MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Polinômios: Operações adição e subtração

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1 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Polinômios: Operações adição e subtração
Ensino Médio, 3º ano Polinômios: Operações adição e subtração

2 REDUÇÃO DE POLINÔMIOS Em muitos casos nos deparamos com representações polinomiais extensivas que podem ser reduzidas por meio das ideias relativas à adição e/ou subtração de monômios. Para que a redução seja possível é necessária à existência de monômios semelhantes na expressão.

3 Observações: De acordo com a quantidade de termos resultantes das reduções polinomiais ou até mesmo da representação inicial dos polinômios, podemos classificá-los das seguintes formas: monômio, quando há apenas um termo; binômio, quando há dois termos; trinômio, quando há três termos; acima de três termos, não há nome particular, sendo chamado apenas polinômio.

4 O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. A compreensão dessas operações é fundamental para o aprofundamento dos estudos futuros sobre polinômios. Vejamos como são realizadas as operações de adição e subtração com exemplos.

5 ADIÇÃO DE POLINÔMIOS Dados dois polinômios f(x) e g(x). Sendo f(x) = anxn + an-1xn a2x2 + a1x + a0 e g(x) = bnxn + bn-1xn b2x2 + b1x + b0 Para fazermos f(x) + g(x) deveremos ter como resposta: f(x) + g(x) = (an + bn )xn + (an-1 + bn-1 )xn (a2 + b2 )x2 + (a1 + b1 )x + (a0 + b0) Ou seja, calculamos a soma adicionando os coeficientes dos termos semelhantes.

6 EXEMPLO 1 Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6.
(x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o 2º parênteses através do jogo de sinal. +(–3x2) = –3x2  +(+8x) = +8x  +(–6) = –6  x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.  x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6  –2x2 + 5x – 7  Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2 + 5x – 7 

7 EXEMPLO 2 Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos:
(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes.  4x2 – 10x + 6x –   4x2 – 4x + 7  Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7 

8 EXEMPLO 3  Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x Calcule A + B + C. (6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20)  6x³ + 5x² – 8x x³ – 6x² – 9x x³ + 7x² + 9x + 20  6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x   9x³ + 6x² – 8x + 45  A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45 

9 PROPRIEDADES Para a operação de adição valem as seguintes propriedades: Comutativa: P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x); Associativa: [P(x) + Q(x)] + A(x) = P(x) + [Q(x) + A(x)]; Elemento neutro: P(x) + Q(x) = P(x), basta tomar Q(x) = 0; Elemento oposto: P(x) + Q(x) = 0, basta tomar Q(x) = – P(x).

10 P1. Comutativa: P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)
Dados os polinômios P(x) = 8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9 e Q(x) = x5 + 2x4 – 2x3 + 8x2 – 6x + 12. P(x) + Q(x) (8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9) + ( x5 + 2x4 – 2x3 + 8x2 – 6x + 12) (8x5 + x5 ) + ( 4x4 + 2x4 ) + ( 7x3 – 2x3 ) + (– 12x2 + 8x2 ) + (– 3x – 6x) + ( – ) 9x5 + 6x4 + 5x3 – 4x2 – 9x + 3 Q(x) + P(x) ( x5 + 2x4 – 2x3 + 8x2 – 6x + 12) + (8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9) (x5 + 8x5) + (2x4 + 4x4) + (– 2x3 + 7x3) + (8x2 – 12x2) + (– 6x – 3x ) + (12 – 9) 9x5 + 6x4 + 5x3 – 4x2 – 9x + 3

11 P2. Associativa: [P(x) + Q(x)] + A(x) = P(x) + [Q(x) + A(x)]
Considere os polinômios P(x) = – 9x3 + 12x2 – 5x + 7, Q(x) = 8x2 + x – 9 e A(x) = 7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 2. [P(x) + Q(x)] + A(x) [(– 9x3 + 12x2 – 5x + 7) + (8x2 + x – 9)] + (7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 2) [– 9x3 + (12x2 + 8x2) + (– 5x + x) + (7 – 9)] + (7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 2) [– 9x3 + 20x2 – 4x – 2] + (7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 2) 7x4 + (– 9x3 + x3) + (20x2 – 8x2) + (– 4x + 4x) + (– 2 + 2) 7x4 – 8x3 + 12x2 P(x) + [Q(x) + A(x)] (– 9x3 + 12x2 – 5x + 7) + [(8x2 + x – 9) + (7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 2)] (– 9x3 + 12x2 – 5x + 7) + [7x4 + x3 + (8x2 – 8x2)+ (4x +x) + (– 9 + 2) (– 9x3 + 12x2 – 5x + 7) + [7x4 + x3 + 5x – 7] 7x4 + (– 9x3 + x3) + 12x2 + (– 5x + 5x) + (7 – 7) 7x4 – 8x3 + 12x2

12 P3. Elemento neutro: P(x) + Q(x) = P(x), basta tomar Q(x) = 0.
Dados os polinômios P(x) = 8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9 e Q(x) = 0 P(x) + Q(x) = P(x) (8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9) + 0 = 8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9 (8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9) + (0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 0) (8x5 + 0x5) + (4x4 + 0x4) + (7x3 + 0x3) + (– 12x2 + 0x2) + (– 3x + 0x) + (– 9 + 0) 8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9

13 P4. Elemento oposto: P(x) + Q(x) = 0, basta tomar Q(x) = – P(x).
Considere os polinômios P(x) = 7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 11 e Q(x) = – 7x5 + 9x4 + 6x3 – 13x2 + 4x – 11. P(x) + Q(x) = 0 (7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 11) + (– 7x5 + 9x4 + 6x3 – 13x2 + 4x – 11) (7x5 – 7x5) + (– 9x4 + 9x4 ) + (– 6x3 + 6x3) + (13x2 – 13x2) + (– 4x + 4x) + (11 – 11) 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 0

14 SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS
Dados dois polinômios f(x) e g(x). Sendo f(x) = anxn + an-1xn a2x2 + a1x + a0 e g(x) = bnxn + bn-1xn b2x2 + b1x + b0 Para fazermos f(x) – g(x) deveremos ter como resposta: f(x) – g(x) = (an – bn )xn + (an-1 – bn-1 )xn (a2 – b2 )x2 + (a1 – b1 )x + (a0 – b0) Ou seja, calculamos a diferença subtraindo os coeficientes dos termos semelhantes.

15 EXEMPLO 1 Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8.
(5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. – (–3x2) = +3x2  – (+10x) = –10x  – (–6) = +6  5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes.  5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6  8x2 – 19x – 2  Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2 

16 EXEMPLO 2  Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos:  (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais.  2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes.  2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5  0x³ – 6x² + x + 16  – 6x² + x + 16 Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16

17 EXEMPLO 3  Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x Calcule A – B – C . (6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20)  6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20  6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20  6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30  3x³ + 4x² – 8x – 15  A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15

18 QUESTÕES

19 Qual o polinômio que representa a quantia que Valdir gastou?
1º) Valdir comprou pra sua loja 2 tambores e 5 violinos, enquanto Roberto comprou 3 tambores e 2 violinos. Cada tambor custou x reais e cada violino custou y reais, nessas condições, responda: Qual o polinômio que representa a quantia que Valdir gastou? Qual o polinômio que representa a quantia que Roberto gastou? Qual o polinômio que representa a quantia que os dois gastaram juntos? Supondo que x vale 60 reais e que y vale 300 reais, quanto os dois gastaram juntos? Respostas: a) 2x + 5y b) 3x + 2y c) 5x + 7y d) 2400 reais

20 A quantidade de saques que Rui acertou
2º) Em uma partida de tênis, Rui fez x saques e acertou 60% desses saques menos 1. Paulinho fez também x saques e acertou 40% mais 2. Escreva o polinômio que representa: A quantidade de saques que Rui acertou A quantidade de saques que Paulinho acertou A quantidade de saques que os dois acertaram juntos A diferença entre os saques de Rui acertou e os saques que Paulinho acertou. Respostas: a) 0,6x b) 0,4x c) x d) 0,2x -3

21 3º) Quando adicionamos os polinômios 13x2 – 11x – 15 e -7x2 – 2x + 16, obtemos como soma o polinômio Ax2+ Bx + C. Qual é o valor numérico da expressão A + B + C? Resposta: - 6

22 4º) Dados P = x2 + a2 – 2ax e Q = 2x2 + 5ax + 3a2, determine:
P + Q e seu valor numérico para a = 10 e x = -4. P – Q e seu valor numérico para a = - 0,5 e x 1,2. Respostas: a) 3x2 + 3ax + 4a2; VN = b) – x2 - 7ax – 2a2; VN = 2,26

23 5º) Efetue as seguintes adições de polinômios:
a) (2x²-9x+2)+(3x²+7x-1) (R: 5x² -2x + 1) b) (5x²+5x-8)+(-2x²+3x-2) (R: 3x² + 8x - 10) c) (3x-6y+4)+(4x+2y-2) (R: 7x -4y +2) d) (5x²-2ax+a²)+(-3x²+2ax-a²) (R: 2x²) e) (y²+3y-5)+(-3y+7-5y²) (R: -4y² + 2)

24 6º) Efetue as seguintes subtrações:
a) (5x²-4x+7)-(3x²+7x-1) (R: 2x² - 11x + 8) b) (7x-4y+2)-(2x-2y+5) (R: 5x - 2y – 3) c) (-2a²-3a+6)-(-4a²-5a+6) (R: -2a² +2a) d) (4x³-6x²+3x)-(7x³-6x²+8x) (R: -3x³ - 5x) e) (7ab+4c-3a)-(5c+4a-10) (R: 7ab -c-7a + 10)

25 EXTRAS GEOGEBRA Utilizar o software geogebra para trabalhar as operações de adição e subtração de polinômios. Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço:

26 REFERÊNCIAS Livros: Sites:
Livros: I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3: ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.