Interpolação-Parte II Estudo do Erro

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1 Interpolação-Parte II Estudo do Erro
Estudo do Erro na Interpolação Interpolação Inversa Grau do Polinômio Interpolador Função Spline em Interpolação 4.1 Spline Linear 4.2 Spline Cúbica

2 1.Estudo do Erro na Interpolação
O erro em aproximar a função f(x) por um polinômio interpolador pn(x), de grau menor ou igual a n, é: En(x)=f(x)-pn(x) para todo x de [x0,xn]. Estudar o erro na interpolação significa saber o quão próximo f(x) está de pn(x).

3 1.Estudo do Erro na Interpolação
Interpolação linear de f1(x) e f2(x) f(x) p1(x) f2(x) f1(x1)= f2(x1)=p1(x1) f1(x) f1(x0)= f2(x0)=p1(x0) x0 x1 x

4 1.Estudo do Erro na Interpolação
Interpolação linear de f1(x) e f2(x) por p1(x). O mesmo polinômio p1(x) interpola f1(x) e f2(x) em x0 e x1. O erro E11(x)=f1(x)-p1(x) > E12(x)= f2(x)- p1(x) para todo x de (x0 , x1). O erro depende da concavidade da curva, ou seja, de f1”(x) e f2”(x).

5 1.Estudo do Erro na Interpolação
Teorema 1: “Sejam pontos. Seja f(x) com derivadas até ordem (n+1) para todo x em [x0,xn]. Seja pn(x) o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, x2,...,xn. Então, em qualquer ponto do intervalo [x0,xn] o erro é dado por En(x)=f(x)-pn(x)= (x-x0)(x-x1)...(x-xn) onde “.

6 1.Estudo do Erro na Interpolação
Demonstração:Teorema 1 Note que x=xi para i=1,2,..,n, segue que G(x)= (x-x0)(x-x1)...(x-xn)= En(x)=0, logo a fórmula do erro está correta para x=xi. Definindo a função H(t)= En(x)G(t)- En(t)G(x), com . Então, H(t) tem n+1 derivadas e pelo menos n+2 zeros. Note que x0,x1,..,xn e x são zeros de H(t). Aplicando o Teorema de Rolle sucessivamente, n+1 vezes, demonstra-se o teorema.

7 1.Estudo do Erro na Interpolação
Teorema 2: “Sejam pontos. Seja pn(x) o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, x2,...,xn. Da forma de Newton En(x)=f(x)-pn(x)= (x-x0)(x-x1)...(x-xn) f[x0, x1, x2,...,xn,x]. Portanto, com Demonstração imediata.

8 1.Estudo do Erro na Interpolação
Corolário1: Estimativa do Erro. Sob as hipóteses dos teoremas 1 e 2, temos que onde

9 1.Estudo do Erro na Interpolação
Corolário2: Estimativa do Erro. Sob as hipóteses dos teoremas 1 e 2, temos que onde

10 Estimativa para o erro x f(x) Seja dada na tabela:
a) Obter f (0.47) usando um polinômio de grau 2. b) Encontrar uma estimativa para o erro. x 0.2 0.34 0.4 0.52 0.6 0.72 f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37

11 Tabela de diferenças x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 0.2 0.16 0.428
0.34 0.22 2.0325 0.8333 x0 = 0.4 0.27 0.1667 x1 = 0.52 0.29 1.0415 0.375 x2 = 0.6 0.32 0.2085 0.4167 0.72 0.37

12 Estimativa para o erro Escolhendo a) b)

13 Este é o problema da interpolação inversa.
Seja dada na tabela: Obter x tal que f(x)= e encontrar uma estimativa para o erro. Este é o problema da interpolação inversa. x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 f(x) 1 1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6478

14 2. Interpolação inversa Solução versão 1:
Obtenha pn(x) que interpola f(x)= e determine x. Problema: não temos como estimar o erro cometido!!!!!!! Solução versão 2: Se f(x) for monotonicamente crescente ou decrescente no intervalo considerado, então ela pode ser invertida. Então faça a interpolação da função inversa e calcule o erro.

15 Tabela de diferenças divididas - Versão 2
y Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 1 0.9506 1.1052 0.1 0.8606 0.1994 y0 =1.2214 0.2 0.7782 0.1679 y1 =1.3499 0.3 0.7047 0.1081 y2 =1.4918 0.4 0.6373 1.6487 0.5

16 Estimativa para o erro Escolhendo a) b)

17 3.1 Grau do polinômio interpolador
Para a escolha do grau do polinômio interpolador: 1) Construir a tabela de diferenças divididas; 2) Examinar as diferenças na vizinhança do ponto de interesse; Se as diferenças de ordem k forem praticamente constante, ou se as diferenças de ordem k+1 variarem em torno de zero, o polinômio de grau k será o que melhor aproximará a função na região considerada.

18 3.1 Grau do polinômio interpolador
Seja com os valores da tabela: Um polinômio de grau 1 é uma boa aproximação para x 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 f(x) 1.005 1.0149 1.0198 1.0247

19 3.1 Grau do polinômio interpolador
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 1 0.5 1.01 1.005 1.02 -0.5 0.49 1.03 1.0149 1.04 1.0198 1.05 1.0247

20 3.2 Fenômeno de Runge Questão: A seqüência {pn(x)} converge para f(x) no intervalo [a,b] se {x0,x1,...,xn} pertencem a {a,b] e n tende ao infinito? Interpolando a função no intervalo [-1,1] com

21 3.2 Fenômeno de Runge Interpolação linear de f1(x) e f2(x) com n=10
P10(x) f(x) -1 x 1

22 4. Função Spline em Interpolação
Fenômeno de Runge é superado pela função Spline. Definição: Seja tabelada para A função é denominada spline de grau se: a) Em cada subintervalo , para , é um polinômio de grau . b) é contínua e tem derivadas contínuas até ordem em c)

23 4.1 Função Spline Linear A função spline linear interpolante de f(x), ou seja S1(x) nos nós x1,x2,...,xn, pode ser escrita em cada subintervalo como Note que S1(x) é polinômio de grau 1 no intervalo. s1(x) é contínua em todo intervalo Nos pontos nós Logo, S1(x) é a spline linear interpolante de f(x).

24 4.1 Função Spline Linear Achar a função spline linear que interpola f(x) Da definição: Analogamente: 1 2 3 5 7 25

25 4.1 Função Spline Linear Graficamente f(x) f(x) s3(x) s2(x) s1(x) 1 2
5 7 x

26 4.2 Função Spline Quadrática
As spline quadráticas tem derivadas contínuas até ordem 1 e portanto a curvatura de S2(x) não é suave nos nós. Seja a função Note que a função e sua derivada primeira são contínuas em x=1. Contudo, sua derivada segunda, em x=1, não é contínua.

27 4.2 Função Spline Quadrática
Graficamente

28 4.2 Função Spline Quadrática
Graficamente, vemos a descontinuidade da derivada segunda (curvatura). Considere agora a situação em que f(x) e sua derivada primeira são contínuas em x=1, contudo ocorre mudança de sinal da derivada segunda em x=1 Esta é situação que ocorre no ajuste de spline quadrática.

29 4.2 Função Spline Quadrática
Graficamente

30 4.2 Função Spline Cúbica As splines cúbicas são as mais usadas.
Uma spline cúbica S3(x) é uma função polinomial por partes, contínua, onde cada parte sk(x) é um polinômio de grau 3 nos intervalos [xk-1,xk]. S3(x) tem derivadas primeira e segunda contínuas, logo não tem bicos e não troca abruptamente a curvatura nos nós.

31 4.2 Função Spline Cúbica - Construção
A função spline cúbica interpolante de f(x), ou seja S3(x), nos nós x1,x2,...,xn, pode ser escrita em cada subintervalo como polinômios de grau 3. Denotada por sk(x) para k=1,2,...,n, deve satisfazer:

32 4.2 Função Spline Cúbica - Construção
Sejam as parte da spline cúbica dadas por O Cálculo de envolve a determinação de 4n coeficientes: Condições 1: satisfeitas por construção. Condições 2: (n+1) condições nos nós. Condições 3: (n-1) condições de continuidade de S3 nos nós. Condições 4: (n-1) condições de continuidade de S’3 nos nós. Condições 5: (n-1) condições de continuidade de S’’3 nos nós. Total de 4n-2 condições. Restam duas condições em aberto!!!

33 4.2 Função Spline Cúbica - Construção
Notação: Impondo as condições: Sistema linear

34 4.2 Função Spline Cúbica - Construção
Resta impor mais duas condições. Alternativas 1: Chamada spline natural Alternativa 2: Chamada spline parabólica. Alternativa 3: Impor inclinações nos extremos. Geralmente quando temos informações físicas do problema

35 4.2 Função Spline Cúbica - Exemplo
Achar a spline cúbica natural que interpola f(0.25) dada Temos 4 subintervalos iguais. Dadas resolvendo o sistema linear para x 0.5 1.0 1.5 2.0 f(x) 3 1.8616

36 4.2 Função Spline Cúbica - Exemplo
Substituindo os valores de resolvemos o sistema linear obtendo: Calculamos Como queremos f(0.25) fazemos

37 5. EXERCÍCIOS Faça os seguintes exercícios do capítulo 5
do livro texto. Exercícios: 9,10 e projeto 2 página 266.