MECÂNICA Mecânica Clássica Cinemática – Movimento em uma dimensão

Apresentação em tema: "MECÂNICA Mecânica Clássica Cinemática – Movimento em uma dimensão"— Transcrição da apresentação:

1 MECÂNICA Mecânica Clássica Cinemática – Movimento em uma dimensão
Posição e deslocamento Velocidade Aceleração

2 Entender o movimento é um dos objetivos da Física
MECÂNICA Entender o movimento é um dos objetivos da Física A Mecânica estuda o movimento e as suas causas 2 2

3 Mecânica Clássica As contribuições mais importantes para a Mecânica Clássica foram dadas por Isaac Newton ( )  formulou as leis fundamentais do movimento  foi um dos criadores do cálculo diferencial e integral As leis de Newton não podem ser aplicadas: em situações que envolvem velocidades próximas da velocidade da luz, que é m/s  km/s (relatividade) na dinâmica de sistemas muito pequenos (física quântica)

4 (Mecânica Newtoniana)
MECÂNICA CLÁSSICA (Mecânica Newtoniana) CINEMÁTICA estuda os movimentos sem levar em conta as causas do movimento DINAMICA estuda as forças e os movimentos originados por essas forças Força 4 4

5 Movimento em uma dimensão
CINEMÁTICA Movimento em uma dimensão O movimento representa uma mudança contínua da posição de um corpo Todo movimento é definido em relação à um referencial O movimento ao longo do eixo x (orientado) x x Utilizaremos o MODELO DE PARTÍCULA porque o tamanho do corpo real não tem consequência na análise do seu movimento 5 5

6 Posição Um corpo é localizado pela sua posição ao longo de um eixo orientado, relativamente a um ponto de referência (o observador), em geral a origem (x = 0) x (m) 6 6

7 Deslocamento deslocamento x = xf - xi t = tf – ti
O deslocamento unidimensional de um objeto num intervalo de tempo (tf - ti) é a diferença entre a posição final (xf ) no instante tf e a posição inicial (xi) no instante ti Exemplo 1 Corrida de 100 m deslocamento x = xf - xi t = tf – ti intervalo de tempo 7 7

8 O deslocamento do corredor é
Exemplo 2. Corrida de 100 metros. O corredor parte de xi= 0 m para xf= 100 m. O deslocamento do corredor é x = xf - xi = 100 m - 0 = 100 m Exemplo 3. Uma pessoa a andar se desloca do ponto xi= 200 m para xf= 100 m. O deslocamento da pessoa é x = xf - xi = = m 8 8

9 Velocidade média t ti tf x xf xi
Temos a noção intuitiva de velocidade como sendo o espaço percorrido por um corpo num certo tempo t ti tf x xf xi A velocidade média é a distância x = xf - xi percorrida pela partícula num intervalo de tempo t = tf - ti 9 9

10 Deslocamento : x = xf - xi posição x como uma função do tempo t x x2
Velocidade média:  declive de uma secante 10

11 A velocidade média nos dá informações sobre um intervalo de tempo
Se  movimento para a direita, ou no sentido de crescimento de x Se  movimento à esquerda, ou no sentido de decréscimo de x) A velocidade média nos dá informações sobre um intervalo de tempo m  11 11

12 c) Em todo o intervalo (de 0 a 10.5 s) :
Exemplo 4. Na corrida de 100 m, o corredor nos primeiros 5.01 s, percorre 40 m e depois percorre 60 m. O tempo total da corrida é de 10.5 s. Determinar : a) a velocidade média do corredor até o instante de 5.01 s . b) a velocidade média do corredor após este instante e até o final da corrida. c) a velocidade média do corredor em todo o intervalo do tempo de duração da corrida. a) De 0 a 5.01 s : x = xf - xi= = 40 m e t = tf – ti= 5.01 s- 0 = 5.01 s b) De 5.01 a 10.5 s: x = xf - xi= 100 m – 40 m = 60 m e t = tf – ti= 10.5 s s = 5.49 s c) Em todo o intervalo (de 0 a 10.5 s) : x = xf - xi= 100 m – 0 = 100 m e t = tf – ti= 10.5 s – 0 m = 10.5 s 12 12

13 Exemplo 5. Uma partícula em movimento ao longo do eixo x está localizada no ponto xi = 12 m em ti= 1 s e no ponto xf = 4 m em tf = 3 s. Encontre o deslocamento e a velocidade média da partícula durante esse intervalo de tempo. e t = tf – ti= 3 s – 1 s = 2 s x = xf - xi= 4 m – 12 m = - 8 m A partícula se moveu para a esquerda com essa velocidade Exemplo 5. É apresentado na Figura 1 o gráfico do deslocamento versus tempo para uma certa partícula em movimento ao longo do eixo x. Encontre a velocidade média nos intervalos de tempo (a) 0 a 2 s, (b) 0 a 4s, (c) 2 s a 4 s, (d) 4 s a 7 s, (e) 0 a 8 s. 13 13 Figura 1

14 (a) 0 a 2 s x = xf - xi= 10 m - 0 = 10 m t = tf – ti= 2 s - 0 s = 2 s (b) 0 a 4 s x = xf - xi= 5 m - 0 = 5 m t = tf – ti= 4 s - 0 s = 4 s (c) 2 s a 4 s x = xf - xi= 5 m – 10 m = - 5 m t = tf – ti= 4 s - 2 s = 2 s 14 14

15 (d) 4 s a 7 s x = xf – xi = - 5 m - 5 m = - 10 m
t = tf – ti = 7 s - 4 s = 3 s (e) 0 a 8 s x = xf – xi = = 0 t = tf – ti = 8 s = 3 s 15 15

16 Velocidade instantânea
É a velocidade que a partícula tem a cada instante A velocidade instantânea é a derivada da posição (x) em relação ao tempo (t) Velocidade na direção x: x 16 16

17 v é o declive da tangente para o gráfico x versus t
Velocidade instantânea é a média sobre um intervalo de tempo infinitesimal : x t t v é o declive da tangente para o gráfico x versus t Fisicamente , v é a taxa de variação de x, dx/dt. 17

18 ALGUMAS DERIVADAS IMPORTANTES

19 Velocidade escalar média
A velocidade escalar média é uma forma diferente de descrever a rapidez com que uma partícula se move. Ela envolve apenas a distância percorrida, independentemente da direção e sentido: Em algumas situações  Exemplo: A partícula parte de O, em ritmo constante, atinge P: Entretanto, elas podem ser bastante diferentes ! 19 19

20 Exemplo 6: A partícula parte de O, em ritmo constante, atinge P e retorna a O, depois de decorrido um tempo total e ter percorrido uma distância total L Neste caso: e

21 Velocidade escalar A velocidade escalar é o módulo da velocidade; ela é destituída de qualquer indicação de direção e sentido Exemplo 7: O velocímetro de um carro marca a velocidade escalar instantânea e não a velocidade, já que ele não pode determinar a direção e o sentido 21

22 Movimento retilíneo uniforme
Chama-se movimento retilíneo uniforme ao movimento em que a velocidade é constante é a posição da partícula no instante inicial t = t0 é a velocidade com que a partícula se desloca é constante Para t0 = 0 temos a equação do movimento retilíneo uniforme Equação horária Para t0  0 temos a equação 22 22

23 Diagrama do movimento de um carro com velocidade constante
A seta vermelha indica o vetor velocidade

24 Movimento retilíneo uniforme  MRU
Graficamente temos Espaço variável Velocidade constante Equação da Recta Recta paralela ao eixo do tempo 24 24

25 Exemplo 8

26 Cálculo de x(t) a partir de v(t) para o MRU
Este é o problema inverso. v(t–t0)  é a área sob a curva da velocidade em função do tempo (v = constante ) v t0 t onde v(t) é a velocidade instantânea em t.

27 a) Qual é a velocidade da corredora?
Exemplo 9. O treinador de uma corredora determina sua velocidade enquanto ela corre a uma taxa constante. O treinador inicia o cronómetro no momento em que ela passa por ele e pára o cronómetro depois da corredora passar por outro ponto a 20 m de distância. O intervalo de tempo indicado no cronómetro é de 4.4 s. a) Qual é a velocidade da corredora? b) Qual é a posição da corredora 10 s após ter passado pelo treinador? a) Qual é a velocidade da corredora? t0=0 t = 4.4 s b) Qual é a posição da corredora 10 s após ter passado pelo treinador? 27 27

28 Sabemos que entre 0 e 2 s a velocidade é constante
Exemplo 10. Encontre a velocidade instantânea da partícula descrita na Figura 1 nos seguintes instantes: (a) t = 1.0 s, (b) t = 3.0 s, (c) t= 4.5 s, e (d) t= 7.5 s. (a) t = 1.0 s Sabemos que entre 0 e 2 s a velocidade é constante x0 = t0 = 0 x = 10 m t = 2 s Figura 1 (b) t = 3.0 s x0 = 10 m t0 = 2 s x = 5 m t = 4 s 28 28

29 (c) t = 4.5 s v= 0 (d) t = 7.5 s x0 = - 5 m t0 = 7s x = 0 m t = 8 s 29

30 Aceleração média Quando a velocidade da partícula se altera,
diz-se que a partícula está acelerada A aceleração média é a variação da velocidade num intervalo de tempo t ou ou a notação 30 30

31 A velocidade escalar diminui com o tempo
Exemplo 11. Considere o movimento do carro da Figura 2. Para os dados apresentados na Figura 2, calcule a aceleração média do carro. Figura 2 A velocidade escalar diminui com o tempo O carro está desacelerando 31 31

32 Aceleração instantânea
Em algumas situações a aceleração média pode variar em intervalos de tempo diferentes portanto é útil definir a aceleração instantânea Aceleração na direção x x 32 32

33 ALGUMAS INTEGRAIS IMPORTANTES
(Uma constante arbitrária deve ser adicionada a cada uma dessas integrais)

34 a é a aceleração da partícula
Movimento retilíneo uniformemente variado Um movimento é uniformemente variado quando a aceleração é constante  para t0 = 0 temos é a velocidade da partícula em t = 0 a é a aceleração da partícula a é constante se a velocidade da partícula aumenta com o tempo o movimento é uniformemente acelerado se a velocidade da partícula diminui com o tempo o movimento é uniformemente retardado Para t0  0 temos a equação 34 34

35 Substituindo em obtemos Integrando: Obtemos:

36 Exemplo 12

37 Diagrama de movimento para um carro cuja aceleração é constante na direção de sua velocidade
 a seta superior indica o vetor velocidade e a seta inferior, o vetor aceleração constante Diagrama do movimento para um carro cuja aceleração é constante na direção oposta à velocidade em cada instante

38 Graficamente temos Movimento retilíneo uniformemente variado  MRUV
Velocidade variável Aceleração constante Espaço variável Parábola Equação da recta 38 38 38

39 Exemplo 13: Aceleração positiva

40 Exemplo 14: Aceleração negativa

41 Cálculo de x(t) a partir de v(t) para o MRUV
Dividimos o intervalo (t-t0) num número grande N de pequenos intervalos v(ti) Área dum retângulo i  Somando a área de todos os retângulos: No limite N  e t0: e Área que corresponde a área sob a curva.

42 (a velocidade é a derivada em ordem ao tempo da posição)
Assim A velocidade é obtida derivando-se a posição em relação ao tempo (a velocidade é a derivada em ordem ao tempo da posição)  geometricamente, a velocidade é o coeficiente angular da reta tangente à curva da posição versus tempo no instante considerado. O deslocamento é obtido pela integração da velocidade  geometricamente, o deslocamento é a área sob a curva da função velocidade versus tempo.

43 Exemplo 15. Um avião parte do repouso e acelera em linha reta no chão antes de levantar voo. Percorre 600 m em 12 s. a) Qual é a aceleração do avião? b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s? a) Qual é a aceleração do avião? (parte do repouso) Substituindo os valores na equação  b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s? (parte do repouso)