Equações de Maxwell Aula 13 Prof Paulo Rosa INFI/UFMS.

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1 Equações de Maxwell Aula 13 Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

2 indutância Consideremos dois circuitos em repouso. Pela lei de Biot-Savart o campo criado pela corrente que flui no circuito 1 é dado por: B1 i1 C2 C1 dl2 dl1 r i2 O fluxo através de uma superfície fechada S, limitada pelo circuito 2 é dado por: Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

3 Indutância mútua entre os dois circuitos
Indutância II Como o campo produzido pela espira 1 é proporcional a i1 o fluxo na superfície limitada pela espira 2 também deve ser proporcional a i1: Indutância mútua entre os dois circuitos Vamos expressar agora o campo criado pela espira 1 em termos do potencial vetor e usar esse resultado para escrever o fluxo através da espira 2: Fórmula de Neumann Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

4 Indutância iii Propriedades da indutância:
É uma quantidade puramente geométrica; M21 = M12 = M : temos simetria. O que acontece se a corrente no circuito 1 variar? O fluxo no circuito 2 também vai variar e consequentemente teremos uma força eletromotriz agindo no circuito 2: Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

5 Indutância iv A variação de corrente no circuito 1 também induz uma variação de fluxo no próprio circuito 1 => auto-indutância (L): - Com a indutância mútua, a auto-indutância (ou simplesmente indutância) depende apenas de fatores geométricos e é uma constante. Do mesmo modo, o fato de variar a corrente no circuito 1 faz com que apareça uma força eletromotriz que tende a fazer com que a corrente no circuito volte a seu valor anterior: chamamos esta fem de contra fem; A indutância faz então o papel da massa em problemas da Mecânica. Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

6 Energia em campos magnéticos
Qual o trabalho que deve ser realizado para estabelecer uma certa corrente em um circuito? Esse trabalho é realizado contra a força eletromotriz contrária. Valor final da corrente Trabalho por unidade de carga (ao longo do circuito) Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

7 Energia em campos magnéticos ii
Lembrando que: Escrevendo a corrente vetorialmente: Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

8 Energia em campos magnéticos iii
O volume V é o volume onde estão as correntes. Usando agora a lei de Ampére para eliminar J desta equação: Podemos escrever que: Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

9 A energia fica armazenada no campo!
Energia em campos magnéticos iV Podemos estender, já que as correntes são nulas fora dos circuito, a integral para todo o espaço. No infinito, a integral se superfície se anula e então: Caso eletrostático A energia fica armazenada no campo! Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

10 Equações de maxwell Quando olhamos para as equações que temos agora, observamos uma inconsistência na lei de Ampére: Sempre! Em geral Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

11 Equações de maxwell ii Para resolver esse problema vamos olhar para a equação da continuidade: Se somarmos esse termo à lei de Ampére, recuperamos a igualdade sempre. Logo a forma correta da Lei de Ampére será dada por: Corrente de deslocamento Lei de Ampére com a correção devida a Maxwell Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

12 Equações de maxwell iii
Um problema interessante i + Circuito amperiano _ Superfície arbitrária 2 Superfície arbitrária 1 Se analisarmos esse problema com a velha formulação da lei de Ampére seremos levados a uma contradição. Se aplicarmos a lei de Ampére considerando a superfície arbitrária 1: Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

13 Equações de maxwell iv Por outro lado, se usarmos a superfície arbitrária 2: Vamos agora analisar o mesmo problema, usando a formulação correta da lei de Ampére. O caso da superfície arbitrária 1 continua o mesmo, mas o que acontece agora coma superfície arbitrária 2? Por simplicidade, vamos supor que as placas do capacitor estejam suficientemente próximas: Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

14 Equações de maxwell v Portanto, agora, se calcularmos usando a superfície 2 e a forma correta da lei de Ampére: Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

15 Equações de maxwell vi Podemos agora escrever as equações de Maxwell na sua forma final (no vácuo): Lei de Gauss Lei de Gauss Lei de Faraday Lei de Ampére (com a correção devida a Maxwell) Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

16 Equações de maxwell viI
Estas equações nos fornecem os campos criados por cargas e correntes. A ação dos campos sobre as cargas e correntes é dada pela força de Lorentz: Obs.: a equação da continuidade da carga é uma conseqüência destas equações. Em meios materiais: Necessitamos saber: Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

17 Como fica o potencial agora?
Vamos usar a definição do campo magnético em função do potencial vetorial na Lei de Faraday: Um novo potencial! Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

18 Leis de conservação e equações de maxwell
Energia Momento angular Momento Carga Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

19 Leis de conservação e equações de maxwell conservação da carga elétrica
Por outro lado o fluxo de carga através da superfície que limita o volume S é dado por: Conservação da carga Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

20 Leis de conservação e equações de maxwell conservação da energia
Teorema de Poynting No caso da eletrostática e da magnetostática a energia total armazenada nos campos elétrico e magnético é dada pela soma: Como fica no caso dinâmico? Qual a quantidade de trabalho (dW) executada pelos campos elétrico e magnético em um intervalo de tempo dt? Pela força de Lorentz: i E B 20 Prof Paulo Rosa DFI/CCET/UFMS Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

21 Leis de conservação e equações de maxwell conservação da energia ii
Vamos agora usar a lei de Ampére para eliminar a densidade de corrente da expressão anterior (e ficar com uma expressão que depende apenas dos campos): Vamos usar agora a identidade vetorial: Podemos reescrever: Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

22 Leis de conservação e equações de maxwell conservação da energia iii
Usando agora a lei de Faraday e a identidade: Podemos reescrever a expressão acima como: Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

23 Leis de conservação e equações de maxwell conservação da energia iv
Após aplicar o teorema da divergência ao último termo obtemos: Teorema de Poynting. Vetor de Poynting (S) Prof Paulo Rosa DFI/CCET/UFMS Uem Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

24 Equação da continuidade para a energia
Leis de conservação e equações de maxwell conservação da energia v Usando uma notação mais compacta: Por outro lado, esse trabalho aparece como variação na energia mecânica do sistema de partículas: Portanto: Equação da continuidade para a energia Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

25 Leis de conservação e equações de maxwell conservação do momento
y x z B1 Fe Fm B2 v As forças magnéticas não obedecem à terceira lei de Newton - > Temos que rediscutir a conservação do momento. Os campos são portadores de momento! Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

26 Força por unidade de volume.
Leis de conservação e equações de maxwell conservação do momento II Tensor Stress de Maxwell Uma pequena questão: qual a força total exercida pelos campos sobre as cargas presentes em um dado volume? Força por unidade de volume. Vamos usar agora as leis de Ampére e de Gauss para eliminar a densidade de carga e a densidade de corrente: Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

27 Leis de conservação e equações de maxwell conservação do momento III
Podemos reescrever o último termo na forma: Logo: Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

28 Leis de conservação e equações de maxwell conservação do momento Iv
Como o divergente de B é nulo podemos soma-lo a esta última expressão. Além disso, podemos fazer uso da identidade vetorial: Com isso, a força por unidade de volume será dada por: Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

29 Leis de conservação e equações de maxwell conservação do momento v
Podemos simplificar esta expressão, introduzindo o tensor Stress de Maxwell: A i-ésima componente do divergente deste tensor é dada por: Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

30 Leis de conservação e equações de maxwell conservação do momento vi
Em termos do tensor Stress de Maxwell, a força por unidade de volume pode ser escrita como: E a força no volume V será dada por: Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

31 Leis de conservação e equações de maxwell conservação do momento vii
Qual a interpretação dessas quantidades? Tij : força na direção i exercida sobre um elemento de área da superfície S, orientado na direção j xj xi Tij (ij) Tjj Os elementos da diagonal representam pressões; Os elementos fora da diagonal representam shears (cisalhamento). Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

32 Densidade de fluxo de momento para fora do elemento de volume
Leis de conservação e equações de maxwell conservação do momento viii Podemos agora obter a expressão para a conservação do momento: Densidade de fluxo de momento para fora do elemento de volume Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

33 Leis de conservação e equações de maxwell conservação do momento angular
Da definição de momento angular, o momento angular por unidade de volume (l) será dado por: E o momento angular total (L) em um volume V: Desde que tenhamos o produto vetorial de E por B não nulo, este termo deve ser levado em conta na conservação do momento angular. Prof Paulo Rosa INFI/UFMS

34 Fim da aula 13 Fim do Curso de Eletromagnetismo I
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