Prof. José Junior Barreto

Apresentação em tema: "Prof. José Junior Barreto"— Transcrição da apresentação:

1 Prof. José Junior Barreto
COLÉGIO CONTEC MATEMÁTICA Prof. José Junior Barreto 7º ano Equações

2 Desde o tempo dos faraós até nossos dias, o objetivo básico da álgebra continua o mesmo:
Permitir a solução de problemas matemáticos que envolvam números desconhecidos.

3 Um papiro egípcio de anos, chamado Papiro de Rhind (em homenagem a um antiquário escocês Henry Rhind, que o adquiriu em uma loja de Luxor, no Egito, em 1858) mostra, através do famoso problema “Ah, seu inteiro, seu sétimo fazem 19”, que o homem já se aventurava, desde aquela época, nos domínios da álgebra.

4 Para desenvolver o problema e mantê-lo inalterável, enquanto as manipulações procuram simplificá-lo, deve-se traduzir a relação entre números conhecidos e desconhecidos por meio de uma equação.

5 Muitas pessoas, depois que deixam a escola, atravessam a vida inteira sem precisar resolver uma só equação algébrica, mas no mundo em que vivem, tais equações são indispensáveis para reduzir problemas complexos a termos simples. Hoje, as equações são usadas em muitos campos diferentes. Resolvemos equações para determinar o lucro de uma firma, para calcular a taxa de uma aplicação financeira, para projetar aviões e naves espaciais, para encontrar as correntes de uma rede elétrica, para fazer a previsão do tempo, etc.

6 Os processos da álgebra levados para a vida moderna são decisivos muitas vezes, para resumir experiências realizadas ou desenvolver roteiros que nos levam até a entender mistérios da natureza. Tente responder as questões abaixo: 1) Queremos cortar um pedaço de barbante de 30 cm de comprimento em duas partes não necessariamente iguais. Quanto deverá medir cada parte? 2) Agora se quer cortar um pedaço de barbante, também com 30 cm de comprimento, em duas partes de forma que uma dessas partes meça o dobro da outra. Quanto deverá medir cada parte? 3) O que se deseja é dividir um pedaço de barbante de 35 cm de comprimento em quatro partes de modo que uma dessas parte seja igual ao triplo de uma das outras três, quanto deverá medir cada parte? 4) Ache um número que: a) adicionado ao seu triplo resulte 20. b) somado com o seu quadrado resulte 30.

7 A maneira como a matemática se desenvolveu fez com que os matemáticos passassem a usar as letras dos alfabetos mais conhecidos para representar uma expressão matemática. Assim, por exemplo, a soma de dois números racionais quaisquer pode ser representada por: a + b

8 a área do retângulo é igual ao produto da medida da base pela altura
Começam a surgir, então, as sentenças matemáticas, ou seja, duas expressões matemáticas ligadas por um verbo. Por exemplo: a área do retângulo é igual ao produto da medida da base pela altura A A = b h h x b

9 Com isso, surgiram as sentenças matemáticas com o sinal =, que indica uma igualdade. Quando a igualdade apresenta um ou mais elementos desconhecidos, chama-se equação. Para encontrar a solução de um problema utilizamos os conhecimentos e as habilidades de cálculo que possuímos. Mas, conhecimentos e técnicas de cálculo apenas não são suficientes: raciocínio, lógica e imaginação são também necessários quando procuramos o caminho que nos levará mais fácil e rapidamente a resposta correta.

10 Equações na Antiguidade
“ Naquele dia de março de 415, uma multidão de romanos, gregos e egípcios, judeus e cristãos, escravos e homens livres andava pelas ruas de Alexandria. Situada no delta do Nilo, Alexandria era um centro comercial e cultural. O museu da cidade era ponto de encontro de sábios de todo Império Romano do Oriente. Era para o museu que ia aquela bonita jovem. Na carroça que a levava pelas ruas cheias de gente, talvez pensasse nas conferências que costumava dar. Freqüentemente falava sobre o matemático Diofanto, grande estudioso em álgebra, que tinha morrido pouco antes. Fazia tempo que ela se dedicava a estudar o trabalho do mestre, a escrever e dar aulas sobre ele. De repente, até hoje ninguém sabe por quê, um grupo de desordeiros parou a carroça e, a golpes de afiadas conchas de ostra, matou a jovem conferencista. Assim o mundo perdeu Hipatia, a primeira mulher matemática da história. “

11 Sabe-se pouco sobre Diofanto, um matemático grego que viveu no séc III d.C. Ele ficou conhecido como “pai da álgebra”, pois foi o primeiro a usar símbolos com significados próprios ao trabalhar problemas. A obra de Diofanto comportava símbolos e abreviações semelhantes que hoje usamos. Sua principal obra foi encontrar soluções para equações indeterminadas cujas raízes são números inteiros, ou seja, estudava soluções para problemas do tipo: Neusa tem o dobro mais uma laranja que Emílio. Quantas laranjas tem cada um?

12 y = 2x + 1 Esse problema se equaciona na forma:
Emílio Neusa Este problema é indeterminado, pois: Neusa pode ter 3 laranjas e Emílio 1. Neusa pode ter 5 laranjas e Emílio 2; e assim por diante. Esse fato caracteriza que o problema admite mais que uma solução, portanto chama-se indeterminado. Equações destes tipos recebem o nome de equações Diofantinas.

13 Apesar de se conhecer muito pouco sobre Diofanto, conta que é possível saber a idade com que ele faleceu, através de uma inscrição que figura em seu sepulcro sob a forma de um exercício matemático: “ Caminhante! Aqui foram sepultados os restos de Diofanto. E os números podem, ó milagre! Revelar quão dilatada foi sua vida... Cuja sexta parte constituiu sua linda infância... Transcorrera uma duodécima parte de sua vida, quando seu queixo se cobriu de penugem.... A sétima parte de sua existência, transcorreu num matrimônio estéril... Passado um qüinqüênio, fê-lo feliz o nascimento de seu preciso primogênito... O qual entregou seu corpo sua formosa existência, que durou apenas a Metade de seu pai, à terra... E com dor profunda desceu à sepultura, tendo sobrevivido quatro anos ao falecimento de seu filho.... Diz-me quantos anos vivera Diofante Quando lhe sobreveio a morte? “

14 Esta mesma inscrição poderá ser vista da seguinte forma:
... Cuja sexta parte constituiu sua linda infância... Transcorrera uma duodécima parte de sua vida, quando seu queixo se cobriu de penugem.... A sétima parte de sua existência, transcorreu num matrimônio estéril... Passado um qüinqüênio, fê-lo feliz o nascimento de seu preciso primogênito... O qual entregou seu corpo sua formosa existência, que durou apenas a metade de seu pai, à terra... E com dor profunda desceu à sepultura, tendo sobrevivido quatro anos ao falecimento de seu filho.... ... A minha infância durou 1/6 de minha vida, a barba surgiu após 1 /12 depois de outro 1/7 de minha vida, casei-me. 5 anos depois nasceu meu filho, que viveu somente a metade de minha idade. Morri 4 anos após a morte do meu filho.... x _ 6 = + 12 7 5 2 4

15 Resumindo, temos então as duas seguintes etapas:
Utilizamos sempre o mesmo método de resolução. Primeiramente, chamamos de x o número que queríamos calcular, a incógnita . Em seguida, traduzimos o problema para a linguagem matemática, isto é, equacionamos o problema. Depois, usando propriedades matemáticas, descobrimos o valor de x. E finalmente, chegamos à resposta do problema. Resumindo, temos então as duas seguintes etapas: Escrevemos a equação do problema, com base nas informações dadas no próprio problema; Resolvemos a equação, para encontrar o valor de x.

16 Vamos treinar a tradução para a linguagem matemática, utilizando apenas símbolos matemáticos, escreva as seguintes expressões: a) O triplo de um número é igual a 10. 3x = 10 b) A soma de um número com três é igual a 15. x + 3 = 15 c) O quádruplo de um número resulta 90. 4x = 90 d) A diferença entre um número e dois faz 36. x - 2 = 36 x _ 3 = 66 e) A terça parte de um número é igual a 66. 3x __ 4 = 20 f) Os três quartos de um número é igual a 20.

17 g) A soma de um número com sua metade resulta 45.
_ 2 = 45 x + h) A soma de cinco com o triplo de um número é igual a 67. 5 + 3x = 67 x _ 5 = 46 i) A quinta parte de um número é 46. x __ 10 = 78 j) A décima parte de um número faz 78. k) O dobro de um número somada ao triplo de outro número é igual a 96. 2x + 3y = 96 f) A soma de três números resulta 123. x + y + z = 123

18 m) O produto de três números é igual a 34.
xyz = 34 n) Um número p, aumentado de vinte e cinco faz 90. p + 25 = 90 o) A diferença entre o quíntuplo e a quinta parte de um número x resulta 56. _ 5 = 56 x - 5x p) Um número par mais 5 é igual a 89. x é par → x + 5 = 89 q) Um número ímpar menos 5 é igual a 78. x é ímpar → x - 5 = 78

19 r) Três números consecutivos totalizam 100.
x + (x + 1) + (x + 2) = 100 s) Três números pares consecutivos perfazem 128. x é par → x + (x + 2) + (x + 4) = 128 t) Três números ímpares consecutivos é igual a 990. x é ímpar → x + (x + 2) + (x + 4) = 990

20 Para as atividades que se seguem imaginem uma balança de dois braços em equilíbrio!
1) Qual é o peso do cachorro? 9kg 2) Desenvolva a Equação. x + 16 = 25

21 3) Os dois sacos tem pesos iguais. Quanto pesa cada saco?
6kg 4) Desenvolva a Equação. 2x = 12

22 5) As 3 caixas possuem o mesmo peso. Qual o peso de cada caixa?
6kg 6) Desenvolva a Equação. 3x = 18

23 7) Qual o peso do coelho? 2kg 8) Desenvolva a Equação. x = x + 3 = 5

24 9) As bolsas são iguais. Qual o peso de cada uma?
5kg 10) Desenvolva a Equação. 2x = x 2x = x + 5

25 11) A balança não está em posição de equilíbrio
11) A balança não está em posição de equilíbrio. Represente simbolicamente esta situação. 13 < 18 Fique atento às próximas atividades para que você possa tirar algumas conclusões importante!

26 Considere uma balança com os pratos em equilíbrio.
Se trocarmos os pratos O equilíbrio se mantém. Se acrescentarmos elementos de mesmo peso em cada um dos pratos O equilíbrio se mantém.

27 Considere outra balança com os pratos em equilíbrio.
Se retirarmos elementos de mesmo peso de cada um dos pratos O equilíbrio se mantém.

28 Se duas balanças estão em equilíbrio:
Podemos somar o conteúdo dos pratos do mesmo lado. O equilíbrio se mantém.

29 “mudança de membro na equação”.
As Equações de Copo de Feijão Este material representa as técnicas de resolução de equações de 1º. Grau com uma incógnita, chamando a atenção para a “mudança de membro na equação”. Nas primeiras vezes em que for usado deve-se considerar como principio fundamental o equilíbrio dos membros da equação. Nestes primeiros casos deve-se perceber que retirar ou acrescentar números iguais a cada membro da equação corresponde a mudá-los de membro da tal forma que realizem a operação inversa. Só então é que o procedimento de passar de um membro na equação pode se tornar automático. -x x Neste material cada copo representa a incógnita x, os feijões brancos unidades positivas, os feijões pretos unidades negativas e os copos invertidos, o inverso aditivo da incógnita (-x). + -

30 A seguir representamos algumas sugestões, gradativamente mais elaboradas, acompanhadas da equação correspondente: 1º Exemplo: 2 x = 5 10 __ 2 =

31 2º Exemplo: 3x = 3x + 2 = 8 3x = 6 x = 2 =

32 3º Exemplo: x = 1 + 3 x - 3 = 1 x = 4 =

33 = 4x - x - 2 + 2 = x - x - 5 + 2 4x - 2 = x - 5 3x = -3 x = -1
4º Exemplo: 4x - x = x - x 4x - 2 = x - 5 3x = -3 x = -1 =

34 5º Exemplo: = 3x - 2x = 5 - 7 7 - 2x = 5 - 3x x = -2

35 = 3x -1 = 2x -x + 5 3x -1 = x + 5 3x -x = 1 + 5 2x = 6 x = 3
6º Exemplo: = 3x -1 = 2x -x + 5 3x -1 = x + 5 3x -x = 1 + 5 2x = 6 x = 3