MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

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1 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares

2 Equações Lineares UM POUCO DA HISTÓRIA
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Equações Lineares UM POUCO DA HISTÓRIA Documentos históricos comprovam que antigas civilizações orientais, como babilônica e a chinesa, já trabalhavam com equações lineares. Já o interesse dos matemáticos ocidentais pelo tema aprofundou-se apenas no século XVII, a partir de um artigo do alemão Gottfried W. Leibniz ( ), que estabeleceu condições para associar o sistema de equações lineares a um determinante. Em 1858, o matemático inglês Arthur Cayley ( ) notabilizou-se ao tratar de sistemas lineares representando, em forma de matrizes, os dados extraídos de sistemas de equações. Imagem disponibilizada por Andrejj/public domain Gottfried W. Leibniz Imagem disponibilizada por Scewing/public domain Arthur Cayley

3 APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES LINEARES
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Equações Lineares APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES LINEARES A aplicação de equações e sistemas lineares é fundamental na resolução de problemas que envolvem equações com muitas incógnitas. Problemas desse tipo se apresentam por exemplo, na distribuição de energia elétrica, no gerenciamento das linhas de telecomunicações e na logística para transporte de mercadorias em uma região. MATEMÁTICA Ensino Médio, 2° ano Matrizes: Operações

4 Acompanhe a situação a seguir
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Acompanhe a situação a seguir Luísa foi ao caixa eletrônico sacar R$ 100,00 de sua conta. Se o caixa havia apenas notas de R$ 10,00, R$ 20,00, e R$ 50,00, de quantas maneiras ela pode ter efetuado o saque? Esse tipo de problema que pode ser expresso por meio de equação linear. Chamando de x o número de células de R$ 10,00, y o número de células de R$ 20,00 e z o número de células de R$ 50,00, podendo associar essa situação à equação 10x + 20y + 50z = 100. A equação 10x + 20y + 50z = 100 é chamada equação linear.

5 MATEMÁTICA Matrizes: Operações Equações Lineares
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Equações Lineares De maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são constantes reais e x1, x2, x3, ..., xn são variáveis reais, uma equação linear é do tipo. a1x1 + a2x2 + a3x anxn = b MATEMÁTICA Ensino Médio, 2° ano Matrizes: Operações x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas; a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes; b é o termo independente.

6 Na equação linear 4x + 9y + 8z = 40, temos.
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Na equação linear 4x + 9y + 8z = 40, temos. x, y e z são as incógnitas; 4, 9 e 8 são os coeficientes; 40 é o termo independente;

7 MATEMÁTICA Matrizes: Operações Soluções de uma equação linear x = 1
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Soluções de uma equação linear Considere a equação 4x + 9y + 8z = 40 x = 1 y = 4 z = 0 = 40 (Verdadeira) MATEMÁTICA Ensino Médio, 2° ano Matrizes: Operações x = 3 y = 2 z = 1 ≠ 40 (falsa)

8 MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano
Equações Lineares Soluções de uma equação linear Solução de uma equação linear é toda sequência de valores reais das incógnitas que tornam uma igualdade verdadeira.

9 MATEMÁTICA Matrizes: Operações Exemplo:
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Exemplo: Calcular a constante real a, sabendo que a sequência (1, –3, 4) é solução da equação linear 2x + ay – z = 4. Substituindo x = 1; y = –3 e z = 4 na equação, temos 2.1 + a.(–3) – 4 = 4 MATEMÁTICA Ensino Médio, 2° ano Matrizes: Operações → 2 – 3a – 4 = 4 → –3a = 6 → a = –2

10 Número de soluções de uma equação linear
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Número de soluções de uma equação linear 1ª. Equação: 2x = 8 2x = 8 → x = 4 Portanto a única solução da equação 2x = 8 é x = 4.

11 MATEMÁTICA Matrizes: Operações 2ª. Equação: 0x = 3
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares 2ª. Equação: 0x = 3 Não existe número real que, multiplicado por 0, resulte 3. Logo, a equação não têm solução. 3ª. Equação: x + 3y = 8 Nessa equação o valor de uma incógnita depende do valor da outra (x = 8 – 3y). y = 3 → x = 8 – 3.3 → x = –1 → (–1, 3) MATEMÁTICA Ensino Médio, 2° ano Matrizes: Operações y = 2 → x = 8 – 3.2 → x = 2 → (2, 2) y = 1 → x = 8 – 3.1 → x = 5 → (5, 1) Essa equação tem infinitas soluções.

12 MATEMÁTICA Matrizes: Operações Equação Homogênea 2x – y = 0
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Equação Homogênea Uma equação linear em que o termo independente é 0 (nulo) é chamada equação linear homogênea. 2x – y = 0 → é uma equação linear homogênea x + y – 5 = 0 → Não é equação linear homogênea MATEMÁTICA Ensino Médio, 2° ano Matrizes: Operações → x + y = 5 → Toda equação linear homogênea admite uma solução óbvia: Aquela em que todas as incógnitas são iguais a 0.

13 MATEMÁTICA Matrizes: Operações Equação Nula
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Equação Nula Uma equação linear que tem todos os coeficientes iguais a 0 (zero) é chamada equação linear nula? 0x + 0y + 0z = 0 → é uma equação linear nula MATEMÁTICA Ensino Médio, 2° ano Matrizes: Operações → Toda sequência de n números reais é uma solução de uma equação nula, com n incógnitas.

14 MATEMÁTICA Matrizes: Operações Equação impossível ou incompatível
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Equação impossível ou incompatível Chama-se linear impossível ou incompatível aquela em que: todos os coeficientes são iguais a 0. o termo independente é diferente de 0. MATEMÁTICA Ensino Médio, 2° ano Matrizes: Operações 0x + 0y = 3 → é uma equação linear impossível

15 Equação com variáveis naturais
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Equação com variáveis naturais Em certos problemas, aparecem equações lineares com restrições ao universo das variáveis. Nesses casos, o número de soluções da equação pode ser finito, mesmo que haja duas ou mais incógnitas

16 Exemplos de exercícios sobre equações lineares
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Exemplos de exercícios sobre equações lineares Exemplo 1: Resolva a equação 3x + 5y = 10 Resolução: A procura das soluções de uma equação é facilitada se uma das incógnitas é descrita em função da outra. 5y = 10 – 3x → y = 10 – 3x 5 Definimos a variável y em função da variável x. Nesse caso, y é função de 1° grau em relação à variável x. Assim, para cada valor escolhido para x, podemos obter um valor para y. Organizamos uma tabela para alguns valores de x e y.

17 MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano
Equações Lineares x y SOLUÇÕES -1 13 5 -1, 13 2 0, 2 1 7 1, 7 4 2, 4 5, -1 Poderíamos continuar essa tabela indefinidamente, pois essa equação linear com duas incógnitas tem um número infinito de soluções. Podemos também representar o conjunto de soluções dessa equação por meio de um gráfico. Com a equação linear é do 1° grau , seu gráfico é uma reta.

18 . . MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares x y 3 2 1 1 2 3
. 3 2 1 . 1 2 3 4 5 -1 Todos os pontos da reta que é gráfico da função y = 10 – 3x representam geometricamente soluções da equação e vice-versa

19 MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano
Equações Lineares Exemplo 1: Os pontos (3, -11) e (-2, 9) são soluções de uma equação linear com duas incógnitas. Determine outras duas soluções dessa equação. Resolução: Representando graficamente os pontos (3, -11) e (-2, 9), todos os pontos da reta que passa por eles são soluções da equação linear. Graficamente, podemos encontrar algumas soluções da mesma equação, como: (0, 1), (2, 7), (-1, 5) . x y 9 . (-1, 5) 5 . (0, 1) 1 -2 -1 2 3 . -7 (2, -7) . -11

20 MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano
Equações Lineares AGORA É SUA VEZ! Openclipart/Domínio Público Atividade 1: Suponha que se pretendam transportar, em um elevador, caixotes de 10 kg e 30 kg. Sabendo que o elevador suporta no máximo 600 kg, então: a) É possível transportar 30 caixotes de 10 kg e 10 de 30 kg? b) E 15 de 10 kg e 15 de 30 kg? 30 caixotes de 10 kg = 300 kg 10 caixotes de 30 kg = 300 kg Total = 600 kg É possível 15 caixotes de 10 kg = 150 kg 15 caixotes de 30 kg = 450 kg Total = 600 kg É possível

21 c) Dê um par de números que seja solução desse novo problema.
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares c) Dê um par de números que seja solução desse novo problema. d) Traduza esse problema por meio de uma equação. 45 caixotes de 10 kg = 450 kg 05 caixotes de 30 kg = 150 kg Total = 600 kg Não é possível X = número de caixotes de 10 kg Y = número de caixotes de 30 kg 10 . x y = 600 10 . (x y) = 600 X Y = 60 Atividade 2: Considere a equação linear 2x + y = 3. a) Defina y em função de x. 2 . x + y = 3 y = x + 3

22 . . b) Represente as soluções da equação em um referencial cartesiano.
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares b) Represente as soluções da equação em um referencial cartesiano. . x y 4 3 2 . 1 1 2 3 4 Os pontos marcados, (0, 3) e (3/2, 0), são os cortes nos eixos x e y.

23 Traduza esse problema por meio de uma equação.
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares Atividade 3: Cristiane foi a uma papelaria comprar fichários e canetas. As canetas custavam R$ 2,50 cada e os fichários, R$ 5,00 cada. Cristiane gastou R$ 40,00 na papelaria. Quantos fichários e quantas canetas terá comprado? Traduza esse problema por meio de uma equação. b) Determine dois pares de valores que sejam solução da equação. Resolução: C = número de canetas F = número de fichários 2,50 . C + 5,00 . F = 40,00 → 2,5 . C F = 40 Resolução: 2,5 . C F = 40 2,5 . C = 40 – 5 . F C = 40 – 5 . F 2,5 Se F = 1 → C = 16 – → C = 14 (Um fichário e 14 canetas) Se F = 2 → C = 16 – → C = 12 (Dois fichários e 12 canetas) → C = 16 – 2 . F

24 c) Indique um par de números que não seja solução do problema.
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares c) Indique um par de números que não seja solução do problema. d) Há pares de números que são soluções da equação mas não do problema? Justifique. e) Organize uma tabela de modo que você encontre todas as soluções do problema. Qualquer par de números que não satisfaz a equação anterior. Exemplo: C = 5 E F = 5 5 ≠ 16 – → 5 ≠ 16 – 10 → 5 ≠ 6 Sim. Valores negativos ou fracionários , por exemplo. Se F = -1 → C = 16 – 2 . (-1) → C = 18 Menos um fichário? Se C = 9 → C = 16 – 2 . (9) → C = -2 Menos duas canetas? Se F = 1,5 → C = 16 – 2 . (1,5) → C = 13 Um fichário e meio?

25 MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano
Equações Lineares F C = 16 – 2 . F 1 14 2 12 3 10 4 8 5 6 7 Admitindo que Cristiane não possua ter comprado apenas canetas ou apenas fichários.

26 RECURSOS COMPLEMENTARES
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares RECURSOS COMPLEMENTARES Openclipart/Domínio Público NO COMPUTADOR Openclipart/Domínio Público Usar o Winplot para fazer gráficos de equações lineares. O Winplot é um aplicativo que permite a plotagem de gráficos que auxilia na análise de equações lineares e/ou sistemas lineares. Link: Acesso em 02/08/2015 ATIVIDADE NO LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA: ATIVIDADE EM DUPLA O professor distribuir para os alunos 3 equações lineares e solicitar que representem o conjunto de soluções das equações por meio de um gráfico. Utilizando o aplicativo Winplot.

27 MATEMÁTICA Matrizes: Operações REFERÊNCIAS
MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares REFERÊNCIAS DANTE, L. R  Matemática: Contexto e Aplicações. 2a ed. 2° ano. São Paulo: Ática. IEZZI, G. e colaboradores MATEMÁTICA – CIÊNCIA E APLICAÇÕES. 7ª ed. 2° ano. São Paulo: Saraiva. LEONARDO, F. M. de. Conexões com a Matemática. Obra coletiva. 2ª ed. 2° ano. São Paulo: Editora Moderna, 2013. PAIVA, M  Matemática - Paiva. 1a ed. 2 ° ano. São Paulo: Moderna. Acesso em 02/08/2015 Acesso em 02/08/2015 Acesso em 02/08/2015 Acesso em 02/08/2015 MATEMÁTICA Ensino Médio, 2° ano Matrizes: Operações

28 TABELAS DE IMAGENS MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° ano Equações Lineares
Slide Autoria / Licença Link da Fonte Data do Acesso 2 A  Andrejj/public domain 02/08/2015 2 B Scewing/public domain 30/07/2015 20 Openclipart/Domínio Público 31/07/2015 26 A 26 B