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Vetores II
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Combinação Linear Dados n vetores v1, v2,..., vn e n escalares a1, a2,..., an o vetor v = a1v1 + a2v anvn, é a combinação linear dos vetores v1, v2,..., vn com coeficientes a1, a2,...,an
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Exemplo 1
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Exemplo 2
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Exemplo 2 Como w=0=0u + 0v, dizemos que 0 é combinação linear de u e v, com coeficientes zeros
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Exemplo 3
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Exemplo 3 Observando a figura, podemos escrever: w = -2/3v + 0u
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Exemplo 4 Observe que o vetor AC = AB + AD possui a mesma direção que a diagonal AC Se | AB| = | AD|, este paralelogramo será um losango
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Exemplo 4 Sabe-se que em um losango ABCD, a bissetriz do ângulo BÂD contém a diagonal AC. Assim, o vetor AC = AB+ AD também possui a mesma direção da bissetriz do ângulo BÂD
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Exemplo 4 Se | AB| ≠ | AD|, o vetor AC não possui a mesma direção da bissetriz de BÂD. Para obter um vetor que possua a mesma direção da bissetriz de BÂD basta usar o vetor v = tAB°+ tAD° , t є R*
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Exemplo 4
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Exemplo 5 Observe o paralelepípedo
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Exemplo 5 AG = AB + BC + CG Dizemos então que AG é combinação linear dos vetores AB, BC e CG Como BC = AD e CG = AE, então: AG = AB+ AD+ AE. Assim, podemos também dizer que AG é combinação linear dos vetores AB, AD e AE
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Paralelismo Definição: Os vetores v1, v2, ..., vn são colineares (paralelos), se possuem representantes em uma mesma reta. Neste caso indicamos v1 // v2// v3//...// vn No exemplo 1, temos v // w, e no exemplo 2 temos w // u e w // v, embora u e v não sejam paralelos
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Exemplo 1
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Paralelismo Definição: Os vetores v1, v2, ..., vn são colineares (paralelos), se possuem representantes em uma mesma reta. Neste caso indicamos v1 // v2// v3//...// vn No exemplo 1, temos v // w, e no exemplo 2 temos w // u e w // v, embora u e v não sejam paralelos
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Exemplo 2
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Propriedade 1 Os vetores u e v são paralelos se, e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear do outro. Prova: Considere os seguintes casos: 1) u = 0 = v; u = tv, tєR 2) u =0 e v ≠ 0; temos u = 0 v 3) u ≠ 0 e v ≠ 0. Como u // v, temos uº = ± vº . Daí, | u | uº = ± | u | (v /| v |) , ou seja, u = ±(| u |/| v |) v. Assim, se u e v têm mesmo sentido podemos escrever u = (| u |/| v |) v. E se u e v têm sentidos contrários temos u = -(| u |/| v |) v
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Por outro lado, suponha que podemos escrever u como combinação linear de v, ou seja, u = tv.
Pela definição de produto de um número real por vetor, temos que u e v têm a mesma direção, logo são paralelos.
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Vetores Coplanares Os vetores v1, v2,..., vn são coplanares, se possuem representantes em um mesmo plano Observe que a colinearidade de vetores é um caso particular da coplanaridade de vetores Nos exemplos de 1 a 4, os vetores envolvidos são coplanares
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Exemplo 1
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Exemplo 2
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Exemplo 3
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Exemplo 4 Observe que o vetor AC = AB + AD possui a mesma direção que a diagonal AC Se | AB| = | AD|, este paralelogramo será um losango
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Exemplo 5 Observe o paralelepípedo
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Propriedade 1 Os vetores u, v e w são coplanares se, e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear dos outros. Prova: 3 possíveis casos
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Caso 1 Um deles sendo o vetor nulo, digamos u = 0
Podemos escrever: u= 0v + 0w.
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Caso 2 Dois deles são paralelos, digamos u // v e v ≠ 0
Assim, u = mv = mv + 0w, m R
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Caso 3 Quaisquer dois desses vetores não paralelos
Considere a figura, onde α é um plano que contém representantes dos vetores u, v e w
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Tomemos OA= v, OB= u e OC= w
Tomemos OA= v, OB= u e OC= w. Tracemos pelo ponto C uma reta paralela ao vetor OB= u, que intercepta a reta OA no ponto P. Assim, w = OC = OP+ PC
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Como OP // OA e PC //OB temos: w = mv + nu, m,n R
Por outro lado, suponhamos que w = mv + nu, n,m R. Assim, pela definição de adição de vetores, temos que u, v e w são coplanares.
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Dependência Linear Um Vetor: v é linearmente dependente, se v = 0
Dois vetores: u e v são linearmente dependentes se eles são paralelos Três vetores: u, v e w são linearmente dependentes se eles são coplanares
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Dependência Linear Mais de três vetores do espaço (R3 ), são sempre linearmente dependentes Quando os vetores do espaço não são linearmente dependentes (LD), dizemos que são linearmente independentes (LI)
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Exemplo
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Exemplo 1)AB é ? 2)AB+BC+CA é ? 3)AD e AE são ? 4) AB e ½ AB são ?
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Exemplo 1)AB é LI 2)AB+BC+CA é LD 3)AD e AE são LI 4) AB e ½ AB são LD
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Exemplo 5)AB, AD e AE são ? 6)AE, AB e DC são ? 7)AB, AD e FF são ?
8)AB, BF, BC e AG são ?
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Exemplo 5)AB, AD e AE são LI 6)AE, AB e DC são LD 7)AB, AD e FF são LD
8)AB, BF, BC e AG são LD
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Propriedades - 1 Se um vetor v é LI, então dado u // v, temos que existe um único escalar m tal que u=mv Como v é LI e u // v pela propriedade 1 de Paralelismo, temos que u=mv Suponha u=m’v => (m-m’)v = 0
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Propriedades - 2 Se dois vetores v1 e v2 são LI, então dado v coplanar com v1 e v2, temos que existe um único par de escalares (m, n), tal que v = mv1 + nv2
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Propriedade – 2 (prova) Como v, v1 e v2 são coplanares e, v1 e v2 são LI, temos pela prova da propriedade 1 de vetores coplanares, que v= mv1 + nv2 Para mostrar que esses escalares são únicos, suponha que existam m’e n’, tais que: v= m’v1+ n’v2 Então (m- m’ )v1 + (n- n’)v2=0
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Propriedade – 2 (prova) Se m – m’≠ 0 , podemos escrever v1= (n-n’)/(m-m’) v2 Daí, v1 // v2, o que contradiz o fato de v1 e v2 serem LI. Logo, m – m’ = 0 , m = m’ A prova para n e n’ é análoga
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Propriedade - 3 Se três vetores v1, v2 e v3 são LI, então dado um vetor v qualquer, temos que existe único trio de escalares (m, n, p), tal que v = mv1+ nv2+ pv3
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Propriedade – 3 (Prova) Suponha que v1, v2 e v3 são LI, temos então os seguintes casos: 1) v=0. Logo, v= 0v1+0v2+0v3 2) v paralelo a um dos vetores, digamos v//v1. Então v=mv1+0v2+0v3
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Propriedade – 3 (Prova) 3) v coplanar com dois dos vetores, digamos v, v1 e v2 são coplanares. Assim, v=mv1+nv2 = mv1+ nv2+ 0v3 4) v não é coplanar com quaisquer dois dos vetores (próximo slide)
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Propriedade – 3 (Prova) α é o plano paralelo ao plano OA1A2 passando por ponto A B é o ponto de interseção da reta OA3 com o plano α Temos:v = OA = OB + BA
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Propriedade – 3 (Prova) Como OB // v3 r e BA é coplanar com v1 e v2, temos: OB=pv3, BA=mv1+nv2 Logo v=mv1+nv2+pv3 Para provar que estes escalares são únicos usamos a mesma metodologia da prova da propriedade 2
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Base – Coordenadas de Vetor
Dado um vetor v LI, dizemos que { v } é uma base para o conjunto de vetores paralelos a v Dados dois vetores v1 e v2 LI, dizemos que { v1, v2 } é uma base para o conjunto de vetores coplanares com v1 e v2
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Base – Coordenadas de Vetor
Dados três vetores v1, v2 e v3 LI, dizemos que { v1, v2 , v3 } é uma base para o conjunto de vetores do espaço ( R3) Dizemos que uma base é ortogonal, quando seus vetores são ortogonais quando comparados dois a dois
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Base – Coordenadas de Vetor
Dizemos que uma base é ortonormal, se ela for ortogonal e seus vetores unitários Costumamos representar uma base ortonormal por { i , j, k} Fixada uma base { v1,v2,v3} do espaço, pela propriedade 3 de Dependência linear, todo vetor v, temos v = mv1+ nv2+ pv3, onde m, n e p são únicos
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Base – Coordenadas de Vetor
Dizemos que mv1 , nv2 e pv3 são as componentes de v na direção dos vetores v1, v2 e v3, respectivamente Os escalares m, n e p são as coordenadas de v em relação à base {v1, v2 , v3} Geralmente, representamos o vetor v através de suas coordenadas, ou seja, v = (m, n, p)
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Exemplo Considere o cubo e fixemos a base {AB,AC,AE}
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Exemplo AB =1AB+ 0AC+ 0AE, daí AB = (1,0,0)
Analogamente, AC = (0,1,0) e AE = (0,0,1)
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Exemplo Podemos concluir então que, dada uma base qualquer {v1,v2,v3}, as coordenadas desses vetores em relação a esta base são: v1= (1,0,0), v2 =(0,1,0) e v3= (0,0,1)
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Exemplo 2)AF =1AB+ 0AC+ 1AE, daí AF = (1,0,1). Observe que se a base considerada for {AB,AE,AC}, temos AF = (1,1,0) 3)AG = 0AB+1AC+1AE , daí AG = (0,1,1)
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Exemplo 2 Consideremos v = (-1,1,1) em relação base {AB,AC,AE} do exemplo anterior. Assim, v = -AB + AC + AE = AH Analogamente ao que foi feito para o conjunto dos vetores no espaço, podemos fazer para conjuntos de vetores coplanares e colineares. Assim, um vetor num conjunto de vetores coplanares tem duas coordenadas e um vetor num conjunto de vetores colineares tem uma coordenada
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Propriedade 1 Seja {v1, v2, v3} uma base do espaço. Considere os vetores u, v e w, dados por suas coordenadas em relação a esta base 1) Se u=(a1, a2 , a3), v=(b1, b2 , b3) e t є R então: a) u = v a1=b1, a2 =b2 e a3=b3 b) u + v = ( a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) c) t u = (t a1, t a2 , t a3 )
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Propriedade 1 (prova) a) Como u = a1v1+a2v2+a3v3 e v=b1v1+b2v2 +b3v3, temos: (a1-b1)v1+ (a2-b2 ) v2+ (a3- b3 ) v3= 0 Daí, 0=(a1-b1, a2- b2 , a3- b3 ) Logo, a1-b1=0 , a2-b2=0 e a3- b3=0
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Propriedade 1 (prova) De maneira análoga podemos mostrar os itens b) e c) Observe que os vetores u = (0, 0, 0) e v = ( b1, b2 , b3) são LD, visto que o vetor nulo é paralelo a todo vetor do espaço
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Propriedade 2 Sejam u = ( a1, a2 , a3) e v = (b1, b2, b3) vetores não nulos, u e v são LD se, e somente se, existe um t є R tal que : a1 = t b1 a2 = t b2 a3 = t b3
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Propriedade 2 (prova) Se u e v são LD, então u // v . Como v é LI, podemos escrever: u = t v , ou seja, a1 = t b1 a2 = t b2 a3 = t b3
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Propriedade 2 (prova) Por outro lado, se existe t є R , tal que
a1 = t b1 a2 = t b2 a3 = t b3 então u = t v . Logo u // v e portanto u e v são LD
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Propriedade 3 Três vetores u=(a1, a2, a3), v=(b1, b2, b3) e w=(c1, c2, c3) são LD se, e somente se
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Propriedade 3 Esta propriedades pode ser demonstrada através de propriedades de determinantes Concluímos que se t não existe na propriedade 2, ou se Delta é diferente de zero, na propriedade 3, temos que os vetores considerados são LI
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Exercícios Considere u = 2i –j +2k, v= 5i +5j -2k e w =3i +6j
Verifique se os vetores são LD em cada um dos itens u u e v
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Exercício u e 0 u e (4,-2,4) u, v e w u, v, (1,2,3) e (2,1,4)
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Exercícios Considere u = 2i –j +2k, v= 5i +5j -2k e w =3i +6j
Verifique se os vetores são LD em cada um dos itens u -> LI u e v -> LI 0 -> LD
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Exercício u e 0 -> LD u e (4,-2,4) -> LD u, v e w -> LI
u, v, (1,2,3) e (2,1,4) ->LD u, v, (7,4,0) -> LD
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Exercício Considere o prisma, no qual a base é um hexágono regular – Verdadeiro ou Falso FM pode ser escrito como combinação linear de FA,FE e GM GM e 2AH são coplanares F=E+LM
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Sistemas de Coordenadas Cartesianas
Um sistema de coordenadas cartesianas no espaço é um conjunto formado por um ponto O e uma base { v1, v2, v3} e denotado por {O, v1, v2, v3}
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Sistema de coordenadas
O ponto O é chamado origem do sistema e os eixos que passam por O e tem as direções de v1, v2 e v3, respectivamente, são chamados de eixo das abscissas, ordenadas e cotas.
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Sistema de coordenadas
Considere um sistema de coordenadas cartesianas {O, v1, v2, v3} e seja P um ponto arbitrário do espaço Chamamos coordenadas do ponto P em relação ao sistema {O, v1, v2, v3}, as coordenadas do vetor OP Se OP = (a1, a2 , a3), então P=(a1, a2 , a3). Os números a1, a2 , a3 são denominados abscissa, ordenada e cota do ponto P, respectivamente
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Exemplo
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Exemplo OP=1/2v1+2v2+v3 OP=(1/2,2,1) logo P=(1/2,2,1) OQ=(1/2,2,0)
OR= -2/3v3 = (0,0,-2/3) OO=(0,0,0)
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Propriedade 1 Considere um sistema de coordenadas {O, v1, v2 , v3}, v = (a, b, c), P(x1, y1, z1) e Q(x2 , y2 , z2 ): QP=(x1-x2, y1-y2, z1-z2 )
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Propriedade 1 (prova) Escrevemos o vetor QP como combinação linear dos vetores OQ e OP QP=-OQ+OP QP=-(x2 , y2 , z2 )+ (x1, y1, z1) QP=(x1-x2, y1-y2, z1-z2 )
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Propriedade 2 P+v=A=(x1+a, y1+b, z1+c)
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Propriedade 2 (Prova) Utilizando a definição de soma de um ponto com um vetor, temos que PA=v Assim, o vetor OA=OP+PA=(x1+a,y1+b,z1+c)
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Propriedade 3 O ponto médio de PQ é o ponto M dado por
M=((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)
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Propriedade 3 (prova) Escrevendo OM=OQ+QM OM= OQ+1/2QP
Representando os vetores OQ e QP através de suas coordenadas, obtemos: OM=(x2,y2,z2)+ ½(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
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Exemplo 2 Considere o paralelogramo ABCD, onde A=(1,0,2), B=(1,-1,2), C(0,2,-2) Devemos determinar as coordenadas dos vetores AB e BC, do vértice D e do ponto médio de AB
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Exemplo 2 Aplicando as propriedades temos:
AB = (1 -1, , 2 - 2) = (0,-1,0) BC = (-1,3,-4) D = A + AD = A + BC = (0,3,-2) M=(1, -1/ 2, 2)
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