Análise de Investimentos Tomada de Decisão em Projetos Industriais

Apresentação em tema: "Análise de Investimentos Tomada de Decisão em Projetos Industriais"— Transcrição da apresentação:

1 Análise de Investimentos Tomada de Decisão em Projetos Industriais
Capítulo 2

2 Matemática Financeira
Capitalização por Juros Simples e Compostos Capitalização Contínua Pagamentos Simples e Múltiplos Pagamentos Simples Pagamentos Múltiplos - Série Uniforme Série Gradiente Taxas de Juros Nominal e Efetiva Inflação e Taxa de Juros Taxa de Juros e Política Macroeconômica

3 Juros e Taxa de Juros “Juro (J) é a diferença entre o que foi emprestado no presente (P) e o que é cobrado no período de tempo futuro (F), quer seja ano, mês ou dia “Taxa de Juros (i) é definida como:” Quantifica a remuneração de capital Geralmente apresentada em % J = F - P (1) i = J /P = (F-P) / P (2); e J = P . i

4 Capitalização por Juros Simples
As parcelas adicionais são dadas por um valor proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação Combinando as equações onde P é o capital inicial; Jn = P.i.n; (3) F = P + Jn; (4) F é o capital disponível ou exi- gível no final do período n, ou montante; Jn são os juros acumulados até o final de n períodos de capitalização; F = P . ( 1+ i . n ) (5) n é o número de períodos capitalizados; e i é a taxa de juros empregada por período de capitalização.

5 Capitalização por Juros Simples - Exemplo
Qual o montante equivalente a R$ 100,00 capitalizados a 50% ao ano em cinco anos? Extrai-se do enunciado diretamente que P = 100, e i = 50% ao ano . É possível calcular diretamente: F = 100 × (1+0,50× 5) = R$ 350,00 De outra forma: J = P. i. n = 100× 0,50× 5 = 250 F = P + J = = 350 Note que os juros são iguais para todos os períodos!

6 Capitalização por Juros Compostos
Método mais empregado por instituições bancárias e financiadoras Juros são incorporados ao capital, e os juros para o próximo período calculados sobre o novo capital C1 = C0 + C0.i = C0.(1+i) C2 = C1+C1.i = [C0.(1+i)].(1+i) = C0.(1+i)2 onde C0 é o capital inicial; Cn = C0 .(1+i)n (6) Jn = C0 . [(1+i)n –1] (7) Cn é o capital disponível ou exigível no final do período n, ou montante; Jn são os juros acumulados até o final de n períodos de capitalização;

7 Capitalização por Juros Compostos - Exemplo
Qual o montante equivalente a R$ 100,00 capitalizados a 50% ao ano em cinco anos? Note que os juros em cada período eqüivalem a 50% do saldo devedor no início do mesmo período

8 Capitalização Contínua
Empregado em mercados financeiros e substituição de equipamentos Capitalização se dá de forma contínua, em intervalos infinitesimais de tempo Integrando a equação acima, obtemos: onde: dCt é o acréscimo do capital total entre t e t+dt; Ct é o capital total em t; i é a taxa de juros; e dt é o acréscimo infinitesimal de tempo. dCt = Ct.i.dt (8) onde: T é o tempo decorrido para capitalização; e é o número neperiano (2,718) CT = C0. ei.T (9)

9 Capitalização Contínua Exemplo
Dado um empréstimo de R$ 1.000,00 tomado com juros de 5% ao mês capitalizados continuamente ao longo do tempo, qual o montante equivalente para um mês à frente? E para 40 dias? Resolução: Aplicando a fórmula (9), tem-se para 30 dias: C30 = e(0,05 30/30) = e(0,05) = ,718(0,05) = ,051 = R$ 1.051,27 Para o período de 40 dias, a solução é análoga: C40 = e(0,05 40/30) = e(0,05 4/3) = 1.000. 2,718(0,067) = R$ 1.068,94

10 Regimes de Capitalização
Valor de um empréstimo de R$ 100,00 com juros de 50% a.a.

11 Diagramas Representativos de Fluxo de Caixa

12 Pagamentos Simples Diagrama de Fluxo de Caixa Fórmulas:
F = P.(1+i)n (10) P = F/(1+ i)n (11) C0 = Cn/(1+i)n (6*)

13 Pagamentos Múltiplos Série Uniforme
Diagrama de Fluxo de Caixa Fórmulas: P = A  [(1+i)n – 1 ] / [ i.(1+i)n ] (12) F = A  [ (1+i)n – 1 ] / i (13) A = F  i / [ (1+i)n – 1 ] (14) A = P [ i(1+i)n] / [ (1+i)n – 1] (15)

14 Exemplo - Pagamento Simples e Múltiplo
Um apartamento é vendido em 5 anos, com parcelas mensais de R$ 1.000,00. Para pagamento a vista, o total é de R$ ,00. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada será de 0,50% ao mês, qual a opção, se se dispõe do total a ser pago a vista? E se a taxa de juros fosse de 0,40% ao mês? Convertendo a série para o valor presente (P) só se necessita aplicar a fórmula (13), sabendo que n = 12 5 = 60 meses; i = 0,50% ao mês; e A = R$ 1.000,00. Aplicando a fórmula vem P = R$ ,26. Como R$ ,26 < R$ ,00, opta-se pela opção a prazo. Usando a taxa de juros de 0,40% ao mês, encontra-se P = R$ ,87 Como R$ ,87 > R$ ,00, opta-se pela compra a vista.

15 Série Gradiente É a série cujo valor anual cresce ou decresce de maneira uniforme ao longo dos anos A = G.{1/i-N/i.[i/{(1+i)n-1}]} (16) P = G.{1/i-N/i.[i/{(1+i)n-1}]}.{[(1+i)n-1]/[i.(1+i)n ] (17)

16 Taxa de Juros Nominal e Efetiva
Taxa de juros nominal anual com capitalização mensal Taxas efetivas são sempre maiores que as taxas nominais, pois a capitalização é feita a intervalos menores onde: i é a taxa de juros efetiva anual; r é a taxa de juros nominal anual; Mé o número de meses (de períodos de capitalização à taxa efetiva anual); (1+i)1 = (1+r/M)M (18) i = (1+r/M)M (19)

17 Taxa de Juros Nominal e Efetiva - Exemplo
Qual a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 12% a.a. com capitalização mensal? Taxa nominal: 12% ao ano (r) com capitalização mensal, ou seja M=12 (o ano tem 12 meses) Taxa efetiva mensal = r/M, ou seja, (12% a.a.) /12 meses por ano = 1% a.m. Taxa efetiva anual i = [1+(12%/12)]12-1 = 12,68% ao ano.

18 Inflação e Taxa de Juros
Relação entre índices de preços em dois períodos consecutivos Fundamental quando se avalia propostas em diferentes países Considere a seguinte situação: A inflação é dada por: I0 - Índice de Preços no período (0); I1 - Índice de Preços no período (1);  = I1 / I0 – 1  I1 / I0 = (1+ ) (20)

19 Inflação e Taxa de Juros
No caso de inflação nula (I1=I0), temos, entre dois períodos consecutivos: F = P. (1+i) Utilizando os índices de preço, desenvolvemos: Chamando i’ de taxa de juros inflacionada, temos: F/I1 = [P (1+ i )]/I0, ou F=[P (1+ i )] {I1/I0 } (21) F = P (1+ ) (1+ i ) (22) F = P(1+i’) (22a) (1+i’)=(1+i)(1+) (23) e i’={[(1+i)  (1+)]-1} (24)

20 ou “Inflação dos Juros”
Inflação - Exemplo Taxa real de juros: 10% a.a. Taxa de inflação 15% a.m. Qual a taxa inflacionada? A partir de (24), obtemos: i’ = {(1+0,10) . (1+0,15) - 1} = {(1,10) . (1,15) - 1 } = 1, = 26,5% a.a. Logo, a taxa inflacionada é de 26,5% a.a. De forma ilustrativa: 10% % + 10%.15% = 26,5% Taxa Inflacionada Juros reais Inflação “Juros da Inflação” ou “Inflação dos Juros”

21 Funções do Excel Pagamentos Simples (VP, VF e TAXA)
Pagamentos Múltiplos (VP, VF, TAXA e PGTO) Séries Genéricas e Gradientes (VPL) Taxa de Juros (NOMINAL, EFETIVO)

22 Função VP Retorna o valor presente dados uma série de pagamentos uniformes (e/ou) um valor futuro equivalente, uma taxa de juros e um número de períodos de capitalização

23 Função VF Retorna o valor futuro dados uma série de pagamentos uniformes (e/ou) um valor presente equivalente, uma taxa de juros e um número de períodos de capitalização

24 Função TAXA Retorna a taxa de juros, dados um valor presente e futuro e um número de períodos de capitalização

25 Função PGTO Retorna o pagamento uniforme, dados um valor presente e futuro e um número de períodos de capitalização

26 Função EFETIVO e NOMINAL
Retornam as taxas efetivas ou nominais através do número de períodos da composição e da taxa nominal ou efetiva

27 Função VPL Retorna o valor presente líquido, dada uma taxa de juros e uma série de pagamentos