FILTROS ACTIVOS.

Apresentação em tema: "FILTROS ACTIVOS."— Transcrição da apresentação:

1 FILTROS ACTIVOS

2 Conteúdo 3 - Filtros Activos (4 aulas)
Pólos, Zeros e Funções de Transferência Parâmetros, aproximações e tipos de filtros Filtros com Simulador de Indutância Filtros com integradores Secção de Sallen & Key

3 Análise no domínio da frequência: Pólos, Zeros e Funções de Transferência
Exemplo: Determinar a função de transferência T(s)=VO(s) / Vi(s) do seguinte circuito 3 1 Determinar a função de transferência T(s)=VO(s) / Vi(s) do seguinte circuito . 2

4 Função de transferência T(s)
Análise no domínio da frequência: Pólos, Zeros e Funções de Transferência Função de transferência T(s) a e b – números reais m – ordem do numerador n – ordem do denominador (ordem do circuito) m≤n Zeros da função de transferência zeros do numerador Pólos da função de transferência zeros do denominador Circuito estável  as raízes do denominador têm parte real negativa

5 Os zeros reais não produzem anulamento da transmissão.
Análise no domínio da frequência: Pólos, Zeros e Funções de Transferência Função de transferência T(s) Um Zero puramente imaginário (±jwZ) causa o anulamento da função de transferência em w=wZ pois (s+jwZ).(s-jwZ)= s2+wZ2, o que para frequências com realidade física é -w2+wZ2 e a função de transferência é exactamente zero em w=wZ. Os zeros reais não produzem anulamento da transmissão. Para valores de s muito maiores do que todos os zeros e pólos, a função de transferência torna-se aproximadamente igual a am/sn-m pelo a função de transferência tem (n-m) zeros em s=∞.

6 Análise no domínio da frequência: Pólos, Zeros e Funções de Transferência
Função de 1ª ordem T(s) -w0 é a localização do pólo real w0 é a frequência do pólo e é igual ao inverso da constante de tempo Circuito passa baixo: Ganho em DC: a0/w0 Ganho em DC: 0 Circuito passa alto: Ganho de alta frequência = a1

7 Diagramas de Bode para PÓLOS e ZEROS REAIS
Função de Transferência Função de Transferência em dBs Módulo Fase

8 Diagramas de Bode Módulo

9 Módulo Diagramas de Bode Recta a 0 dBs 3 dBs Recta a 45º (zero)
Assímptota de baixa frequência 3 dBs Frequência de corte Recta a 45º (zero) Recta a -45º (pólo) Assímptota de alta frequência +20dB/dec 0 dB 3 dB Zero ou pólo em zero a assimptota é uma recta a 45º que intersecta 0dbs em w= log raiz(02+w2)=20log de w=0 implica w=1

10 Fase Diagramas de Bode 0º - 45º w > 10x Zm -90º f=0 f=-90 0,1 Zm
0,1x Zm < w< 10x Zm f=-90 w > 10x Zm -90º 0,1 Zm 10 Zm Zero ou pólo em zero a assimptota é uma recta a 45º que intersecta 0dbs em w= log raiz(02+w2)=20log de w=0 implica w=1 -5,7º -45º -5,7º -90º

11 Diagramas de Bode O numerador e o denominador de uma função de transferência na forma factorizada, consistem nos produtos de factores na forma (s+a). A amplitude a função de transferência calculada em dBs pode ser obtida somando termos na forma [20 log10 (a2+w2)1/2 ] = = [20 log10 a+20 log10 (1+w2/a2)1/2 ] A fase da função de transferência pode ser obtida somando termos na forma [tan-1 (w/a)] Em ambos os casos os termos respeitantes aos pólos são somados com sinais negativos

12 Diagramas de Bode Zeros: s=0 e s=∞ Exemplo: Pólos: s=-102 e s=-105
60 dB T= (1)+(2)+(3)+(4) 40 dB (1) Zero: s=0 +20dB/dec 20 dB (4) 10 0 dB w (rad/s) log 1 10 102 103 104 105 106 107 108 (3) Pólo: s=105 -20dB/dec (2) Pólo: s=102 -20dB/dec

13 Diagramas de Bode Zeros: s=0 e s=∞ Exemplo: Pólos: s=-102 e s=-105
Módulo de T(s) 60 dB T= (1)+(2)+(3)+(4) 40 dB (1) Zero: s=0 +20dB/dec 20 dB (4) 10 0,1 w (rad/s) log 1 10 102 103 104 105 106 107 108 (3) Pólo: s=-105 -20dB/dec (2) Pólo: s=-102 -20dB/dec

14 Diagramas de Bode Exemplo: Zeros: s=0 e s=∞ Fase de T(s) Pólos:
0º f=0 w <0,1x Zm -45º 0,1x Zm < w< 10x Zm f=-90 w > 10x Zm -90º Zero (s=0)  (1) +90º pólo (s=105) (3) f(105=-45º) -90º pólo (s=102) (2) f(102=-45º) -90º

15 T(s) º Vo(s)/Vi(s). T(jw) º |T(jw)| ejf(w) G(w) º 20 log|T(jw)| dB
Parâmetros, aproximações e tipos de filtros Filtros - Circuitos lineares representados por um quadripolo. T(s) º Vo(s)/Vi(s). T(jw) º |T(jw)| ejf(w) G(w) º 20 log|T(jw)| dB A(w) º -20 log|T(jw)| dB Transmissão do filtro Função de Transferência do filtro Ganho Atenuação A tecnologia mais antiga para fazer filtros era o uso de bobines e condensadores: filtros LC passivos (bons para alta frequência) a baixa frequência têm grandes dimensões (dc a 100kHz). As bobinas destes filtros são impossíveis de integração monolítica e portanto incompatíveis com as tecnologias actuais de electrónica. Solução evitar bobinas: filtros RC activos e filtros com condensadores comutados Filtros RC activos  ampops com condensadores e resistências Filtros com condensadores comutados  realização de filtros totalmente integrados evitar o uso de bobinas

16 Características de transmissão ideais
Parâmetros, aproximações e tipos de filtros Características de transmissão ideais passa-alto (HP) passa-baixo (LP), passa-banda (BP) rejeita-banda (BS), O filtro realiza uma função de selecção de frequências: transmitindo (deixando passar) sinais que estão numa dada gama de frequências e retendo outros que se situam noutra gama de frequências. Banda de frequência onde o ganho é 1 (as frequências que passam ) e banda de frequência onde o ganho é zero.

17 Parâmetros, aproximações e tipos de filtros
Especificação das características de transmissão e resposta de amplitude um filtro passa baixo: Não é possível transmitir todas as frequências da banda passante com amplitude constante: 0,05dB < Amax < 3dB Não é possível atenuar totalmente até zero o sinal de todas as frequências fora da banda passante: 20dB < Amin < 100dB A razão: ws/wp é uma medida da selectividade do filtro Banda de passagem Banda de transição Banda de rejeição

18 Parâmetros, aproximações e tipos de filtros
Especificação das características de transmissão e resposta de amplitude um filtro passa baixo: Parâmetros: 1 - wp limite superior da banda de passagem 2 – Amax máxima variação permitida na transmissão na banda de passagem 3 – ws limite inferior na banda de rejeição 4 – Amin atenuação mínima permitida na banda de rejeição Para cumprir as especificações a curva de amplitude de ganho do filtro tem que se situar dentro da banda de transição Omega P largura de banda do ripple Amax ripple da banda de passagem Equiripple Filter aproximation. Banda de passagem Banda de transição Banda de rejeição

19 Parâmetros, aproximações e tipos de filtros
Especificação das características de transmissão e resposta de amplitude de um filtro passa-banda: Omega p largura de

20 Parâmetros, aproximações e tipos de filtros
Diagrama de pólos e zeros Filtro de quinta ordem (N = 5) Função de Transferência Zeros: ± wl1, ± wl2, infinito Olhando para a resposta em amplitude verifica-se que existem três zeros um em omega l1 outro em omega l2 e outro para s=a infinito pelo que o numerador é de 4ª ordem., e o denominador de quinta ordem tem dois pólos em (+ e -) omega p complexos conjugados. Tem mais três pólos dois complexos conjugado e um real todos com parte real negativa. Todos os pólos estão na vizinhança de wp que é o que dá origem à alta transmissão na banda de passagem Pólos: ± wp, ± wx, wy

21 Parâmetros, aproximações e tipos de filtros
Especificação das características de transmissão e resposta de amplitude um filtro passa banda: Zeros: 0, ± wl1, ± wl2, infinito (5ºgrau) Pólos: ± wp1, ± wp2 ± wp3, (N=6) wl1 < wp1, wp2 , wp3,< wl2

22 Parâmetros, aproximações e tipos de filtros
Características de transmissão de um filtro passa baixo de quinta ordem tendo todos os zeros de transmissão no infinito Quanto mais selectivo for o filtro maior é a sua ordem.

23 Parâmetros, aproximações e tipos de filtros
Resposta de amplitude de um filtro de Butterworth

24 Parâmetros, aproximações e tipos de filtros
Resposta de filtros de Butterworth de várias ordens com e = 1. À medida que a ordem aumenta a resposta do filtro aproxima-se da ideal

25 Parâmetros, aproximações e tipos de filtros
Características de transmissão de filtros de Chebyshev (a) ordem par e (b) ordem impar

26 FILTROS DE 1ª ORDEM Função de 1ª ordem T(s) -w0 é a localização do pólo real w0 é a frequência do pólo e é igual ao inverso da constante de tempo Circuito passa baixo: Ganho em DC: a0/w0 Circuito passa alto: Ganho em DC: 0 Ganho de alta frequência = a1

27 FILTRO PASSA BAIXO DE 1ª ORDEM
Filtros de primeira ordem

28

29 FILTRO DE 1ª ORDEM – Função de Transferência geral

30 Filtros de primeira ordem

31 Funções de Transferência de Segunda Ordem
Função de 2ª ordem T(s) (biquadrática) Onde w0 e Q determinam os pólos (complexos conjugados) de acordo com w0 é frequência do pólo Notar que a distãncia radial entre os pólos é igual a omega zero que é conhecida como a frequência do pólo, O parâmetro Q determina a distância dos pólos do eixo imaginário. Se Q for infinito os pólos ficam sobre o eixo imaginárioe podem manter-se oscilações no circuito osciladores sinusoidais). Um valor de Q negativo implica que os pólos estão no semi-plano direito e existarão oscilações não desejadas. Q é o factor de qualidade do pólo Os coeficientes a0 a1 e a2 determinam os zeros do numerador e portanto o tipo de filtro P.Baixo, P.Alto, P.Banda, etc.

32 Funções de Transferência de Segunda Ordem
Função de 2ª ordem T(s) Passa Baixo: a1 = a2 = 0 Ganho em DC: a0/w02 Passa Alto: Ganho em DC: 0 a0 = a1 = 0 Ganho de alta frequência = a2 Passa Banda: Frequência central= w0 a0 = a2 = 0 Largura de banda= w2-w1

33 Filtros de PASSA BAIXO de segunda ordem
2 zeros de transmissão no infinito O pico de amplitude ocorre só para Q>(1/2)1/2

34 Filtros de PASSA ALTO de segunda ordem
2 zeros de transmissão em DC (s=0) O pico de amplitude ocorre para Q>(1/2)1/2

35 Filtros de PASSA BANDA de segunda ordem
1 zero de transmissão em DC s=0 e outro no infinito O pico de amplitude ocorre para w=w0 (frequência central) As frequências w1e w2 (para as quais a amplitude está a -3dB do seu valor máximo em w0) definem a largura de banda = w1-w2=w0/Q

36 Filtros de segunda ordem

37 Filtros de segunda ordem

38 Filtros de segunda ordem
Circuito ressonante RLC paralelo de 2ª Duas formas de excitar circuito ressonante sem mudar a sua estrutura natural: os pólos são os pólos das funções de transferência Vo/I e Vo/Vi. No dimensionamento de um filtro tem-se wo e Q e pretende-se determinar R,L,e C

39 Circuito ressonante RLC paralelo de 2ª
Realização de Filtros de segunda ordem usando o circuito ressonante RLC Circuito ressonante RLC paralelo de 2ª Desligando x, y ou z da massa e ligando Vi entre o terminal desligado e a massa obtem-se Vo/Vi. Desejamos saber onde injectar a tensão de entrada para realizar o tipo de filtro desejado (passa baixo, passa alto, passa banda etc) de forma a que a função de transferência desejada Vo/Vi seja a desejada. Notar que no circuito ressonante qualquer dos nós marcados x y e z podem ser desligados da massa e ligados a Vi sem alteração do pólos. Quando isto é feito o circuito fica com a forma de um divisor de tensão, pelo que a função de transferência fica Os zeros de transmissão são os valores de s para os quais Z2 (s)=0 e Z1 (s)≠0 e os valores de s para os quais Z1(s) é infinito e Z2 (s) é diferente de infinito A saída será zero quando Z2 (s) se comportar como um curto circuito ou quando Z1 (s) se comportar como um circuito aberto

40 Desligar x da massa e ligar a Vi
Realização de Filtros de segunda ordem usando o circuito ressonante RLC PASSA BAIXO Desligar x da massa e ligar a Vi Passa-baixo Zeros de transmissão são os valores de s para os quais a impedância série é infinita ou seja para s= a infinito. E o valor de s para o qual a impedância em paralelo é zero o que acontece para s=infinito estrutura geral

41 Desligar y da massa e ligar a Vi
Realização de Filtros de segunda ordem usando o circuito ressonante RLC PASSA ALTO Desligar y da massa e ligar a Vi Passa-Alto O condensador em série introduz um zero de transmissão em s=0 e a bobine em paralelo introduz outro zero de em s=0 a2 =1 pois á medida que s tende para infinito o condensador aproxima-se do curto circuito e Vo aproxima-se de Vi estrutura geral

42 Desligar z da massa e ligar a Vi
Realização de Filtros de segunda ordem usando o circuito ressonante RLC PASSA BANDA Desligar z da massa e ligar a Vi Passa-Banda A resistência em série não introduz zeros de transmissão. Um zero é obtido em s=0 pela bobine em paralelo e o outro pelo condensador em paralelo para s=infinito. Na frequência central omega zero o circuito LC em paralelo tem impedância infinita e portanto não existe corrente no circuito Em omega igual a omega zero Vo=Vi ou seja o ganho na frequência central é unitário. estrutura geral

43 Realização de Filtros de segunda ordem usando o circuito ressonante RLC
estrutura geral Passa-baixo Passa-alto Passa-banda

44 Realização de uma função de transferência de segunda ordem usando um divisor de tensão e um circuito ressonante RLC

45 Filtros de segunda ordem com Simulador de Indutância

46 Filtros de segunda ordem com Simulador de Indutância
Critério de dimensionamento R1=R2=R3=R4=R5=R e C4=C implics L=CRquadrado Critério de dimensionamento: R1=R2=R3=R4=R5=R e C4=C  L=CR2

47 L L Filtros de segunda ordem com Simulador de Indutância
Circuito ressonante RLC paralelo L L Filtro activo de segunda ordem com simulador de indutância A saída podia ser tirada em Vt. No entanto se assim fosse ao ligar a carga as caraacteristicas do filtro seriam alteradas pelo que se utiliza um buffer com um ampop ligado em montagem não inversora. (é possivel variar o ganho do filtro através da variação de k) Implementação do amplificador K.

48 Filtros de segunda ordem com Simulador de Indutância
Passa-baixo Passa-alto Passa-banda

49 Filtros de segunda ordem com Simulador de Indutância

50 Filtros com Simulador de Indutância

51 Secção Biquadrática KHN (Kerwin-Huelsman-Newcomb
Filtros com integradores Função de transferência de um filtro passa alto de segunda ordem Secção Biquadrática KHN (Kerwin-Huelsman-Newcomb Realização do diagrama de blocos de uma secção biquadrática com dois integradores

52 Filtros com integradores
Implementação do circuito: As três funções básicas de filtragem são realizadas simultâneamente. Cada integrador é substituído por um integrador de Miller com RC=1/w0. O bloco somador é substituído por um ampop somador.

53 Filtros com integradores
Contribuição de vi:

54 Filtros com integradores
Contribuição de Vbp:

55 Filtros com integradores
Contribuição de Vlp:

56 Filtros com integradores
Implementação do circuito:

57 Filtros com um amplificador operacional – “single amplifier biquads”
A síntese de filtros com um só A.O. baseia-se no uso de realimentação para deslocar os pólos de um circuito RC do eixo real negativo (onde eles normalmente se encontram) para uma localização de complexos conjugados, da seguinte forma: 1 – Sintese da malha de realimentação que realiza um par de pólos complexos conjugados caracterizados por frequência w0 e um factor de qualidade Q. 2 – Injecção do sinal de entrada numa forma que realize os zeros de transmissão desejados a) Obtem-se um filtro de segunda ordem com um só amplificador colocando um circuito RC (de dois portos) na malha de realimentação do ampop b) definição da função de transferência t(s) da malha RC

58 Filtros com um amplificador operacional – “single amplifier biquads”
Definição da função de transferência t(s) da malha RC N(s)=0  zeros de transmissão; D(s)=0  pólos Obtem-se um filtro de segunda ordem com um só amplificador colocando um circuito RC (de dois portos) na malha de realimentação do ampop Estudo da teoria de realimentação mostra que numa rede RC : - os pólos caiem no eixo real - os zeros existem em qualquer ponto do plano complexo

59 Os pólos do filtro são idênticos aos zeros da rede RC
Filtros com um amplificador operacional – “single amplifier biquads” Filtro +Malha de realimentação RC Definição da função de transferência t(s) da malha RC Malha de realimentação RC Função de transferência do filtro L(s) = At(s) Pólos do filtro (zeros da equação característica) Os pólos do filtro são idênticos aos zeros da rede RC

60 Os pólos do filtro são idênticos aos zeros da rede RC – pelo que devemos selecionar um circuito RC com xzeros de transmissão complexos conjugados EXEMPLOS 1 2 Duas malhas RC (redes em ponte-T) que podem ter zeros de transmissão complexos. As funções de transferência são determinadas de b para a, com a em circuito aberto.

61 EXEMPLO Filtro activo com o circuito RC anterior na malha de realimentação (a). O polinómio dos pólos do filtro activo será igual ao polinómio dos zeros de transmissão da ponte em T, isto é ao numerador da função de transferência da malha RC 1

62 filtro passa banda de segunda ordem
Injecção do sinal de entrada sem alteração dos pólos – ligar o sinal de entrada em qualquer ponto que esteja ligado à massa (desligando-o da massa) EXEMPLO Para determinar a função de transferência em tensão T(s) seguem-se os passos numerados Circuito anterior com o sinal de entrada injectado através de parte da resistência R4. O ponto onde se injecta o sinal de entrada define os zeros de transmissão do filtro. filtro passa banda de segunda ordem

63 Geração de Malhas de Realimentação Equivalentes
Transformação complementar Trocando a entrada e a massa resulta uma função de transferência complementar da primeira

64 A aplicação da transformação complementar na malha de realimentação em (a) resulta na malha de realimentação equivalente (os mesmos pólos) em (b). A aplicação da transformação complementar na malha de realimentação para gerar uma malha de realimentação equivalente assenta em dois passos: 1 – Nós da malha de realimentação e qualquer das entradas do AO que estejam ligadas à massa devem ser desligadas da massa e ligadas à saída do AO. Os nós que estejam ligados à saida do AO devem ser ligados à massa. 2 – As duas entradas do AO devem ser trocadas.

65 Família de circuitos de Sallen & Key
circuito inicial Família de circuitos de Sallen & Key transformação complementar (a) Malha de realimentação obtida por aplicação da transformação complementar à malha de realimentação do circuito inicial. (b) Injectando o sinal de entrada através de C1 realiza-se uma função passa alto.

66 Família de circuitos de Sallen & Key
circuito inicial transformação complementar (c) Injectando o sinal de entrada através de R1 realiza-se uma função passa baixo