Análise de Riscos e Avaliação do Investimento Aula 6 Professor: Engº. Ms. Abraão Freires Saraiva Júnior 30/03/2011 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO.

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1 Análise de Riscos e Avaliação do Investimento Aula 6 Professor: Engº. Ms. Abraão Freires Saraiva Júnior 30/03/2011 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO Departamento de Ciências Ambientais e Tecnológicas Curso de Engenharia de Produção

2 AGENDA Juros Simples (Revisão) Juros Compostos

3 Dentro do campo da Matemática Financeira, serão enfatizados os seguintes tópicos de conhecimento: (i)dinheiro, tempo, juros e custo de oportunidade do capital; (ii)diagrama de fluxo de caixa; (iii)valor futuro, valor presente, taxa de juros e prazo; (iv)juros simples; (v)juros compostos; (vi)impacto da inflação na taxa de juros; (vii)equivalência de capitais; (viii) taxas de juros nominais e efetivas; (ix)proporcionalidade e equivalência de taxas de juros; (x)séries uniformes; (xi)sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos.

4 Valor Presente n 0 Valor Futuro Juros Valor Presente Período de capitalização + Diagrama de Fluxo de Caixa $ Taxa de Juros = Juros Valor Presente (inicial) % Revisão Básica Juros = Valor Futuro (final) - Valor Presente (inicial) $

5 Juros Simples Revisão Básica

6 Juros Simples Tábua de contagem de dias entre datas Exemplo 10: uma aplicação com capitalização diária foi realizada em 21/jan e resgatada em 30/mar. Considerando dias corridos, qual o foi o prazo da operação? n = 89 – 21 n = 68 dias

7 Juros Simples Revisão Básica Como expressar matematicamente os Juros (J) em Função do Montante (M)? Sabendo que: M = C + J e J = C × i × n  C = J i × n Então: M = J + J = J × 1 + 1 i × n M = J × 1 + (i × n) i × n J = M × i × n 1 + i × n ou J = VF × i × n 1 + i × n

8 Exemplo 11: Um título foi resgatado por R$3.000 ao término de 8 meses de aplicação. Se a taxa de juros simples aplicada foi de 180% a.a., qual o valor dos juros recebidos na operação? Juros Simples Revisão Básica J = M × i × n 1 + i × n 3000 × 180 12 × 8 J = 1 + 180 12 × 8 J = R$1.636,36

9 Juros Compostos Para refletir... "O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática acumulação de riqueza”. Albert Einstein

10 Juros Compostos Imagine um Capital Inicial (C – também chamado de Valor Presente – VP) a ser investido. Após n Períodos de Capitalização, o Capital Inicial rende Juros (J) e transforma-se em um Montante (M – também chamado de Valor Futuro – VF). Desta forma: M = C + J VF = VP + J

11 Considerando o período de capitalização (n) igual a 1, temos que os Juros (J) da operação seriam dados em função de uma Taxa de Juros (i) a ser incidida sobre o Valor Presente (VP) do período 1. Desta forma, os Juros e o Valor Futuro poderiam ser expressos da seguinte forma: J 1 = VP × i Juros Compostos VF 1 = VP + (VP × i) VF 1 = VP × (1 + i)

12 Considerando o período de capitalização (n) igual a 2 e o regime de capitalização sendo composto, temos que os Juros (J) da operação seriam dados em função de uma Taxa de Juros (i) a ser incidida sobre o Valor Futuro (VF) do período 1 (igual ao Valor Presente mais os Juros do período 1). Desta forma, os Juros e o Valor Futuro do período 2 da operação poderiam ser assim expressos : Juros Compostos J 2 = [VP × (1 + i)] × i VF 2 = VP × (1 + i) + [VP × (1 + i)] × i VF 2 = [VP × (1 + i)] × (1 + i) VF 1 J2J2

13 Considerando o período de capitalização (n) igual a 3 e o regime de capitalização sendo composto, temos que os Juros (J) da operação seriam dados em função de uma Taxa de Juros (i) a ser incidida sobre o Valor Futuro (VF) do período 2 (igual ao Valor Presente mais os Juros do período 2). Desta forma, os Juros e o Valor Futuro total da operação poderiam ser expressos da seguinte forma: Juros Compostos J 3 = {[VP × (1 + i)] × (1 + i)} × i VF 3 = {[VP × (1 + i)] × (1 + i)} + {[VP × (1 + i)] × (1 + i)} × i VF 2 VF 3 = {[VP × (1 + i)] × (1 + i)} × (1 + i) VF 2 J3J3

14 Generalizando para n períodos de capitalização em um regime de juros compostos, o Valor Futuro (VF) total da operação seria: Juros Compostos VF = VP × (1 + i) n

15 No regime de capitalização composta, os juros sempre incidem sobre o VALOR FUTURO do último período (= Valor Presente + Juros) VF = VP. (1 + i) n Juros Compostos

16 Características dos Juros Compostos:  Valor crescente dos juros períodicos  Juros incidem sobre juros  Valor futuro cresce exponencialmente  Capitalização exponecial Valor Futuro Tempo Juros Compostos VP

17 Juros Compostos x Juros Simples Valor Futuro Tempo VP Juros simples maiores que compostos Juros compostos maiores que simples N = 1 Juros Compostos sempre superam Juros Simples?

18 Juros Compostos x Juros Simples JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS VPi n VFJ J 1001%0100,00000,0000 100,00000,0000 1001%0,1100,10000,1000 100,09960,0996 1001%0,2100,20000,2000 100,19920,1992 1001%0,3100,30000,3000 100,29900,2990 1001%0,4100,40000,4000 100,39880,3988 1001%0,5100,50000,5000 100,49880,4988 1001%0,6100,60000,6000 100,59880,5988 1001%0,7100,70000,7000 100,69900,6990 1001%0,8100,80000,8000 100,79920,7992 1001%0,9100,90000,9000 100,89960,8996 1001%1101,00001,0000 101,00001,0000 1001%1,1101,10001,1000 101,10051,1005 1001%1,2101,20001,2000 101,20121,2012 1001%1,3101,30001,3000 101,30191,3019 1001%1,4101,40001,4000 101,40281,4028 1001%1,5101,50001,5000 101,50371,5037 1001%1,6101,60001,6000 101,60481,6048 1001%1,7101,70001,7000 101,70591,7059 1001%1,8101,80001,8000 101,80721,8072 1001%1,9101,90001,9000 101,90851,9085 1001%2102,00002,0000 102,01002,0100 JS > JC JS = JC JS < JC

19  Considere uma operação de Empréstimo.  Valor atual (Valor Presente) na data zero igual a $100,00.  Taxa de Juros igual a 10% ao período.  Regime de capitalização composta Juros Compostos Outra forma de deduzir a fórmula dos Juros Compostos:

20 nJurosVFFórmula 0-100,00 VF = VP 110,00110,00 VF = VP + i.VP 10% x $100 211,00121,00 VF = VP + i.VP + (VP + i.VP).i 10% x $110 ni.VF n-1 VF n VF=VP. (1+ i) n Juros simples sempre incidem sobre valor futuro Juros Compostos

21 Exemplo 1: Júlia realizou uma aplicação de R$500,00 que foi capitalizada por oito meses a uma taxa composta igual a 5% a.m. Qual será o valor do resgate de Júlia? VF -500 8 meses 0 i = 5% a.m. VF = VP (1+i) n VF = 500 (1+0,05) 8 VF = R$ 738,73 Juros Compostos

22 Fórmulas Derivadas n Valor Presente (VP)

23 Juros CompostosFórmulas Derivadas n Taxa de Juros (i) n

24 Juros CompostosFórmulas Derivadas n Prazo de Capitalização (n) n

25 Fórmulas Derivadas Resumindo... Juros Compostos

26 Exemplo 2: Firmino precisará de R$1.200,00 em 10 meses. Quanto ele deverá aplicar hoje para ter a quantia desejada? Considere uma taxa composta igual a 5% a.m. 1.200,00 -VP 10 meses 0 i = 5% a.m. 1200 = VP (1+0,05) 10 VP = R$ 736,70 VF = VP (1+i) n Juros Compostos

27 Exemplo 3: Alípio aplicou R$8.000,00 por seis meses e recebeu R$3.030,00 de juros compostos. Qual a taxa mensal vigente na operação? 11.030,00 -8000 6 meses 0 i = ? 11030 = 8000 (1+i) 6 i = 5,50% a.m. i = [(11030 / 8000) 1/6 – 1] VF = VP (1+i) n Juros Compostos

28 Exemplo 4: Rommel realizou uma aplicação de R$9.000,00 a uma taxa composta igual a 6% a.m. que resultou em um valor futuro igual a R$12.770,00. Qual foi o prazo em meses dessa operação? 12.770,00 -9000 n=? 0 i = 6% a.m. 12770 = 9000 (1+0,06) n n = 6 meses n = [log (12770 / 9000)] / [log (1 + 0,06) VF = VP (1+i) n Juros Compostos

29 Exemplo 5: Vinícius aplicou $500,00 que capitalizou, no regime composto, por 24 meses a 8% a.a. Calcule o valor futuro da aplicação. -$500,00 0 24 VF Taxa anual !!! n em anos X 24 meses = 2 anos 2 anos VF = 500 (1+0,08) 2 VF = R$ 583,20 VF = VP (1+i) n Juros Compostos

30 Referências Bibliográficas SAMANEZ, C. P. Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Pearson, 2010 BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. Matemática financeira: aplicações com HP 12C e Excel. 5ª ed. São Paulo: Atlas, 2010

31 30/03/2011 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO Departamento de Ciências Ambientais e Tecnológicas Curso de Engenharia de Produção Até a próxima aula! Professor: Engº. Ms. Abraão Freires Saraiva Júnior abraaofsjr@gmail.com