D ERIVADAS. PROBLEMA : FOLHA RETANGULAR 40 cm 60 cm RECORTAR UM QUADRADO DE LADO x EM CADA CANTO.

Apresentação em tema: "D ERIVADAS. PROBLEMA : FOLHA RETANGULAR 40 cm 60 cm RECORTAR UM QUADRADO DE LADO x EM CADA CANTO."— Transcrição da apresentação:

1 D ERIVADAS

2 PROBLEMA : FOLHA RETANGULAR 40 cm 60 cm RECORTAR UM QUADRADO DE LADO x EM CADA CANTO

3 PROBLEMA : FOLHA RETANGULAR c 40 cm 60 cm 40 -2x 60 -2x x x

4 Dobrando as laterais formamos uma caixa Pergunta: Quanto deve medir x para aproveitarmos o maior Volume possivel?

5 V(x)=(60-2x)(40-2x)x V(x)= 4x 3 -200x 2 +2400x PONTO DE MÁXIMO PONTO DE MÍNIMO

6 No ponto de máximo e de mínimo a tangente é paralela ao eixo x. Portanto o coeficiente angular vale zero no ponto de máximo e de mínimo.

7 Ponto crítico de uma função derivável: Ponto crítico de uma função derivável f é um ponto x=c do domínio de f no qual f '(c)=0. Exemplo: f(x)=x², definida sobre [-1,2], possui x=0 como ponto crítico, pois f '(0)=0.

8 Ponto de máximo e ponto de mínimo Se uma função f possui um ponto de extremo (máximo ou mínimo) local em x=c e a função f é derivável neste ponto, então x=c é um ponto crítico, isto é, f '(c)=0.

9 Critério da primeira derivada Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, possuindo um ponto crítico x=c no interior de S, isto é, f '(c)=0. Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x=c, então x=c é um ponto de máximo para f. Se a derivada de f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita de x=c, então x=c é um ponto de mínimo para f.

10 (1) Seja a função f(x)=1-x² definida sobre S=[-1,2]. f '(x)=-2x, assim o único ponto crítico ocorre em x=0. f '(x)>0 se x 0, assim, x=0 é um ponto de máximo local para f.

11 (2) Seja a função f(x)=x² definida sobre S=[-1,2]. g '(x)=2x, assim o único ponto crítico ocorre em x=0. g '(x)>0 se x 0, assim, x=0 é um ponto de mínimo local para f.

12 Resolvendo nosso problema do volume: V(x)= 4x 3 -200x 2 +2400x V’(x) = 12x 2 -400x+2400 Para encontrar os pontos de max e min 0 = 12x 2 -400x+2400x’ = 7,8 cm e x’’ = 25,48 cm +-+f ’ f 7,8 25,48 MáximoMínimo

13 V(0)=0 V(7,8)=8450,20 cm 3 V(20)=0 V(25,48)=-2525cm 3 x=7,8 então V(7,8)=8450,20 cm 3 Dimensões: 7,8 cm x 24,4 cm x 44,4 cm

14 PROBLEMA : PRISMA DE BASE QUADRADA

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16 Verificando a capacidade máxima (volume ) fazemos

17 V(a) = 1,25 a – 0,5 a 3 V’(a) = 1,25 – 1,5 a 2 1,25 – 1,5 a 2 =0 a = 0,9129 Ou seja tem a forma de hexaedro regular (dado) Dimensões: 0,9129m x 0,9129m x 0,9129m

18 PROBLEMA : CILINDRO RETO r h Superfície lateral r r Base 2r2r h

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