Matemática Aplicada – 07/04/14

Apresentação em tema: "Matemática Aplicada – 07/04/14"— Transcrição da apresentação:

1 Matemática Aplicada – 07/04/14
Ciclo trigonométrico Prof. Robson Ricardo

2 A R C B Circunferência e arco
Uma circunferência de centro C e raio R é o conjunto dos pontos que estão a uma distância R do ponto C. A R C Um arco 𝑨𝑩 é o conjunto dos pontos da circunferência que estão entre A e B. B

3 A R A medida angular de um arco é a medida do ângulo central 𝐴 𝐶 𝐵. 𝛼 𝛼 C B

4 A R R 𝑙 C C B Comprimentos 𝛼 𝛼 _____ 𝑙 𝐿=2𝜋𝑅 360° _____ 2𝜋𝑅
da circunferência 𝐿=2𝜋𝑅 Comprimento do arco 𝛼 _____ 𝑙 360° _____ 2𝜋𝑅

5 Exemplo 1 Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento de um arco de 20°?

6 OBSERVAÇÃO 1

7 OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA A 𝛽= 𝛼 2 D 𝛽 C 𝛼 B

8 A 𝛽 Dois ou mais ângulos inscritos que enxergam o mesmo arco têm mesma medida. 𝛽 𝛽 B

9 Exemplo 2 (UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06) Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB mede 12 cm. Calcule o valor de r.

10 Grau R 1° Uma circunferência pode ser dividida em 360 arcos iguais. O ângulo que representa cada um desses ângulos vale 1 grau, por definição. C

11 𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅 A R 𝑅 C B Radianos 𝛼
1 radiano é a medida do ângulo 𝛼 do arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência. NOTAÇÃO: 1 rad 𝛼 𝑅 C B 𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅

12 Exemplo 3 Converta 50° para radianos. Converta 3𝜋/2 para graus.

13 Exemplo 4 (Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07) Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20 minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de minutos formam que ângulo, em radianos?

14 𝜃 0<𝜃<90° Relembrando... 𝑠𝑒𝑛𝜃= 𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶 𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
HIPOTENUSA CATETO OPOSTO 𝑐𝑜𝑠𝜃= 𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬 𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨 𝜃 CATETO ADJACENTE 𝑡𝑔𝜃= 𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶 𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬 0<𝜃<90°

15 𝜽=𝟎° 𝜽=𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗° E se 𝜃 não estiver entre 0° e 90°? 𝜽=𝟏𝟐𝟎° 𝜽=𝟐𝟎𝟏𝟒°

16 Relação Fundamental da Trigonometria
𝑠𝑒 𝑛 2 𝜃+ cos 2 𝜃 =1 c a 𝜃 b

17 Ciclo trigonométrico 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑦 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 2° quadrante 1° quadrante
Sentido anti-horário 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥 −1 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 1 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 1 3° quadrante 4° quadrante −1

18 Arcos côngruos Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão por 360. Exemplo 3 Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos dos ângulos abaixo: 1270° 29𝜋 7 rad

19 Pontos limítrofes 𝑠𝑒𝑛𝑜 1 −1 1 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 −1 cos 0° =1 e 𝑠𝑒𝑛 0°=0

20 Redução ao 1º Quadrante sen 𝛼 =𝑠𝑒𝑛⁡( 𝛼 ′ ) Se 𝛼 está no 2º Quadrante.
𝑠𝑒𝑛𝑜 Se 𝛼 está no 2º Quadrante. cos 𝛼 =−cos⁡( 𝛼 ′ ) 1 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =𝑠𝑒𝑛( 𝛼 ′ ) 𝜶 𝜶′ 𝜶′ 𝟏𝟖𝟎° 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 cos 𝛼 =−𝑐𝑜𝑠 𝛼′ 𝑐𝑜𝑠(𝛼′) espelho

21 Redução ao 1º Quadrante sen 𝛼 =−𝑠𝑒𝑛⁡( 𝛼 ′ ) Se 𝛼 está no 3º Quadrante.
𝑠𝑒𝑛𝑜 Se 𝛼 está no 3º Quadrante. cos 𝛼 =−cos⁡( 𝛼 ′ ) 1 𝑠𝑒𝑛(𝛼′) 𝜶 −𝑐𝑜𝑠 𝛼′ = cos (𝛼) 𝜶′ 𝟏𝟖𝟎° 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 𝜶′ 𝑐𝑜𝑠(𝛼′) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

22 Redução ao 1º Quadrante sen 𝛼 =−𝑠𝑒𝑛⁡( 𝛼 ′ ) Se 𝛼 está no 4º Quadrante.
𝑠𝑒𝑛𝑜 Se 𝛼 está no 4º Quadrante. cos 𝛼 =cos⁡( 𝛼 ′ ) 1 𝑠𝑒𝑛 𝛼′ 𝜶 𝜶′ 𝒄𝒐𝒔 𝜶 ′ =𝐜𝐨𝐬(𝜶) espelho 𝟏𝟖𝟎° 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 𝜶′ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =−𝑠𝑒𝑛(𝛼′)

23 Exemplo 5 Calcule o seno e cosseno dos ângulos 120° 210° 315°

24 Robson Ricardo de Araujo
A Matemática não é algo mágico e ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de conhecimento naturalmente desenvolvido por pessoas durante um período de 5000 anos. Frank Swetz Robson Ricardo de Araujo