UNIDADE 2 -complementos

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1 UNIDADE 2 -complementos
. Modelos de aversão ao risco . Dominância estocástica de primeira e segunda ordem unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

2 O que estudámos e o que vamos estudar
Teoria do consumidor Preferências  utilidade Maximização da utilidade  Curvas de procura Extensões à teoria do consumidor - Escolha inter-temporal - Escolha em incerteza Aplicações às Finanças Escolha de Portfolio, CAPM, CCAPM, preço de opções unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

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Consumo em incerteza Lotaria simples: Define-se lotaria simples como o conjunto L=(p1…pn) com pn0 para todo o n e , onde pn é a probabilidadede ocorrência da lotaria. Lotaria composta (lotarias de lotarias) : Dadas as lotarias simples K , K=1…k e um conjunto de probabilidades associada à ocorrência de Lk, define-se lotaria composta como o risco alternativo que dá Lk com probabilidade. unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

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Lotarias Exemplo: Preço=100E Lotaria composta A: L1=(100,0,0) ocorre com probabilidade 1/3 L2=(100*1/4, 100* 3/8, 100*3/8) ocorre com probabilidade 1/3 L3=(100*1/4, 100* 3/8, 100*3/8) ocorre com probabilidade 1/3 Lotaria composta B: L1=(100*1/2, 100*1/2, 0) ocorre com probabilidade ½ L2=(100*1/2, 0, 100*1/2) ocorre com probabilidade ½ Prefere A or B? Quando consideramos três lotarias alternativas L1, L2 e L3, o consumidor não pode consumir L1 e L2 conjuntamente ou L1 e L3 conjuntamente etc. mas tem de escolher entre alternativas mutuamente exclusivas. unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

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Lotarias reduzidas Considere duas lotarias : Cada lotaria ocorre com uma determinada probabilidade . O que é uma lotaria reduzida? Uma lotaria reduzida é unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

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Lotarias Reduzidas Da lotaria composta pode-se compor a lotaria reduzida,, i.e. a lotaria simples L=(p1…pn) que gera uma distribuição final de resultados (pagamentos). Considere por exemplo um resultado 1. Sabe-se que este resultado pode ser realizado com uma probabilidade certa sobre um conjunto de lotarias Lk , na qual cada uma ocorre com uma determinada probabilidade. A probabilidade de ocorrencia do resultado 1 é: unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

7 Preferências sobre lotarias compostas
Desde que o consumidor se preocupe apenas com a distribuição do resultado final, ele encontra-se-á indiferente entre lotarias compostas que se reconvertam na mesma lotaria reduzida. unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

8 Lotaria e aversão ao risco
Em incerteza os indivíduos mostram um grau maior ou menor de aversão ao risco. Quais as causas da aversão ao risco? Isto é, qual a propriedade da função de utilidade (utilidade esperada) implica aversão ao risco? Considere a utilidade sobre lotarias de valor monetário. Seja x um valor certo que um indivíduo recebe. unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

9 Escolhas em situação de risco
Exemplos: Seguros Investimento num activo de risco Comparação de diferentes pagamentos: Suponha que enfrenta uma escolha em que tem de comparar diversos activos com risco. Que tipo de estatística deverá utilizar de modo a escolher entre os investimentos propostos? unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

10 Lotaria e aversão ao risco
Outros conceitos associados: Equivalente certo = Valor certo em valores monetários que um indivíduo deseja aceitar em vez da lotaria. Prémio probablístico = O excesso em termos probabilísticos que torna um indíviduo indiderente entre um valor certo e a lotaria. Se um indivíduo tem aversão ao risco então: O valor certo em dinheiro que ele está disposto a aceitar em vez da lotaria deverá ser menor que o valor esperado de dinheiro que ele obteria da lotaria. (Para evitar o risco prefere menos a mais) unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

11 Lotaria e aversão ao risco
E u(x) a utilidade associada a x. A aversão ao risco resulta da concavidade de u(x). A função de utilidade é única? Não, pois toda a transformação monótona representa as mesmas preferências. unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

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Função de utilidade Função de utilidade concâva unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

13 Medidas da aversão ao risco
unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

14 Medindo a aversão ao risco
Função de utilidade estritamente concâva unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

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Curvas de indiferença unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

16 Escolhas perante o risco
Nível de retorno (média) Dispersão dos retornos A função de didistribuição,se conhecida, poderá servir para comparar lotarias unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

17 Medidas de aversão ao risco
unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

18 Medidas de aversão ao risco de Arrow-Pratt
(i) Aversão absoluta ao risco (ii) Aversão relativa ao risco unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

19 (i) Aversão absoluta ao risco
Y Y+h Y-h p 1-p p(Y,h)  ½ + ¼ h RA (Y) unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

20 (ii) Aversão relativa ao risco
Y Y(1+q) Y(1-q) p 1-p unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

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Equivalente certo e prémio de risco unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

22 Nivel de aversão relativa ao risco de um investidor
 = 0 CE = 75,000 (neutralidade ao risco)  = 1 CE = 70,711  = 2 CE = 66,246  = 5 CE = 58,566  = 10 CE = 53,991  = 20 CE = 51,858  = 30 CE = 51,209 Y=0 Y=100,  = CE = 66,530 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

23 Dominação estocástica conceitos
Postulados da utilidade esperada levam-nos a definir dois conceitos de dominação alternativos que são mais fracos e de mais ampla utilização que o conceito de dominação em cada estado da natureza. São conceitos interessantes na medida em que descrevem situações em que os rankings entre alternativas de risco são preference-free, i.e., podem ser definidos independentemente dos trade-offs específicos (entre retorno, risco e outras características das distribuições de probabilidade) representadas pela função de utilidade de um agente. unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

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unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

25 Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira
Definição : Considere e a distribuição acumulada de duas funções de duas variáveis aleatórias (cash payoffs) que, sem perda de generalidade assumem valores no intervalo Dizemos que domina estocasticamente em primeira ordem (FSD) se e somente se FA(x) FB(x) for all x unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

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Teorema1- FSD : Considere , , duas distribuições de probabilidade acumuladas referente aos resultados aleatórios Então FSD se e só se para todas as funções de utilidade não decrescentes U( ) unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

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First Order Stochastic Dominance: A More General Representation unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

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Figure 3-6 Second Order Stochastic Dominance Illustrated unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

29 Dominação estocástica 2ª ordem
Suponha que pode alterar uma função F(.) de modo a manter a média mas alterando a variância. Suponha que G(.) é a função que se obtém desta transformação, isto é, G(.) é uma média preservada da dispersão de F(.) Ex: F(.) é tal com a probabilidade p=1/2 Obtem 2, p ex, com prob p=1/2, obtem 3 cuja media de pagamento será 5/2 Seja G(.) com probabilidade p=1/4, obterá (1,2,3,4) com média também de 5/2 Qual prefere F(.) ou G(.)? unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

30 Dominação estocástica
Se for avesso ao risco preferirá F(.) a G(.). Pode provar que F(.) domina estocasticamente em segunda ordem G(.) unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

31 Dominação estocástica 2ª ordem
Resultado: se G(.) é uma media preservada de F(.), então F(.) domina estocasticamente em segunda ordem G(.) Demonstração: Considere x uma lotaria com distribuição de acordo com F(.). Suponha que tornaremos aleatório x de forma a que o pagamento final seja x+z onde z se encontra distribuido de acordo com a função H(z) com média zero. Por outro lado, x+z tem a mesma média mas com variância diferente. Definimos G(.) como uma lotaria final reduzida, i.e. a função que tem uma probabilidade associada a cada x utilizando a transformação de F(.). G(.) é uma média presrvada com outra variância de F(.). unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

32 Teorema SSD (Rothschild&Stiglitz)
Seja F e G com mesma média e considere T(x)  0. Todo o indivíduo com aversão ao risco (U’>0 e U”<0) prefere F a G: EFU(x)  EGU(x) unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

33 Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira
Teorema2- SSD : Considere , , duas distribuições de probabilidade acumuladas referente aos resultados aleatórios, Então SSD se e só se para todas as funções de utilidade não decrescentes e concâvas U( ) unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

34 Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira
Dominação estocástica de 2ª ordem (SSD). Considere , , duas distribuições de probabilidade acumuladas referente aos resultados aleatórios situados no intervalo . Dizemos que domina estocasticamente em 2ª ordem (SSD) se e só se para todo o valor de x : (Com estrita desigualdade para alguns intervalos significativos de t). unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

35 Teorema SSD (Rothschild&Stiglitz)
unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

36 Distribuição da média com maior ou menor risco
(3.8) Figure Mean Preserving Spread unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

37 Prémio de risco e equivalência certa
Teorema 3.1 (Desigualdade de Jensen): Seja g( ) uma função concâva no intervalo [a,b], e uma variável aleatória tal que Suponha que as expectativas E( ) e Eg( ) existem; Então Por outro lado, se g( ) é estritamente concava, então a desigualdade é estrita. unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

38 Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira
(a) EU(Y + ) = U(Y + CE(Y, )) (b) = U(Y +E (Y, )) unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

39 Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira
Conceitos analisados Medidas de aversão aboluta e relativa ao risco Equivalência certa e prémio de risco Dominação estocástica unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

40 Que tipo de jogo prefere?
Gamble A Gamble B 90 reds to win $96 05 blues to win $14 05 whites to win $12 85 reds to win $96 05 blues to win $90 10 whites to win $12 Here’s a choice between A and B. There are 100 marbles in each Urn, A and B. Urn A has 90 red marbles to win $96, 5 blue marbles to win $14, and 5 white marbles to win $12. From which urn would you rather draw a marble at random? 70% of undergraduates tested chose B over A, even though A stochastically dominates B by First Stochastic Dominance. This is the choice between G+ and G-, and here we find that people, as predicted by RAM and TAX, violate stochastic dominance. We can reject the hypothesis that people just guess between A and B in favor of the hypothesis that significantly more than half of them choose the dominated gamble. 70% of undergrads chose B unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

41 Which of these gambles would you prefer to play?
Gamble C Gamble D 85 reds to win $96 05 greens to win $96 05 blues to win $14 05 whites to win $12 05 greens to win $90 05 blues to win $12 Here we have the choice between GS- and GS+. As predicted by all of the models, including RAM and TAX, people now satisfy stochastic dominance. Rates of satisfaction in this choice and ones like it are usually above 90%.. So, we can both create and largely eliminate violations of stochastic dominance, as predicted by RAM and TAX models. 90% choose C over D unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira