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MATEMÁTICA DO ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO Números Prof.ª: Rita de Cássia Pavani Lamas Aluno: Jefferson Pereira Velasco.

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1 MATEMÁTICA DO ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO Números Prof.ª: Rita de Cássia Pavani Lamas Aluno: Jefferson Pereira Velasco

2 Objetivo Este trabalho consiste em analisar um livro do Ensino Médio neste caso, o livro de José Ruy Giovanni & José Roberto Bonjorno, elaborar uma aula sobre números e verificar se: As definições e conceitos estão bem apresentados no texto, os exemplos esclarecem o conteúdo apresentado, se são utilizados materiais didáticos para esclarecer ou introduzir os conteúdos, se os exercícios envolvem aplicações no cotidiano, leitura de tabelas, leitura de gráficos e resoluções de problemas.

3 Conjunto Numérico: São conjuntos cujos elementos são números que têm alguma característica comum. São eles: conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, o dos números reais. O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem objetos, ou outros conjuntos foram surgindo como ampliações daqueles anteriormente conhecidos.

4 O conjunto dos Números Naturais (N): Este conjunto é representado por: N = {0,1,2,3,4,...} O conjunto N pode ser representado geometricamente por meio de reta numerada, escolhemos o ponto de origem ao número zero, uma medida unitária e uma orientação geralmente para a direita l l > O 1 Marcamos sobre a reta outros números naturais, respeitando a medida da unidade: l l l l l---> O

5 Subconjuntos importantes: Conjuntos dos números naturais não nulos: N* = {1,2,3,4,...} ; N* = N – {0} Conjunto dos números naturais pares: Np = {0,2,4,6,...} Conjunto dos números naturais ímpares: Ni = {1,3,5,7,...} Conjunto dos números primos: P = {2,3,5,7,11,13,...}

6 Observação: Vm, n Є N, m + n Є N e m. n Є N Portanto, podemos dizer que N é fechado em relação à adição e a multiplicação.

7 O mesmo não ocorre com a subtração: embora, por exemplo, 5 – 2 = 3 Є N, não existe número natural x tal que x = 2 – 5; em outras palavras, o conjunto N não é fechado para a subtração. Por esse motivo, fez-se uma ampliação do conjunto N e surgiu o conjunto dos números inteiros.

8 Conjuntos dos Números Inteiros (Z): Este conjunto é representado por: : Z = {...,-2,-1,0,1,2,3,...} Todo elemento de N pertence também a Z, podemos dizer que N é subconjunto de Z : N C Z. A r epresentação geométrica do conjunto Z é feita a partir da representação de N acrescentado os pontos correspondentes aos números negativos: ----l----l----l----l----l----l----l---->

9 Subconjuntos importantes: Conjunto dos númerosinteiros não nulos: Z* = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...} ; Z* = Z – {0} Conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0,1,2,3,...} ; Z+ = N Conjunto dos números inteiros positivos: Z* + = {1,2,3,4,...} Conjunto dos números inteiros não positivos: Z- = {...,-3,-2,-1,0} Conjunto dos números inteiros negativos: Z* - = {...,-5,-4,-3,-2,-1}

10 Números opostos: Dois números são opostos quando apresentam soma zero, ou seja são equidistantes da origem, por exemplo: l l l > (-2) = 0 Em particular zero é oposto de zero.

11 Módulo de um número inteiro: É a distância do número à origem. Dizemos por exemplo, que o módulo de -2 é 2 e de 2 também é 2 e representamos por I -2 l = 2 e l 2 l = 2.

12 Exercícios: 1- Quais das proposições abaixo são verdadeiras: a) 0 Є N c) -10 Є Z e) (2 – 3) Є Z b) 0 Є Z d) N C Z f) N C Z 2- A) Quantas unidades devemos diminuir de 7 para chegarmos a -4? B) Quantas unidades devemos diminuir de -3 para chegarmos a -9? C) Quantas unidades devemos diminuir de 11 para chegarmos a 13? 3- Calcule o valor da expressão 3 – l 3 + l - 3 l + l 3 l l

13 Respostas: 1) a, d,e,f. 2) A) 11 B) 6 C) -2 3) - 6

14 Concluímos a partir destes dois tópicos estudados que o livro que estamos analisando o autor aborda o conceito de forma muito resumida, apenas apresenta o conjunto dos números naturais como sendo N = {0,1,2,3,4,...}. Não faz menção a todos os subconjuntos de N e das operações que são definidas. Em relação aos números inteiros o autor também traz a definição resumida, não aborda o conceito de número oposto e módulo de um número. Os exercícios são formais não explorando o cotidiano dos alunos.

15 Conjunto dos Números Racionais (Q): O conjunto Z é fechado em relação às operações de adição, multiplicação e subtração, mas o mesmo não acontece em relação à divisão, por exemplo (-12) : 4 = -3 Є Z, mas não existe um número x para o qual se tenha x = 4 : (-12). Por esse motivo, foi necessário a ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos números racionais. O conjunto dos números racionais é representado por: Q = { 0, ±1, ±1/2, ±1/3,..., ±2, ±2/3, ±2/5,...,p/q,...}, com p e q inteiros e q 0. Quando q = 1, temos p/q = p/1 = p Є Z, concluímos então que Z é subconjunto de Q.

16 Diagrama: Pelo diagrama temos: N C Z C Q. O conjunto Q é fechado para as operações de adição, multiplicação, subtração e divisão. Q Z N

17 Representação decimal: Tomemos um número racional p\q, tal que p não é múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Ex: 2/5 = 0,4 1/3 = 0, O primeiros exemplo e chamado de decimal exato e o segundo de dízima periódica. Para acharmos a fração de uma dízima periódica procedemos da seguinte maneira: Ex: 0, x = 0, , multiplicando os dois lados da igualdade por 10, temos: 10.x = 5,555..., subtraindo a primeira igualdade da segunda, temos: 10.x – x = 5, – 0, => 9.x = 5 => x = 5 / 9. Portanto: 0, = 5 / 9. Representação geométrica: l-----l-----l-----l-----l------l-----l----> -4/3 -1-1/2 0 1/23/41

18 Exercícios: 1- Assinale V ou F: a) 3/4 Є Q c) 17/9 Є Q – Z e) 62/31 Є Q - Z b) 1 – 5/6 Є Q d) 62 Є Q f ) 1, Є Q 2- Encontre a fração geratriz de: 0,666...

19 Respostas: 1) a) V b) F c) V d) V e) F f ) F 2) 2/3

20 O livro analisado traz o conceito de números racionais também resumido não explicando ao aluno a necessidade de inserir este conjunto, não ensina transformar dízima periódica em fração. Não faz uma relação entre os números naturais, inteiros e racionais. Traz poucos exercícios sobre o assunto.

21 Conjunto dos Números Irracionais (I): Há alguns números que não existe representação, são os números decimais não exatos que possuem representação infinita não periódica. Por exemplo: 0, , não é dízima periódica pois os algarismos após a vírgula não se repetem. Outros exemplos: 2 = 1, e π = 3, Um número cuja representação decimal infinita não é periódica é chamado número irracional.

22 Conjunto dos Números Reais (R): O conjunto formado pelos números racionais e pelos números irracionais é chamado conjunto dos números r eais. R = Q U I Q I 1\2 3 -0, π

23 Lembrando que N C Z C Q, construímos o seguinte diagrama: Q I Z N R

24 Subconjuntos importantes: 1- Conjuntos dos números reais não nulos: R* = {x Є R / x 0 } 2- Conjuntos dos números reais não negativos: R+ = { x Є R / x 0 } 3- Conjuntos dos números reais positivos: R* + = { x Є R / x > 0 } 4- Conjuntos dos números reais não positivos: R- = { x Є R / x 0 } 5- Conjuntos dos números reais negativos: R* - = { x Є R / x < 0 }

25 Representação geométrica: ----l------l l------l l l l > -π -3 -9/ /3 Também usamos os conceitos de número oposto e módulo de um número para os números reais. Relacionando os conjuntos temos: N C Z C Q C R.

26 Exercícios: 1- Qual das proposições abaixo são falsas: a) N C Z C Q c) Q C Z e) Q* + Z = N b) Z I = ǿ d) {0} C Q f ) Q R = Q 2-Represente sobre uma reta orientada os números -1, -10/3, 1/10, -3/10, 5/2, 2/5, 6 e --0,333...

27 Respostas: 1- c,e l l l---l---l l-----l------l------> -10/ ,3.01/10 2/56 5/2

28 No livro analisado o autor traz de forma clara e objetiva o conceito de números reais, mostra a relação entre os conjuntos através de diagramas, porém traz poucos exercícios.

29 Conclusão Concluímos neste trabalho que o livro analisado bem como a maioria dos livros adotados no Ensino Médio possui falhas e conceitos mal elaborados, cabe ao professor adequar os conceitos do autor com os conceitos dele para garantir uma aula de boa qualidade.

30 Exercícios Propostos: 1- Considere os conjuntos A = { x Є N / x é primo e x < 20 } e B = { x. y / x Є A, y Є A e x y }. O número de elementos de B é: a) 14 b) 28 c) 36 d) 56 e) O valor de 2/0, é: a) 0, b) 1, c) 3, d) 3 e) O número 512 0, é: a) 32 b) 162 c) 2 d) 2 e) Classifique em verdadeiro ou falso e justifique: a) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. b) O produto de dois números irracionais pode ser racional. 5- Determine A B e A U B, sendo A = { x Є N / 3 x 7 } e B = { x Є N / x 6 }.

31 Respostas: 1- B 2- D 3- A 4- a) F; basta tomar dos números irracionais opostos b) V; 3 Є I e 12 Є I, mas = = 36 = 6 Є Q 5- A B = { x Є N / 3 x 6 } e A U B = { x Є N / x 7 }

32 Referência Bibliográficas: Iezzi, G.; Dolce, O.; Degenszajn, D. M. e Périgo, R. Matemática. Volume único. Atual Editora Lima, E. L.; Carvalho, P. C. P.; Wagner, E. e Morgado, A. C. A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. Quinta edição Giovanni, J. R. e Bonjorno, J. R. Matemática.

33 FIM


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