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1 Revisão do conceito de matrizes Pesquisa Operacional Prof(a) Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães

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Apresentação em tema: "1 Revisão do conceito de matrizes Pesquisa Operacional Prof(a) Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães"— Transcrição da apresentação:

1 1 Revisão do conceito de matrizes Pesquisa Operacional Prof(a) Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães

2 2 Tema da aula 02 Pesquisa Operacional: Álgebra Linear – revisão de matrizes.

3 3 Matrizes - conceituação A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa: QuímicaInglêsLiteraturaEspanhol A8798 B6676 C4859 Para saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.

4 4 Matrizes - conceituação Representação matricial das notas do exemplo anterior. Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela temos, portanto, uma matriz de dimensão 4 x 4.

5 5 Matrizes - conceituação Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita.

6 6 Matrizes - conceituação Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por: ou, abreviadamente, A = [a ij ] m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz notas, a33 é o elemento da 3ª linha e da 3ª coluna (aluno C, Literatura, nota 5).

7 7 Matrizes - conceituação Representar a matriz A (2 x 3) conforme a equação aij = 2i + j. : a 11 = a 21 = a 11 = 3 a 21 = 5 a 12 = a 22 = a 12 = 4 a 22 = 6 a 13 = a 23 = a 13 = 5 a 23 = 7

8 8 Soma de matrizes O resultado da soma será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais. Duas matrizes podem ser adicionadas se e somente se elas forem da mesma ordem. Soma de matrizes = somar seus elementos individualmente. Simbolicamente, temos que, se C = A + B, então cij = aij + bij, para todo i e j.

9 9 Soma de matrizes Exemplo: Somar: A + B; C + A; B + C e A + D. A + D não pode ser efetuada pois as dimensões são diferentes.

10 10 Subtração de matrizes O resultado da subtração será uma matriz com a mesma dimensão das matrizes originais. Duas matrizes podem ser subtraídas se e somente se elas forem da mesma ordem. Subtração de matrizes = subtrair seus elementos individualmente. Simbolicamente, temos que, se C = A - B, então cij = aij - bij, para todo i e j.

11 11 Subtração de matrizes Uma matriz pode ser multiplicada por um escalar, multiplicando-se cada elemento da matriz por este escalar.

12 12 Subtração de matrizes Subtração entre duas matrizes é equivalente a somar a primeira com o produto da segunda pelo escalar -1. Então E - F = E + (-F). Por exemplo. F multiplicada por -1

13 13 Subtração de matrizes Exemplo:

14 14 Produto de duas matrizes O produto de duas matrizes tem o número de linhas da matriz à esquerda e o número de colunas da matriz à direita. Ou seja, sendo C = AB, se A é m x n e B é n x p, C é m x p. O produto de duas matrizes somente pode ser efetuado se o número de colunas da matriz à esquerda for igual ao número de linhas da matriz à direita. O produto de matrizes é, em geral, não comutativo, ou seja, dadas duas matrizes A e B e seu produto, AB, o produto BA pode não existir e, se existir, pode não ser igual a AB.

15 15 Produto de duas matrizes Exemplo:

16 16 Produto de duas matrizes Exemplo:

17 17 Produto de duas matrizes Exemplo:

18 18 Produto de duas matrizes Exemplo:

19 19 Produto de duas matrizes Exemplo:

20 20 Produto de duas matrizes Exemplo:

21 21 Produto de duas matrizes Exemplo:

22 22 Produto de duas matrizes Exemplo:

23 23 Produto de duas matrizes Da definição, temos que a matriz produto A. B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B: A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n): Colunas de A diferente Linhas de B

24 24 Exercícios propostos Sejam as matrizes:

25 25 Exercícios propostos Sejam as matrizes:

26 26 Memória de aula 1.Conceitue uma matriz. 2.Quais são regras para adição e subtração de matrizes? 3.Como podemos subtrair duas matrizes utilizando um produto escalar? 4.Quais são regras para produto de matrizes? 5.Posso efetuar o produto da matriz A 3x2 e B 2x5 ? 6.Posso efetuar o produto da matriz A 3x3 e B 2x2 ? Justifique sua resposta.

27 27 Bibliografia indicada ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para a análise de decisão. Rio de Janeiro: Editora LTC, pg. 244 a 248 LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, versão digital disponível na Internet (http://www.ericolisboa.eng.br).http://www.ericolisboa.eng.br


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