Engenharia da Qualidade I

Engenharia da Qualidade I
“Pensar estatisticamente será um dia, para a eficiente prática da cidadania, tão necessário como a habilidade de ler e escrever.” H. G. Wells (Escritor Inglês, considerado o pai da moderna Ficção Científica, 1895) Pedro Paulo Balestrassi UNIFEI-Universidade Federal de Itajubá IEPG

PRE01 - Probabilidade e Estatística
Universidade Federal de Itajubá Motivação das empresas para estudo e uso de Estatística: Foco no Processo: Um dos principais requisitos da ISO 9001:2000 Processo Fatores Incontroláveis (ruído) Fatores Controláveis Entrada Saída ... x1 x xp z1 z zq y1 y2 ym Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Exemplo de Processo Y=f(X)+Z X Pressão de ar air strip Pressão de ar air bag Pressão de ar front piston Pressão Hidráulica Temperatura Vazão de óleo Solúvel Pressão do Nitrogênio Y Espessura da parede Top Wall Espessura da Parede Mid Wall Profundidade do Dome Altura da Lata Visualização Processo Bodymaker de fabricação de latas Aplicação: Pense em um problema similar em sua área de atuação Z Operador Rede Elétrica Qualidade da Bobina É complexo inferir sobre X,Y e Z sem Estatística! Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Cone of Learning DO THE REAL THING! Faça anotações! Aplicando os conhecimentos na sua área é a única forma de sedimentá-los! Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Recursos de Software O uso de recursos computacionais tornou os cálculos atividades fáceis permitindo uma maior ênfase na compreensão e interpretação dos resultados Statgame e Statquiz (Interessante para verificar o conhecimento básico) Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Pratique: Comandos Básicos
Gere a planilha ao lado e entenda a diferença entre Worksheet e Project. Observe o que é Session. Calcule as principais Estatísticas Descritivas da planilha gerada. Siga o caminho: <Stat> <Basic Statistics> <Graphical Summary>

Pratique: Navegue no Statguide Navegue pelo Tutorial do Minitab
Cinco ícones importantes: Worksheet, Session, Show Graph Folders e Edit Last Dialog

Pratique: Gere uma série de 100 valores aleatórios que poderia simular a variabilidade em Anéis de Pistão (considerando por exemplo Folga entre Pontas). Use <Calc> <Random Data> <Normal Distribution> e inclua os parâmetros convenientes. Calcule as principais estatísticas descritivas da planilha usando Graphical Summary. Faça outros gráficos.

Pratique: Entenda o procedimento <Calc> <Set Base>?
Salve a planilha na Desktop com um nome qualquer. Feche o programa minitab e depois abra a planilha que você salvou.

Um bom Material de Apoio
Obtenha domínio sobre o Minitab a partir do arquivo minitab.pdf.

Um Exemplo de Controle Estatístico da Qualidade
A espessura de uma peça metálica é um importante parâmetro da qualidade para uma empresa. Uma grande quantidade de peças são produzidas diariamente e a cada lote produzido, 5 delas são medidas e colocadas em uma tabela, como ao lado. Pergunta-se: O Processo está sob Controle? O Processo atende as Especificações (LSL=0.060 e USL=0.066) Qual a solução para o problema? Use Set Base=9 N(0.0625; ) Para gerar tal tabela

Identificar variável Vital
4/2/2017 Problema Prático Problema Estatístico Solução Estatística Solução Prática © 1994 Dr. Mikel J. Harry V3.0 Baixo Rendimento Média fora do alvo Identificar variável Vital Instalar um controlador

Six Sigma - DMAIC

Universidade Federal de Itajubá Uma ótima bibliografia: Montgomery, D.C., Runger, G.C., Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, 2ª ed., LTC Livros Técnicos e Científicos, 2002, 461 p. Não deixe de ler: Fora de Série (Outliers) – Malcolm Gladwell – Editora Sextante – Uma boa análise sobre Causa e Efeito em inúmeras situações. Uma Senhora Toma Chá – David Salsburg – Editora Zahar – Como a estatística revolucionou a ciência no século XX. O Andar do Bêbado – Leonard Mlodinow– Editora Zahar – Como a aleatoriedade impacta nossas vidas. Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Estatística Descritiva Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Do que trata a Estatística A essência da ciência é a observação. Estatística: A ciência que se preocupa com a organização, descrição, análise e interpretação dos dados experimentais. Ramo da Matemática Aplicada. A palavra estatística provêm de Status. Estatística Básica (Anova, TH, Regressão) Séries Temporais Data Mining Six Sigma Redes Neurais Controle de Qualidade Estatística Bayseana Simulação / PO DOE /Taguchi /RSM Análise do Sistema de Medição Estatística Multivariada Amostragem / Pesquisa Confiabilidade Caos Em 1662, John Graunt publicou os primeiros informes estatísticos. Era sobre nascimento e mortes. Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá População e Amostra A População (ou Distribuição) é a coleção de todas as observações potenciais sobre determinado fenômeno. O conjunto de dados efetivamente observados, ou extraídos, constitui uma Amostra da população. Um Censo é uma coleção de dados relativos a Todos os elementos de uma população. Um Parâmetro está para a População assim como uma Estatística está para a Amostra. Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Tipos de Dados (Também Dados Categóricos ou de Atributos) (Variáveis) Ex.: Para uma população de peças produzidas em um determinado processo, poderíamos ter: Variável Tipo Estado: Perfeita ou defeituosa Qualitativa Nominal Qualidade: 1a, 2a ou 3a categoria Qualitativa Ordinal No de peças defeituosas Quantitativa Discreta Diâmetro das peças Quantitativa Contínua Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá <Calc> <Random Data> Números Aleatórios Aplicação: Gere sequências de valores aleatórios que represente problemas em sua área. O que significa o procedimento <Calc> <Set Base>? Amostragem: Gere a sequência <Calc> <Make Patterned Data> Selecione uma amostra com 10 valores a partir das sequências geradas anteriormente. Use <Calc> Random Data> <Sample from Column> Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá <Graphical Summary> Ex.:Número de acessos à página do Site da Empresa durante os últimos 100 dias úteis. Aplicação: Gere uma sequência de dados que represente um processo em sua área e calcule as estatísticas desse conjunto de dados. Use: <Random> e <Graphical Summary> Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Medidas de Posição: Média +...+ Aritmética Simples +...+ Aritmética Ponderada +...+ Um pouco sobre arredondamento de médias: Tome uma decimal acima da dos dados: Ex.: 2,4 3,4 e 5,7 => média =3,73 Em várias operações, arredonde apenas o resultado final Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Um Cidadão Americano “Médio” Chama-se Robert Pesa 78 Kg Manequim 48 85 cm de cintura Consome anualmente 8,5 Kg massa, 11,8Kg de bananas, 1,8 Kg de batatas fritas, 8,15Kg de sorvete e 35,8 Kg de carne. Vê TV por ano 2567 horas Recebe anualmente 585 “coisas” por correio (cartas e outros) Diariamente dorme 7,7 horas, gasta 21 minutos para chegar ao trabalho e trabalha 6,1 horas Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Medidas de Posição: Mediana Se n é ímpar: Se n é par: Ex.: Mediana é o valor “do meio” de um conjunto de dados dispostos em ordem crescente ou decrescente. Inconveniente: Não considera todos os valores da amostra! Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Média x Mediana Ex.: { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 510 } Ambas são boas medidas de Tendência Central. Prefira a média { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 2300 } Devido ao Outlier 2300, a mediana é melhor estatística que a média. = 601 Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Medidas de Dispersão Rode e Entenda o programa Interativo da PQ Systems Discuta: Porque os bancos adotam fila única? “Por favor, com quantos dias de antecedência eu devo postar uma carta de aniversário para minha mãe?” Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Variabilidade Uma medida de Posição não é suficiente para descrever um conjunto de dados. Os Conjuntos ao lado mostram isso! Eles possuem mesma média, sendo diferentes. A = { 3, 4, 5, 6, 7 } B = { 1, 3, 5, 7, 9 } C = { 5, 5, 5, 5 } D = { 3, 5, 5, 7 } E = { 3.5, 5, 6.5 } Algumas medidas de Variabilidade: Amplitude (H): Tem o inconveniente de levar em conta apenas os dois valores extremos: HÁ =7-3=4 Amplitude=Range Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Medidas de Dispersão Considerando os desvios em relação à média, temos, para A, por exemplo: xi - A = { 3, 4, 5, 6, 7 } {-2, -1, 0, 1, 2} Inconveniente: Uma opção para analisar os desvios das observações é: considerar o total dos quadrados dos desvios. Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Desvio Padrão Associando ao número de elementos da amostra (n), tem-se: . ...que é a Variância ( Var(x)) S2 = ...que é o Desvio Padrão (DP(x)), uma medida que é expressa na mesma unidade dos dados originais Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Dispersão: Fórmulas Alternativas Variância Populacional (2 ou n 2 ) Variância Amostral n-1 está Relacionado a um problema de tendenciosidade Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Exemplo Calcular a Variância e o Desvio Padrão de X X Média = 3 Soma dos pontos de dados = Número dos pontos de dados Uma Regra Prática para conjunto de dados típicos: S=Amplitude/4 Soma da última coluna = 10 Raiz Qadrada da Variância = Desv.Pa. = S = 1,58 Divide a Soma por (n-1): = Variância = S2 = 2,5 Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

n-1 N n Estimador Tendencioso de σ Estimador Não-Tendencioso σ

Simulação (n-1) 1 2 3 4

Universidade Federal de Itajubá Outra Estratégia: Percentis e Boxplot * Outlier ( fora da distância do Q3 + 1,5D ) Observação Máxima 75% 1 9 Q3=75ª Percentil 1 4 P B D 50% 9 9 D=Q3-Q1 Interquartil 9 4 25% Q2=Mediana (50ª Percentil) EDA (Exploratory Data Analysis) e Método dos Cinco Números Q1=25ª Percentil Boxplot é desgastante quando feito sem computador pois supõe a ordenação de dados. Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Percentis e Boxplot graficos.mtw Valor do meio 3.(n+1)/4 0 Quartis:  Q1=Quarta Observação Crescente=71.7  Q3=Quarta Observação Decrescente=150.6 Outliers: Q3+1.5D= ( )=268.95  São outliers valores maiores que Para valores não inteiros dos quartis, usa-se interpolação 2.(n+1)/4 0 (n+1)/4 0 Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Escores padronizados (z) xi considera o afastamento de xi em relação à média. A divisão por s torna s como unidade ou padrão de medida. Ex.: Dois grupos de pessoas acusam os seguintes dados: Nesses grupos há duas pessoas que pesam respectivamente, 81.2 kg e 88.0 kg. Grupo Peso médio Desvio Padrão A 66.5 kg 6.38 kg B 72.9 kg 7.75 kg Logo, a pessoa de A revela um maior excesso relativo de peso. Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Z: N(0; 1) Distribuição Normal j ( z ) z -3 -2 -1 0 1 2 3 x m -3 s m
Tal fórmula está tabelada e fornece valores acumulados Distribuião Normal Reduzida ou Padronizada Qual o formato da curva acumulada? z N(0,1) é a distribuição Benchmark x m -3 s m -2 s m - s m m + s m +2 s m +3 s

Universidade Federal de Itajubá Escores padronizados (z) Uma mulher deu à luz um filho 308 dias após a visita de seu marido que serve na marinha dos EUA. Sabendo-se que uma gravidez normal tem média de 268 dias e desvio-padrão de 15 dias, determine se o tempo de gravidez da mulher pode ser considerado comum. O marido tem razão de se preocupar? Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Regra Escores padronizados (z) Regra Cerca de 68% dos valores estão a menos de 1 desvio padrão a contar da média (-1 < z < 1) Cerca de 95% dos valores estão a menos de 2 desvios padrão a contar da média (-2 < z < 2) Cerca de 99% dos valores estão a menos de 3 desvios padrão a contar da média (-3 < z < 3) Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Skewness and Kurtosis Assimetria (Skewness) Próximo de 0: Simétrico Menor que 0: Assimétrico à Esquerda Maior que 0: Assimétrico à Direita Achatamento (Kurtosis) Próximo de 0: Pico Normal Menor que 0: Mais achatada que o Normal (Uniforme) Maior que 0: Menos achatada que o normal (Afinada) Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Assimetria, Percentis e Boxplot Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Exercício Encontre todas as estatísticas descritivas para a série da tabela a seguir. 10 23 34 40 58 74 13 24 35 41 80 15 25 37 48 63 82 38 53 64 88 20 30 39 70 250 21 32 254 Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Distribuição de Freqüências Ex.: População = X=Diâmetro de determinada peça (em mm). Dados brutos: { 168, 164, 164, 163, 165, 168, 165, 164, 168, 168 } Rol: { 163, 164, 164, 164, 165, 165, 168, 168, 168, 168 } Amplitude (H) = = 5 X ni (Frequência Absoluta) fi (Frequência Relativa) Ni (Frequência Absoluta Acumulada) Fi Frequência Relativa Acumulada) 163 1 0.1 164 3 0.3 4 0.4 165 2 0.2 6 0.6 168 10 1.0 S Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Classes (ou Categorias) DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS x (Variável) xi (ponto médio) ni (frequência absoluta) fi relativa) f% percentual) Ni (Absoluta Acum.) Fi (Relativa F% (Percentual 10 ├ ─ 20 15 2 0.04 4 20 ├ ─ 30 25 12 0.24 24 14 0.28 28 30 ├ ─ 40 35 18 0.36 36 32 0.64 64 40 ├ ─ 50 45 13 0.26 26 0.9 90 50 ├ ─ 60 55 5 0.1 10 50 1.0 100 S 1 100 Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

EXEMPLO – MÉDIA P/DADOS AGRUPADOS
Classes (ou Categorias) EXEMPLO – MÉDIA P/DADOS AGRUPADOS x (Variável) xi (ponto médio) ni (frequência absoluta) (Xi).(ni) 10 ├ ─ 20 15 2 30 20 ├ ─ 30 25 12 300 30 ├ ─ 40 35 18 630 40 ├ ─ 50 45 13 585 50 ├ ─ 60 55 5 275 S 50 1820

Universidade Federal de Itajubá Histogramas Construção da tabela de distribuição de freqüências a partir do histograma de classes desiguais. Exercício: Complete a tabela. X ni fi 10 |-- 20 20 |-- 30 30 |-- 40 40 |-- 60  1 Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Correto; Some as variâncias e depois obtenha o Desvio Padrão
Soma de Normais Processo A Processo B Tempo Total (A+B) ? = 3 s = 1 = 7 s = 2 Correto; Some as variâncias e depois obtenha o Desvio Padrão Incorreto;

Diferença de Normais 1 2 2.23 5 (2) (1) S =   ¹ = + Linha A
Linha A – Linha B Linha B ? = 3 s = 1 = 7 s = 2 1 2 2.23 5 (2) (1) S B A =   = + – Correto Incorreto

Universidade Federal de Itajubá Representação Gráfica:Ramo-e-folhas  x Ramos Folhas graficos.mtw 81 113 108 74 79 78 90 93 105 109 106 103 100 101 95 94 91 92 87 89 85 86 Ex.: 11 3 10+ 8 5 9 6 10- 1 9- 4 2 7 11 3 10 8 5 9 6 1 4 2 7 Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Ramo-e-folhas Stem-and-Leaf Display: folha_ramo Stem-and-leaf of Ramo N = 33 Leaf Unit = 1.0 (10) Obtendo o seguinte Folha e Ramo. Compare os resultados fazendo um Histograma. O que representa tal coluna? Coluna folha_ramo Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Plot Exercício no Minitab: Faça o gráfico abaixo a partir dos dados seguintes. graficos.mtw Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá <Marginal Plot> Faça o gráfico bidimensional a partir dos dados a seguir graficos.mtw Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Runchart <Stat> <Quality Tools> <Run Chart> Column=Tempo na fila Subgroup Size=1 runchart.mtw Os dados representam uma série temporal Tal gráfico é útil para ver a estabilidade de um processo. Control Chart é Melhor! Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Multi-Vari Identifica Diversos tipos de variação A análise de efeitos é similar em DOE Permite identificar interações Não é o mesmo que Estatística Multivariada Sinter.mtw Use os Dados a seguir <Stat> <Quality Tools> <Multi-Vari>: Response: Força (y) Factor1: TempoSinter (x1) Factor2: TipoMetal (x2) Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Multi-Vari – Monte a Tabela Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Distribuição Normal de Probabiliade Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Algumas Distribuições Contínuas:
Distribuições Contínuas de Probabilidade f(x) => fdp Função densidade de probabilidade Área da curva é unitária Probabilidade está associada a área Algumas Distribuições Contínuas: Normal Uniforme Chi-square Fisher(F) Student(t) Beta Cauchy Exponential Gamma Laplace Logistic Lognormal Weibull

Distribuição Normal

Distribuição Normal Retorna a Variável quando é dada a probabilidade acumulada Retorna a probabilidade Acumulada Pouca Utilidade Prática Exemplo X:N(100,5) P(X<=95)=0,1587

3s Distribuição Normal m 1s p(d) T LSE
Se a dimensão de uma peça segue uma distribuição Normal X: N(80,3) qual a Probabiliade de ter uma peça defeituosa de acordo com a figura? m 1s p(d) T LSE 3s Used With Permission Ó 6 Sigma Academy Inc

Use: <Calc><Probability Distribution><Normal>
Distribuição Normal Exercício 1: Em uma população onde as medidas tem Média 100 e Desvio Padrão 5, determine a probabilidade de se ter uma medida: Entre 100 e 115 Entre 100 e 90 Superior a 110 Inferior a 95 Inferior a 105 Superior a 97 Entre 105 e 112 Entre 89 e 93 98 Use: <Calc><Probability Distribution><Normal> Exercício 2: Em uma população onde as medidas tem Média 100 e Desvio Padrão 5, determine os valores k tais que se tenha a probabilidade: P(X>k)=0,26 P(X<k)=0,32 P(100-k<100<100+k)=0,47 P(x<100-k)+P(x>100+k)=5% Dica: Crie uma coluna com os valores no Minitab Crie uma coluna com os valores 0,74...0,05 no Minitab

Universidade Federal de Itajubá Probabilidades e Escores padronizados (z) Exemplo Um cliente tem um portfólio de investimentos cuja média é US$ com desvio padrão de US$ Determine a probabilidade de que o valor de seu portfólio esteja entre US$ e US$ Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Probabilidades e Escores padronizados (z) Exemplo Se X tem distribuição normal N(15, 4), encontre a probabilidade de X ser maior que 18. Exemplo Uma companhia produz lâmpadas cuja vida segue uma distribuição normal com média horas e desvio padrão de 250 horas. Escolhendo-se aleatoriamente uma lâmpada, qual é a probabilidade de sua durabilidade estar entre 900 e horas? Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Probabilidades e Escores padronizados (z) Exemplo Um grupo de estudantes obtém notas que são normalmente distribuídas com média 60 e desvio padrão 15. Que proporção dos estudantes obtiveram notas entre 85 e 95? Exemplo No caso da prova do exercício anterior, determine a nota acima da qual estão 10% dos melhores alunos da classe. Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Probabilidades e Escores padronizados (z) Exercício É sabido que a quantidade anual de dinheiro gasto em livros por alunos de uma universidade, segue uma distribuição normal com média $380 e desvio padrão de $50. Qual é a probabilidade de que um aluno escolhido aleatoriamente no campus gaste mais do que $ 360 por ano? Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Probabilidades e Produção Exercício A demanda antecipada de consumo de um certo produto é representada por uma distribuição normal com média unidades e desvio padrão de 100. a) Qual é a probabilidade de que as vendas excedam unidades? b) Qual é a probabilidade de que as vendas estejam entre e 1300 unidades? c) A probabilidade de se vender mais do que k unidades é de 10%. Determine k. Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Probabilidades e Investimentos Exercício Um portfólio de investimentos contém ações de um grande número de empresas. Ao longo do último ano as taxas de retorno das ações dessas corporações seguiram distribuição normal com média de 12,2% e desvio padrão de 7,2%. Para que proporção de empresas o retorno foi maior que 20%? Para que proporção de empresas o retorno foi negativo? Que proporção de empresas tiveram retornos entre 5% e 15%? Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Probabilidades e Finanças Exercício Um portifólio de investimentos contém ações de um grande número de empresas. Ao longo do último ano as taxas de retorno das ações dessas corporações seguiram distribuição normal com média de 12,2% e desvio padrão de 7,2%. Para que proporção de empresas o retorno foi maior que 20%? Para que proporção de empresas o retorno foi negativo? Que proporção de empresas tiveram retornos entre 5% e 15%? Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Universidade Federal de Itajubá Testes de Hipóteses Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

Exemplos: Duas linhas de produção supostamente idênticas estão apresentando resultados diferentes. Como confirmar isso? A variabilidade de um processo é maior que outro. Temos certeza? Os dados estão normalmente distribuídos? Como saber estatisticamente se dois funcionários tem o mesmo desempenho?

Decisão Estatística Um produto original é identificado pelo seu peso (em libras) e reconhecidamente segue uma distribuição normal N(50; 0.8). Do mesmo modo, produtos falsificados tem pesos significativamente maiores que 50 lb, seguindo distribuição também normal N(52, 0.8). Uma amostra aleatória revelou um peso médio de 51,3 lb. Baseado nesta amostra a que conclusões se pode chegar?

Qual é a probabilidade de que (em função da amostra) um produto original seja classificado como Falso? Qual a probabilidade de que o produto original seja corretamente identificado? Qual a probabilidade de que um produto falsificado seja classificado como original? Qual é a probabilidade de se detectar produtos falsificados neste caso?

Hipóteses Nula e Alternativa
Na afirmação: “Uma pessoa é considerada inocente até que se prove o contrário pois é um erro maior condenar um inocente do que libertar um culpado.”, defina: Erros Tipo I e Tipo II Hipóteses Nula e Alternativa H0: o réu é inocente (hipótese fundamental) H1: o réu é culpado (hipótese alternativa)

Hipóteses e Erros Os erros de julgamento poderiam ser : condenar um réu inocente ou, então, absolver um réu culpado.

Tipos de Erros ERRO DO TIPO I Rejeitar Ho sendo Ho verdadeira
P(Erro I) = P(rejeitar Ho|Ho é verdadeira) =  ERRO DO TIPO II Não rejeitar Ho sendo Ho falsa P(Erro II) = P(não rejeitar Ho|Ho é falsa) = 

No Minitab: Análise do P-value !
Construção de T.H. Definir as hipóteses; Escolher a estatística de teste adequada; Escolher  e estabelecer a Região Crítica (RC); Com base em uma amostra de tamanho n, extraída da população, calcular ; Rejeitar Ho caso   RC. Não rejeitar Ho em caso contrário. No Minitab: Análise do P-value !

Testes de Hipóteses Estatísticas
Testes Paramétricos Testes de Hipóteses Estatísticas Os testes de hipóteses em Estatística podem ser empregados para avaliar ou comparar: médias; variâncias (ou desvios-padrão); proporções; distribuições de probabilidade e correlação. Estas análises podem se do tipo “igual”, “menor que” ou, ainda, “maior que”.

TH p/ Média Para avaliar médias, empregam-se dois diferentes tipos de testes: z ou t. o teste z é empregado somente se o desvio-padrão da população (s) é conhecido (caso pouco provável); o teste t é utilizado nas demais circunstâncias e, por isso, este é que será visto no curso.

Ex. The production manager of a company has asked you to evaluate a proposed new procedure for producing its double-hung windows. The present process has a mean production of 80 units per hour with a population standard deviation of 8 units. The manager indicates that she does not want to change to a new procedure unless there is strong evidence that the mean production level is higher with the new process. A random sample of 25 units revealed the sample mean was 83. Based on this sample, is there strong evidence to support the conclusion that the new process resulted in higher productivity?

P-Value P-Value é a área ou probabilidade que fica acima (ou abaixo) do valor obtido experimentalmente. P-Value = P(1-Ø) Quanto menor o P-Value, menor será a chance de se cometer um erro do tipo 1!

Teste Unilateral Esquerdo Teste Unilateral Direito
Unilateral e Bilateral Teste Unilateral Esquerdo A2 A1  P-Value = A1Aceita-se Ho P-Value = A2Rejeita-se Ho Teste Unilateral Direito A1  P-Value = A1Aceita-se Ho P-Value = A2Rejeita-se Ho A2 Teste Bilateral /2 P-Value = A1+A2 A1 A2

Exemplo A manufacturing process involves drilling holes whose diameters are normally distributed with population mean of 2 inches and population standard deviation 0.06 inches. A random sample of 9 measurements had a sample mean of 1.95 inches. Use a significance level of 5% to determine if the observed sample mean is unusual and suggests that the drilling machine should be adjusted.

EXERCÍCIOS Question : A company which receives shipments of batteries tests a random sample of nine of them before agreeing to take a shipment. The company is concerned that the true mean lifetime for all batteries in the shipment should be at least 50 hours. From past experience, it is safe to conclude that the population distribution of lifetimes is normal, with standard deviation of 3 hours. For one particular shipment, the mean lifetime for a sample of nine batteries was 48.2 hours. Test at 5% level the null hypothesis that the population mean lifetime is at least 50 hours.

EXERCÍCIOS Question : An engineering research center claims that through the use of a new computer control system, automobiles should achieve on average an additional 3 miles per gallon of gas. A random sample of 100 automobiles was used to evaluate this product. The sample mean increase in miles per gallon achieved was 2.4 and the sample standard deviation was 1.8 miles per gallon. Test the hypothesis that the population mean is at least 3 miles per gallon using 5% significance level. Find the P-value of this test, and interpret your findings.

EXERCÍCIOS Question : A beer distributor claims that a new display, featuring a life-size picture of a well-known rock singer, will increase product sales in supermarkets by an average of 50 cases in a week. For a random sample of 20 liquor weekly sales, the average sales increase was 41.3 cases and the sample standard deviation was 12.2 cases. Test at the 5% level the hypothesis that the population mean sales increase is at least 50 cases.

EXERCÍCIOS Question : In contract negotiations, a company claims that a new incentive scheme has resulted in average weekly earning of at least $400 for all customer service workers. A union representative takes a random sample of 15 workers and finds that their weekly earnings have an average of $ and a standard deviation of $ Assume a normal distribution. Test the company’s claim; If the same sample results had been obtained from a random sample of 50 employees, could the company’s claim be rejected at a lower significance level than in part (a)?

EXERCÍCIOS Question : A bearing used in an automotive application is supposed to have a nominal inside diameter of 1.5 inches. A random sample of 25 bearings is selected and the average inside diameter of these bearing is inches. Bearing diameter is known to be normally distributed with standard deviation 0.01 inch. Test the null hypothesis using a two-sided approach and considering.

EXERCÍCIOS Question : A process that produces bottles of shampoo, when operating correctly, produces bottles whose contents weigh, on average, 20 ounces. A random sample of nine bottles from a single production run yielded the following content weights (in ounces): 21,4 19,7 19,7 20,6 20,8 20,1 19,7 20,3 20,9. Assuming that the population distribution is normal, test at the 5% level against a two-sided alternative the null hypothesis that the process is operating correctly.

Exemplo 1Z A Resistência ao Estufamento das latas para a inspeção final deve ser maior que 90 psi. Tal resistência obedece a uma distribuição normal com desvio padrão de 1 psi . As medidas da Resistência para uma determinada linha/turno estão dadas na planilha Resistência.MTW Teste a Hipótese de que as medidas da Resistência ao Estufamento estão dentro do limite de especificação. (Prove que as medidas são maiores que 90) Gere: N(91; 0.83)

Onde: p é a proporção populacional e p0 é uma constante
TH - Proporções T.U.E T.U.D Bilateral T.U.E T.U.D Bilateral Onde: p é a proporção populacional e p0 é uma constante

A equipe obteve melhoria no desempenho ?
Exemplo – 1 Proportion Em uma indústria de autopeças, historicamente 3,5% das peças produzidas contém algum tipo não-conformidade. Uma equipe está trabalhando na redução desta incidência de defeitos e, no último mês, foram produzidas 1500 peças e somente 45 estavam fora da especificação. A equipe obteve melhoria no desempenho ?

p0 <Stat > <Basic Statistics > <1 Proportion>
Selecione Summarized data “Number of trials”: 1500 “Number of successes”: 45 Options “test proportion”: < 0,035 > “alternative”: < less than > p0

Uma equipe deseja aumentar a porcentagem (ou proporção) de pedidos aceitos pelos clientes.
A equipe acredita ter identificado uma das causas de perdas de pedidos que é o prazo elevado para envio da cotação ao cliente. Conseguiram reduzir este tempo e os resultados das últimas 10 semanas estão fornecidos no arquivo pedidos.mtw. Qual é a conclusão ?

<Stat > <Basic Statistics > <2 Proportions>
Selecione Samples in different columns First= antes Second= depois Options “test difference”: < 0 > “alternative”: < less than > Obs: no arquivo, “s” indica pedido aceito, e “n”, pedido recusado

Rejeita-se H0 Test and CI for Two Proportions: antes; depois
Success = s Variable X N Sample p antes ,255814 depois ,466667 Estimate for p(antes) - p(depois): -0,210853 95% upper bound for p(antes) - p(depois): -0, Test for p(antes) - p(depois) = 0 (vs < 0): Z = -1,87 P-Value = 0,031 Rejeita-se H0

<Stat><Basic Statistics> <1 Sample Z>
Selecione Resistencia Sigma=1 (isso geralmente não é fornecido) Test mean= 90 <Options> Alternative= Greater than <Graphs...> Individual plot

Se P-Value < , rejeita-se Ho One-Sample Z: Resistencia H0 H1
Uma boa regra: Se P-Value < , rejeita-se Ho One-Sample Z: Resistencia Test of mu = 90 vs mu > 90 The assumed sigma = 1 Variable N Mean StDev SE Mean Resistencia , , ,258 Variable ,0% Lower Bound Z P Resistencia , ,30 0,000 H0 H1 Valor dentro da Região Crítica Região Crítica Rejeita-se H0

Exemplo 1t Teste de média t para 1 amostra Gere: N(0.0835; 0.00345)
A especificação da Largura da Flange das latas para a inspeção final é definida como 0.082’’+/ ’’ e obedece a uma distribuição normal. As medidas da Largura da Flange para uma determinada linha/turno estão dadas na planilha. Teste a Hipótese de que as medidas da Largura da Flange estão dentro do limite de especificação. (Prove que os valores são em média maiores que 0,072” e menores que 0,092”) Gere: N(0.0835; )

Teste 1 (Para provar que os valores são menores que 0,092)
<Stat><Basic Statistics> <1 Sample t> Selecione Largura Flange Test mean= 0,092 <Options> Alternative= Less than <Graphs...> Histogram of data <Stat><Basic Statistics> <1 Sample t> Selecione Largura Flange Test mean= 0,072 <Options> Alternative= Greater than <Graphs...> Histogram of data Teste 2 (Para provar que os valores são maiores que 0,072)

Teste de Hipótese para Médias – Uma amostra
1Z e 1t Teste de Hipótese para Médias – Uma amostra Bilateral T.U.E T.U.D Teste Z: Teste T:

Teste de Hipótese para Médias – Duas amostras
2Z e 2t Teste de Hipótese para Médias – Duas amostras T.U.E T.U.D Bilateral Variâncias Conhecidas Variâncias Desconhecidas

Estimador Combinado 2t – Cálculo da Variância
Variância Amostral Grupo 1 Variância Amostral Grupo 2 Tamanho do Grupo 1 Tamanho do Grupo 2

TH p/ Variâncias Bilateral T.U.E T.U.D Estatística de Teste:

Exemplo Peso_Verniz.MTW
Dois tipos de Bico de Aplicação de verniz (Tipo I e Tipo II) foram avaliados. Deseja-se investigar o efeito desses dois Bicos com relação ao Peso do Verniz (em mg) medido após o processo. Tais medidas são dadas na planilha ao lado. As variâncias são iguais? (Teste a Hipótese nula de que os dois bicos produzem um peso de Verniz com mesma variância.) Peso_Verniz.MTW

Obs.: Teste o Procedimento Stack Columns
<Stat><Basic Statistics> <2 Variances> Selecione Samples in different columns First= Verniz_tipo1 Second= Verniz_tipo2 Obs.: Teste o Procedimento Stack Columns Para usar Samples in one column

Levene’s Test Prefira sempre, pois independe da distribuição dos dados. As variâncias são iguais!

Test for Equal Variances
Após empilhamento dos dados faça: <Anova> <test for equal variances> Esse método é melhor, pois pode testar mais que dois conjuntos de dados. Bonferroni confidence intervals for standard deviations Lower Sigma Upper N Factor Levels Verniz_tipo1 Verniz_tipo2 F-Test (normal distribution) Test Statistic: 2.738 P-Value : 0.150 Levene's Test (any continuous distribution) Test Statistic: 1.505 P-Value : (variâncias iguais)

Exemplo: Em relação ao problema anterior, teste se as médias são diferentes. (Peso_Verniz.MTW)
<Stat><Basic Statistics> <2 Sample t> Selecione Samples in different columns First= Verniz_tipo1 Second= Verniz_tipo2 Selecione: Assume equal variances <Options> Test mean= 0 Alternative= not equal <Graphs> Selecione Boxplots of data

Médias diferentes Two-Sample T-Test and CI: Verniz_tipo1, Verniz_tipo2
Two-sample T for Verniz_tipo1 vs Verniz_tipo2 N Mean StDev SE Mean Verniz_t Verniz_t Difference = mu Verniz_tipo1 - mu Verniz_tipo2 Estimate for difference: 95% CI for difference: (-1.838, ) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -6.97 P-Value = DF = 18 Both use Pooled StDev = 0.453 Médias diferentes

Observações Emparelhadas
Paired t Observações Emparelhadas Diferença Amostral Média Desvio Padrão das diferenças entre 1 e 2

Paired t - Características
Consiste em dois testes (um antes e outro depois) com a mesma unidade experimental (amostra). Ex.: O peso de pessoas antes e depois de um tratamento. Em geral, as unidades experimentais são heterogêneas ( grande) e exibem alta correlação positiva.

Exemplo - Paired t Suspeita-se que dois funcionários estão monitorando o manômetro de um processo de uma forma desigual. Para diferentes pressões foram lidas (de uma forma emparelhada) os resultados da planilha ao lado. Teste a Hipótese de que os dois operadores tem o mesmo desempenho.

Paired t <Stat><Basic Statistics> <Paired t>
Selecione Samples in columns First sample= Operador 1 Second sample= Operador 2 <Options> Test mean= 0 Alternative= not equal <Graphs> Individual value plot

Médias diferentes Paired T-Test and CI: Operador 1, Operador 2
Paired T for Operador 1 - Operador 2 N Mean StDev SE Mean Operador Operador Difference 95% CI for mean difference: (-3.169, ) T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = P-Value = 0.000 Médias diferentes

ANOVA é um Teste para Comparar Médias
Análise de Variância As bases da Análise de Variância Um fator (One-way) Dois fatores (Two-way) Análise de Médias (ANOM) Balanced ANOVA ANOVA é um Teste para Comparar Médias (O nome é enganoso!)

Entendendo o significado da ANOVA...
ANOVA - Visualmente Entendendo o significado da ANOVA...

As médias são realmente diferentes ou tudo não passa de casualidade?
As Bases da ANOVA Tratamentos Resposta A B C 5 9 10 4 1 6 8 7 11 Somatório 30 35 40 Médias As médias são realmente diferentes ou tudo não passa de casualidade?

Algoritmo: Variação Total
Média geral Passo 1: Cálculo da Variação Total Como VT>0 é razoável imaginar que ela se compõe de variações que ocorrem Dentro dos Grupos (VD - Within) e Entre os tratamentos (VE - Between) 5 5-7=-2 4 4-7=-3 9 Etc. Etc 7 10 3 105 96 (A, B e C) Foram considerados 15 observações: Glib=14 VT - Variação Total

Algoritmo: Variação Within
Passo 2: Cálculo da Variação Dentro do Grupo - Within 5 5-6=-1 1 4 -2 6 7 8 2 10 58 18 Foram considerados 5 observações em cada caso: Glib=12 VD= =86

6 -1 1 5 5 VE=5+0+5=10 Algoritmo: Variação Between
Passo 3: Cálculo da Variação Entre Tratamentos (Between) 6 -1 1 5 5 Foram considerados 3 observações : Glib=2 VE=5+0+5=10

GLIBVT=GLIBVD+GLIBVE ! 14=12+02
Algoritmo: Graus de Liberdade VT=VD+VE ! =86+10 Graus de Liberdade: A VT possui (15-1)=14 GLIB (3 Tratamentos) (5 Observ/Trat) A VD possui (5-1)(3)=12 GLIB (5 Observ/Amostra)(3 Amostras) A VE possui (3-1)=2 GLIB (3 Tratamentos -1) A B C 5 9 10 4 1 6 8 7 11 GLIBVT=GLIBVD+GLIBVE ! =12+02

Algoritmo: Teste de Fisher para Médias
VT=VD+VE ! =86+10 GLIBVT=GLIBVD+GLIBVE ! =12+02 Estimativas de Variâncias: VD/GLIBVD = 86/12 = 7,17 VE/GLIBVE= 10/2 = 5 F0= 5/7,17=0,70 Fcrítico= 3,89 (em função dos GLIBVE GLIBVD e alfa=5% F0<Fcrítico Não se Rejeita Ho

Quadro Resumo Básico Algoritmo: Quadro resumo Fonte de Variação
Própria Variação GLIB Variância Estimada F0 VE 10 2 10/2=5 5/7,17=0,70 VD 86 12 86/12=7,17 VT 96 14

Minitab <ANOVA>One-Way Unstacked
One-way ANOVA: A; B; C (use unstacked) Analysis of Variance Source DF SS MS F P Factor , , , ,517 Error , ,17 Total ,00 Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev A , ,581 ( * ) B , , ( * ) C , , ( * ) Pooled StDev = 2, , , , ,0

One-Way ANOVA Exemplo Na definição do Setup dos fatores para o processo Inside Spray quatro conjuntos de níveis para os parâmetros de Temperatura foram avaliados. Deseja-se investigar o efeito desses quatro Setups com relação a Distribuição do Verniz interno no fundo para cerveja medidas em mg/pol2 após o processo. Tais medidas são dadas na planilha ao lado.

ANOVA One-Way (Unstacked)
Usar o Procedimento Stack Columns para executar o Teste ANOVA One-Way (preferível pois faz a análise de resíduos!!)

ANOVA One-Way: Resultados
As médias são diferentes

ANOVA One-Way: Boxplots

ANOVA One-Way: Residuals x Fitted

Two-Way ANOVA Exemplo No processo Bodymaker deseja-se investigar a Profundidade do Dome em função de 3 conjuntos de parâmetros (envolvendo pressão, Temperatura Vazão, etc...) e também em dois turnos de operação. Foram então colhidas amostras da Profundidade do Dome (em polegadas) para diferentes Turnos e diferentes Conjuntos de Parâmetros. Processo de fabricação de latas Anova_2.MTW

ANOVA Two-Way: Follow along

ANOVA Two-Way: Resultados
Diferentes Iguais

ANOM Análise de Médias Exemplo
Foram avaliados três níveis de pressões de ar draw pad (em psi) e também três níveis de pressões de ar blow off (em psi) na influência de problemas visuais após o processo Minster. O número de defeitos visuais (Riscos, Abaulamento, orelhas, rebarbas, rugas e ovalização) está mostrado na planilha ao lado. Anova_3.MTW ANOM: Para identificar qual média é diferente e avaliar a Interação!

ANOM Isso é melhor estudado em DOE!

ANOM: Gráficos Não há interação entre as pressões Blow e Draw. O Efeito de Blow é significativo!

ANOM: Resultados Blow Draw A Pressão Blow afeta mais a média
3,0 e 8,83 são valores distantes de 6,22

Isso é a base para DOE - Delineamento de Experimentos!
Balanced Anova Exemplo Deseja-se avaliar o tempo gasto (em minutos) por seis funcionários para ajustar o Setup de dois processos (I e II) usando dois diferentes procedimentos (um novo e um antigo). A planilha seguinte mostra os resultados obtidos. Processo de fabricação de latas Anova_5.MTW Isso é a base para DOE - Delineamento de Experimentos!

Balanced ANOVA

Balanced ANOVA: Resultados
Diferentes

TWO-WAY Ex.: An engineer suspects that the surface finish of metal parts is influenced by paint used and the drying time. Using a 5% significance level, test the influence of these two factors as also its interaction.

TWO-WAY Drying Time (min) Paint 20 25 30 Total (yi..) 1 74 64 50 188 73 61 44 178 78 85 92 255 621 2 86 68 246 98 88 259 66 45 196 701 Total: (y.j.) 434 437 451 1322 (y…)

TWO-WAY Ex.: Am experiment describes na investigation about the effect of glass type and phosphor type on the brigtness of a television tube. The response is the current (mA) necessary to obtain a specified brightness level. Using a 5% significance level, test the influence of these two factors as also its interaction.

Engenharia da Qualidade I

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