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Probabilidade e Esperança Condicional
Como definir apropriadamente FX(x | Y = y) e E(X | Y = y)? Duas situações: Y discreto Y contínuo
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Caso Discreto
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Propriedades P(XB) = Sy P(XB | Y=y) P(Y=y)
FX(x) = P(X ≤ x) =SyP(X≤ x| Y=y) P(Y=y) FX,Y(x,y) = P(X≤ x, Y≤ y) = St P(X≤ x| Y=t) P(Y=t) E(X) = Sy E(X|Y=y) P(Y=y) (ou seja, E(X) = E(E(X | Y))
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Exemplo O número de pessoas que visita uma academia diariamente tem distribuição de Poisson com parâmetro l. Cada visitante tem probabilidade p de ser homem, independentemente dos demais visitantes. Qual é a probabilidade de que k homens visitem a academia?
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Exemplo O número mensal de sinistros em uma dada carteira de seguros tem distribuição de Poisson com parâmetro l. O valor de cada sinistro tem distribuição exponencial de média m. Qual é o valor esperado para o total de sinistros pagos em um dado mês?
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Caso Contínuo FX(x | Y = y) e E(X | Y = y) são definidos de modo que as mesmas propriedades anteriores sejam válidas (devidamente adaptadas para Y contínua).
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Propriedades (caso contínuo)
P(XB) = P(XB | Y=y) fY(y)dy FX(x) = P(X ≤ x) = P(X≤ x| Y=y) fY(y)dy FX,Y(x,y) = P(X≤ x, Y≤ y) = y- P(X≤ x| Y=t) fY(t)dt E(X) = E(X|Y=y) fY(y)dy (ou seja, E(X) = E(E(X | Y))
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Caso contínuo Caso geral:
Quando X e Y tem distribuição conjunta contínua:
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Exemplo Um ponto de coordenadas (X, Y) é escolhido ao acaso no triângulo da figura. Qual é a distribuição condicional de Y dado X? 1 1
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Exemplo Em uma cidade, o gerador de luz é ligado em um instante escolhido ao acaso entre 18 horas e meia-noite e desligado em um instante escolhido ao acaso entre o instante em que foi ligado e meia-noite. Em média, quanto tempo ele fica ligado por noite? Qual é a probabilidade de que seja desligado depois das 22 horas? Qual é a probabilidade de que seja ligado antes da novela e desligado depois?
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Exemplo Se X e Y são independentes e têm densidades fX e fY, qual é a densidade de X+Y?
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Exemplo Uma moeda tem probabilidade P de dar cara, onde P tem distribuição uniforme em [0, 1]. Qual é a densidade condicional de P dado que X = 1?
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Somas e médias de v.a. i.i.d. Dada uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. X1, X2, …, Xn , obter a distribuição de:
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Somas e médias de v.a. i.i.d. Em geral, é complicado calcular a distribuição exata de Sn e X Fácil calcular médias e variâncias
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Somas e médias de v.a. i.i.d. Quando n, Var(X) 0
Isto sugere que X tenda a se concentrar em torno de sua média m. É possível tornar esta afirmativa precisa?
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Desigualdade de Markov
Seja X uma variável aleatória tal que X 0 e EX = m. Então, para todo a>0:
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Desigualdade de Chebyshev
Seja X uma variável aleatória tal que EX = m e Var(X) = s2. Então, para todo d > 0:
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Lei Fraca dos Grandes Números (Chebyshev, 1867)
Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = m e Var X1 = s2. Então, para todo d > 0,
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Lei Forte dos Grandes Números (Kolmogorov, 1925)
Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = m. Então: Em consequência, para todo d > 0:
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Observações Se E|X| = + , então X não é limitada (logo não converge), com probabilidade 1. Exemplos Jogo de São Petersburgo X~Cauchy (fX(x) = 1/(1+x2))
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Teorema Central do Limite
Estimativa para P(|X–m|d) dada pela desigualdade de Chebyshev é extremamente conservativa. É possível refiná-la? Idéia: padronizar X, subtraindo a média e a variância, de modo a ter média 0 e variância 1. Resultado: a distribuição da versão padronizada converge para uma distribuição fixa (a normal).
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Teorema Central do Limite
Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = m e Var X1 = s2. A distribuição de converge para a normal padrão:
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Noções de Simulação Teorema Fundamental
Seja F uma f.d.a. qualquer e seja U uma v.a. com distribuição uniforme em [0, 1]. A f.d.a da v.a. X = F-1(U) é F.
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Exemplos Como gerar uma v.a. com distribuição exponencial l?
Como gerar uma v.a. com distribuição binomial (3; 0,6)? Como gerar uma v.a. com distribuição N(60, 102)?
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Para gerar v.a. normais Algoritmo de Box-Muller
são normais e independentes
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Método de aceitação/rejeição
Seja f uma função de densidade de probabilidade de suporte limitado [a, b] e tal que f(x) ≤ M, para todo x [a, b] . Gerar U ~ U[a, b] e V ~ U [0, 1], independentes, até que f(U) < M.V Retornar U (que é uma v.a. de densidade f)
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Método de aceitação/rejeição
Método de aceitação/rejeitação MV U
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Método de aceitação/rejeição
Sejam f e g funções de densidade de probabilidade de suporte limitado [a, b] e tal que f(x) ≤ Mg(x), para todo x [a, b] . Gerar U ~ U[a, b] e V ~g, independentes, até que f(U) < M.V Retornar U (que é uma v.a. de densidade f)
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Outros métodos Algoritmo de Metrópolis Importance Sampling
(MacKay, cap. 29)
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