRM MRCJA MCRJA MJRCA MARCJ MRCAJ MCRAJ MJRAC MARJC MRJAC MCJAR MJCAR MACJR MRJCA MCJRA MJCRA MACRJ MRAJC MCAJR MJARC MAJRC MRACJ MCARJ MJACR MAJCR RCJAM RJCAM RACJM RMCJA RCJMA RJCMA RACMJ RMCAJ RCAMJ RJAMC RAJMC RMJAC RCAJM RJACM RAJCM RMJCA RCMJA RJMAC RAMCJ RMAJC RCMAJ RJMCA RAMJC RMACJ

14 Mas, agora todas as permutações com CJ e JC , por exemplo, são desnecessárias pois a dupla não tem ordem. CJAMR CJARM CJMRA CJMAR CJRMA CJRAM JCAMR JCARM JCMRA JCMAR JCRMA JCRAM

15 Novamente, temos a permutação de “n” objetos, precisamos excluir a permutação dos objetos que não influenciam no resultado, e ainda excluir a permutação possível entre as vagas. = 5 . 4 3.2.1 5 . 4 = 10 2!

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17 Problemas

18 UFRGS/ 95-2) Com 4 lápis de cores diferentes, quantas são as maneiras de pintar o seguinte mapa, de modo que as regiões que tem fronteira comum fiquem com cores distintas? (A) 96 (B) 60 (C) 48 (D) 36 (E) Não é possível

19 Unisinos-97/2- Luciane estuda na Unisinos, de segunda a quarta, no turno da noite. Para vir à Unisinos e dela regressar para casa, Luciane costuma utilizar o seu próprio carro, ônibus ou mesmo carona. Quando ela vai no próprio carro, é claro que ela também volta de carro. O número de opções que Luciane tem para vir a Unisinos e dela voltar, nesses três dias é: a) 5 b) 25 c) 125 d) 300 e) 500

20 Clóvis- 95/2) Um pintor tem 6 tintas para pintar 7 peças
Clóvis- 95/2) Um pintor tem 6 tintas para pintar 7 peças. Quer usar todas as tintas. Uma cor em cada peça. De quantos modos pode fazê-lo ? Solução do Clóvis:

21 Solução Vamos tentar com um universo menor, 3 tintas e 4 peças. permutação de 2 cores restantes nº de cores C4, ! B B B B Cn+1,2 .n .(n-1)! B B B B B B B B C7, ! = 15120

22 c.q.d