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Prof. Cesário. 1 – QUEDA LIVRE Um corpo está em queda livre quando a única força que age sobre ele, é o peso. Na queda livre não se leva em conta a resistência.

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1 Prof. Cesário

2 1 – QUEDA LIVRE Um corpo está em queda livre quando a única força que age sobre ele, é o peso. Na queda livre não se leva em conta a resistência do ar. O movimento em queda livre é um movimento com uma aceleração constante a que é igual à aceleração da gravidade. (a = g = 9,8 m/s 2 ) Em queda livre, todos os corpos caem com a mesma aceleração. Isto significa que: se soltarmos um corpo de 0,1 kg e outro de 20 kg, de uma certa altura, ao mesmo tempo, eles atingirão o solo no mesmo instante. Para o movimento, sob a ação da gravidade, são válidas as mesmas equações do movimento uniformemente variado.

3 1 – Quanto tempo leva um bloco de 2,0 kg para cair de uma altura de 320 m? Considere g = 10 m/s 2. Solução: A massa não tem efeito na queda livre. São conhecidos: x = 320 m v 0 = 0 (o corpo é solto da altura citada) a = g = 10 m/s 2. Pedido: t (tempo) Equação: h = v 0 t + (1/2)at 2. Substituindo: 320 = 0.t + (1/2).10t = 5t 2 t = 8 s. Resposta: 8 s. 2 – Um objeto solto do alto de um edifício atinge o solo com uma velocidade de 30 m/s. De que altura caiu o objeto? (g = 10 m/s 2 ) Solução: dados: v = 30 m/s, v 0 = 0, a = 10 m/s 2. Pedido: x Equação: v 2 = v g. x 30 2 = x x = 45 m. 3 – Para medir a profundidade de um poço artesiano, um aluno do Curso de Engenharia imaginou o seguinte procedimento: no momento em que soltava uma pedra ele ligaria o cronômetro, e no instante em que ouvisse o som da pedra atingindo o fundo do poço ele desligaria o cronômetro. Suponha que este procedimento tenha se efetivado e que o tempo gasto para ouvir o som da pedra foi de 1,89 s, qual é a profundidade do poço se a velocidade do som é 340 m/s? Exemplos:

4 Solução: sejam t p o tempo gasto para a pedra atingir o fundo do poço e t s o tempo gasto para o som retornar. t p + t s = 1,89 s (1) x = (1/2)gt p 2 = v s.t s 5t p 2 = 340t s (2) Substituindo t s = 1,89 – t p de (1) em (2), resulta: 5t p 2 = 340(1,89 – t p ). Resolvendo a equação obtém-se t p = 1,84 s (a outra raiz é negativa). Assim, t s = 1,89 – 1,84 = 0,05 s. x = 340 x 0,05 = 17 m. Resposta: 17 m. 2 – LANÇAMENTO PARA CIMA No lançamento para cima a velocidade reduz uniformemente na razão de 9,8 m/s 2 (a = - 9,8 m/s 2 ). Continuam válidas as equações do movimento uniformemente variado. Nesse tipo de movimento podem ser observadas as propriedades: 1ª - a velocidade no ponto mais alto da trajetória é nula. 2ª - a velocidade de um móvel ao passar por um ponto na subida é, em módulo, igual à velocidade ao passar pelo mesmo ponto na descida.

5 3ª - O tempo gasto para percorrer certo trecho na subida é igual ao tempo gasto para percorrer o mesmo tempo na descida. 4ª - A equação x = v 0 t + (1/2)at 2, fornece a altura em que o móvel se encontra no instante t e não a distância efetivamente percorrida. Exemplo: se o móvel subiu 20 m e desceu 4 m, x = 16 m (altura em que se encontra). EXERCÍCIOS 1 - Um objeto é lançado verticalmente para cima de uma base com velocidade v = 40 m/s. Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s 2 e desprezando-se a resistência do ar, quanto tempo que o objeto leva para voltar à base da qual foi lançado? Resposta: 8 s 2 - Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima, com velocidade inicial de 30 m/s. Desprezando a resistência do ar e admitindo g = 10m/s 2, calcular: a) o tempo gasto pelo corpo para atingir a altura máxima; b) a altura máxima atingida em relação ao solo; c) o tempo gasto pelo corpo para retornar ao solo. d) a velocidade ao chegar ao solo. Respostas: (a) 3 s; (b) 45 m; (c) 6 s; (d) 30 m/s

6 3 - Um jogador de beisebol imprime uma velocidade V 0 = 29,4 m/s a uma bola, que sobe verticalmente. Que altura máxima a bola atingirá? Adote g = 9,8 m/s 2. Resposta: 44,1 m. 4 – Lucas lançou um pedra do alto de edifício de 40 m, uma pequena esfera com velocidade de 10 m/s. No mesmo instante soltou outra. A que altura estará a segunda esfera quando a primeira atingir o solo? Resposta: 20 m. 5 - Uma cachoeira tem uma altura de 320m. Desprezando a resistência do ar e adotando g=10m/s 2. determine a velocidade da água na base cachoeira. 6 – Uma pedra é lançada para cima com velocidade de 60 m/s no mesmo instante em que outra é solta de uma altura de 120 m. Sendo g = 10 m/s2, que altura as duas vão colidir? Resposta: 100 m. 7 – Uma bola de borracha, ao bater no solo repica e volta com uma velocidade de 60% da velocidade de choque. Se essa bola é solta de uma altura de 45 m, que altura irá alcançar após a terceira batida? Resposta: 23,328 m. 8 – Uma ponte está a 45 m acima de uma estrada. Se você está na estrada e deseja jogar um objeto para que seu colega que está na ponte possa pegar, qual deve ser a velocidade mínima com que você deve lançá-la? (g = 10 m/s 2 ) Resposta: 30 m/s.

7 3 – LANÇAMENTO HORIZONTAL Quando se lança um corpo horizontalmente, ele cai, ao mesmo tempo em que avança na horizontal. Observe que a bola lançada horizontalmente leva o mesmo tempo para atingir o solo que a bola solta na vertical. O movimento da bola lançada na horizontal pode ser considerado como a combinação de dois movimentos: um horizontal, com velocidade constante e outro vertical semelhante ao da bola que cai verticalmente. v v0v0 vyvy Ao fim de um tempo t, a componente horizontal da velocidade é v 0, enquanto que a componente vertical será v y = gt. Portanto, a velocidade da bola no instante t é v = v o 2 + (gt) 2. Quanto à posição teremos: x = v 0 t e y = -(1/2)gt 2

8 EXERCÍCIOS 1 - Uma bola de pingue-pongue rola sobre uma mesa com velocidade constante de 2m/s. Após sair da mesa, cai, atingindo o chão a uma distância de 0,80m dos pés da mesa. Adote g= 10 m/s², despreze a resistência do ar e determine: a) a altura da mesa. b) o tempo gasto para atingir o solo. Respostas: (a) 0,80 m; (b) 0,4 s. 2 – Uma pedra é lançada horizontalmente por um moleque do alto de uma árvore de 7,2 m com velocidade de 5 m/s. A que distância da árvore a pedra irá cair? Resposta: 6 m. 3 - Um avião, em vôo horizontal, está bombardeando de uma altitude de 8000 m um destróier parado. A velocidade do avião é de 504 km/h. De quanto tempo dispõe o destróier para mudar seu curso depois de uma bomba ter sido lançada ? (g = 10 m/s 2 ). Resposta: 40 seg. 4 – A que distância horizontal, o avião da questão anterior deve soltar a bomba para atingir o destróier? Resposta: 5,6 km. 5 - De um ônibus que trafega numa estrada reta e horizontal com velocidade constante de 20 m/s desprende-se um parafuso, situado a 0,80 m do solo e que se fixa à pista no local em que a atingiu. Tomando-se como referência uma escala cujo zero coincide com a vertical no instante em que se inicia a queda do parafuso e considerando-se g = 10 m/s 2, determine, em m, a que distância este será encontrado sobre a pista. Resposta: 8 m.

9 4 – LANÇAMENTO OBLÍQUO Observe o movimento das duas esferas. A cada instante as duas estão à igual altura. A esfera da esquerda apresenta um movimento de sobe e desce cujo estudo foi feito no item anterior. A esfera da direita, descreve um movimento vertical igual ao da outra, enquanto apresenta um deslocamento horizontal com velocidade constante. É fundamental notar que as duas chegam ao topo e depois ao solo No mesmo momento.

10 (x, y) x y v0v0 vxvx v0yv0y Sejam v 0 a velocidade de lançamento e o ângulo que v 0 forma com o eixo horizontal. As componentes de v 0 são: v x = v 0.cos e v y0 = v 0. sen No instante t, a posição da esfera será: x = v 0.cos.t pois a componente horizontal da velocidade é constante. y = v 0 sen.t – (1/2)gt 2 o movimento vertical é o de um corpo que sobe e desce. Substituindo t da primeira equação na segunda, obtém-se a equação da trajetória: y = x.tg - (1/2)g. x 2 (v 0 cos ) 2

11 x y v0v0 (x, y) H A Altura máxima: H = (v 0.sen ) 2 /2g Alcance: A = v 0 2.sen 2 /g Alcance máximo. O alcance será máximo quando = 45º. A max = v 0 2 /g. Tempo de vôo t = 2.v 0 sen /g

12 Um problema de balística: Suponha que se deseje atingir um alvo a 8000 m de distância usando um canhão que lança um projétil com velocidade de 400 m/s. Existe porém um obstáculo a 1000 m de distância com altura de 500 m. Qual deve ser o ângulo de lançamento? 8000 = sen 2 /10 Sen 2 = (8000 x 10)/ = 0,50 2 = 30º ou 2 = 150º = 15º ou 75º Usaremos g = 10 m/s 2. A = v 0 2.sen 2 /g Da fórmula: Vejamos se o projétil ultrapassa o alvo. A altura dele, a 1000 m de distância, deverá ser maior que 500 m. Usando x = 1000 m, v 0 = 400 m/s, calculemos y usando a equação da trajetória: y = x.tg - (1/2)g. x 2 (v 0 cos ) 2 Para 15º, y = 234 m < 500 m Para 75º, y = 3265 m > 500 m. O que mostra que o ângulo de lançamento deverá ser de 75º.

13 VAMOS MATAR UM MACACO DE SUSTO?

14 Matando macaco a susto No momento em que o tiro sai, o macaco cai do galho, mas não foge do projétil. O projétil é lançado na direção do macaco.

15 Em câmera lenta.

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