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Teoria das carteiras Risco e Aversão ao Risco Risco e Aversão ao Risco Distribuição do Capital entre Activos com Risco e Activos sem Risco Distribuição.

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1 Teoria das carteiras Risco e Aversão ao Risco Risco e Aversão ao Risco Distribuição do Capital entre Activos com Risco e Activos sem Risco Distribuição do Capital entre Activos com Risco e Activos sem Risco Carteiras Óptimas com Risco Carteiras Óptimas com Risco

2 O processo de investimento consiste em duas tarefas: O processo de investimento consiste em duas tarefas: Segurança e análise de dados do mercado; Formação de uma carteira óptima de activos. Risco e aversão ao risco

3 W 1 = 150 W 2 = 80 p =.6 1-p =.4 W= 100 Inv. com Risco T-bills Prémio de Risco = 17 E[w] = pw 1 +(1-p)w 2 = 122,000 E[w] = pw 1 +(1-p)w 2 = 122,000 σ 2 = p[w 1 -E[w]] 2 +(1-p)[w 2 -E[w]] 2 σ 2 = p[w 1 -E[w]] 2 +(1-p)[w 2 -E[w]] 2 = 1,176,000,000 = 1,176,000,000 σ = 34,292,86 σ = 34,292,86 Risco Numa Perspectiva Simples Lucro Risco e aversão ao risco

4 GenéricamenteGenéricamente n E[r] = Pr(s)r(s) s=1 n 2 = Pr(s)[r(s)-E[r]] 2 s=1 REGRA 1 REGRA 2 Risco e aversão ao risco

5 Variância ou Desvio Padrão Retorno Esperado domina 1 2 domina 3 4 domina 3 ; tem maior retorno ; tem maior risco ; tem maior retorno Principio da Dominância Risco e aversão ao risco

6 Tipos de Investidores: Tipos de Investidores: Avessos ao Risco Neutros ao risco Jogadores Risco e aversão ao risco ESPECULAÇÃO JOGO /

7 Aversão ao Risco e Utility Value Curva de indiferença U = E[r p ]-.005A 2 U – Utility value A - Aversão E[r] E[r d ] p Risco e aversão ao risco

8 Investir em activos para reduzir o risco da carteira é chamado hedging. Investir em activos para reduzir o risco da carteira é chamado hedging. Consideremos o problema da Humanex, uma organização sem lucro em que a maior parte do seu rendimento provém do retorno de doações. Anos atrás, os fundadores da Best Candy deram acções da sua empresa à Humanex com a condição de não as poder vender. Este bloco de acções é agora de 50% do dote da Humanex. A Humanex é livre de escolher onde investir o resto de sua carteira. Consideremos o problema da Humanex, uma organização sem lucro em que a maior parte do seu rendimento provém do retorno de doações. Anos atrás, os fundadores da Best Candy deram acções da sua empresa à Humanex com a condição de não as poder vender. Este bloco de acções é agora de 50% do dote da Humanex. A Humanex é livre de escolher onde investir o resto de sua carteira. Risco da carteira

9 O valor das acções da Best Candy é sensível ao preço do açúcar. À anos atrás quando a Caribbean Sugar faliu, o preço do açúcar aumentou significativamente e a Best Candy perdeu perdas consideráveis. A fortuna da Best Candy é descrita pela seguinte análise: Ano normal do açúcar Ano Anormal do açúcar Tendência de subida do mercado Tendência de descida do mercado Crise do açúcar Probabilidade Taxa de retorno 25%10%-25% Risco da carteira

10 Humanex Humanex Com vista a reduzir o risco a Humanex investiu a parte restante do seu dote em T-bills, que garantem uma taxa restante do seu dote em T-bills, que garantem uma taxa de retorno de 5%. de retorno de 5%. E[r Humanex ] = 0.5E[r Best ] + 0.5r bills = (0.5*10.5) + (0.5*5) =7.75% =7.75% Humanex = 0.5 Best bills = 0.5* *0 = 9.45% Humanex = 0.5 Best bills = 0.5* *0 = 9.45% Risco da carteira

11 Ano normal do açúcar Ano Anormal do açúcar Tendência de subida do mercado Tendência de descida do mercado Crise do açúcar Probabilidade Taxa de retorno 1%-5%35% Risco da carteira E[r Sugar Kane ] = 6% Sugar Kane = 14.73% Sugar Kane

12 Carteira Retorno Esperado Desvio Padrão Tudo em Best Candy 10.50%18.90% Metade em T-Bills 7.575%9.45% Metade em Sugar Kane 8.25%4.83% Os números são expressivos. A Carteira Sugar Kane domina a estratégia simples da redução do risco de investir nos seguros T-bills. Este exemplo demostra que as acções que estão inversamente Este exemplo demostra que as acções que estão inversamente relacionadas são as mais poderosas redutoras de risco. Risco da carteira Sally

13 Cov[r Best,r Sugar ] Cov[r Best,r Sugar ] Best Sugar Kane Cov[r Best,r sugar ]= Pr(s)[r Best (s)-E[r Best ]] * [rSugar (s)-E[r Sugar ]] s (Best,Sugar Kane) = (Best,Sugar Kane) = Risco da carteira Quantificação do poder de diversificação

14 DISTRIBUIÇÃO DE CAPITAL ENTRE ACTIVOS COM E SEM RISCO Investir num activo sem risco é mais seguro Investir num activo com risco pode implicar um lucro bem mais generoso Então, ONDE INVESTIR ??? ONDE INVESTIR ???

15 TUDO ou NADA ? => Distribuir o capital entre os activos com e sem risco MAS QUAL SERÁ O PESO DO INVESTIMENTO EM CADA ACTIVO ? Distribuição de capital entre activos com e sem risco

16 Movimentação de Valores Carteiras Activos 25% 75% 40% 55% 60% 45% Distribuição de capital entre activos com e sem risco

17 Activos sem risco Obrigações de Tesouro Obrigações de Tesouro Certificados do Banco de Depósitos Certificados do Banco de Depósitos Papel Comercial Papel Comercial Activos sem risco

18 Formulário Taxa de retorno da carteira global r C = yr p + (1 – y)r f Valor esperado da taxa de retorno da carteira global E(r C ) = r f + y(E(r p ) – r f ) Desvio padrão da carteira global C = y p Carteiras de um activo com risco e um activo sem risco

19 Exemplo Numérico Vamos tomar os seguintes valores: E(r p ) = 15 % ; p = 22 % ; r f = 7 % Temos então que o Risco de Prémio será: RP = 15 % - 7 % = 8 % e y = C /22 vindo que o valor esperado procurado será: E(r C ) = r f + y(E(r p ) – r f ) = 7 + (8/22) C O valor esperado de retorno de uma carteira global, como função do seu desvio padrão, é uma recta cujo declive será: S = (E(r p ) – r f ) / p = 8/22 Distribuição de capital entre activos com e sem risco

20 Gráfico de combinações Retorno Esperado/Desvio Padrão E(r) CAL r f = 7 P S1S1 } Prémio de risco S2S2 Distribuição de capital entre activos com e sem risco

21 Tolerância ao risco e distribuição de activos Como já vimos: U = E(r) – 0,005A 2 O investidor procura maximizar o nível de utilidade. Temos então que : Max U = E(r C ) – 0,005A 2 C y = r f + y(E(r p ) – r f ) – 0,005A y 2 2 p Resolvendo este problema de maximização vem que: E(r p ) – r f 0,01A 2 p y* = Tolerância ao risco e distribuição do activo

22 Voltando ao exemplo numérico, consideremos um investidor com um grau de aversão 4, isto é, A = 4. Temos então que: y* = (15 – 7) / (0,01*4*22 2 ) = 0,41 Vindo, E(r C ) = 7 + 0,41*(15 – 7) = 10,28 % e C = 0,41*22 = 9,02 % O prémio de risco seria: PR = 10,28 – 7 = 3,28 % Tolerância ao risco e distribuição do activo

23 E(r) r f = 7 P A = 2 A = 4 Certainty Equivalent diferente para dois investidores diferentes Tolerância ao risco e distribuição do activo

24 Solução gráfica para uma decisão de carteira E(r) CAL rfrf P E(r f ) 0 E(r C ) p C C Distribuição de capital entre activos com e sem risco

25 Estratégias Passivas Uma estratégia activa não é grátis Uma estratégia activa não é grátis Benefício livre Benefício livre Estratégias passivas: Recta de mercados de capitais

26 Carteiras óptimas com risco

27 n n Risco Único Risco do Mercado Diversificação Risco ÚnicoRisco de Mercado Diversificação e risco de uma carteira

28 Carteira de dois activos com risco Retorno esperado Desvio Padrão Covariância Coef. de correlação Bonds Acções 8% 13% 12% 20% 72 0,30 r p = w d r d + w e r e E(r p ) = w d E(r d ) + w e E(r e ) Carteiras de dois activos com risco

29 Proporção na carteira wdwd wewe Covariâncias wdwd wdwd 2 d Cov(r d, r e ) 2 e 2 p = w 2 e 2 e + w 2 d 2 d + 2w e w d Cov(r e, r d ) NOTA: Cov(r e, r e ) = 2 e ; Cov(r d, r d ) = 2 d Matriz de covariância Carteiras de dois activos com risco Cov(r d,r e ) = cov(r e,r d )

30 = -1 = 0 = 1 ( w d d - w e e ) 2 w 2 e 2 e + w 2 d 2 d ( w e e + w d d ) 2 | w e e - w d d | w 2 e 2 e + w 2 d 2 d w e e - w d d Variância da carteiraDesvio Padrão da carteira Cov(r e,r d ) = ed e d 2 p = w 2 e 2 e + w 2 d 2 d + 2w e w d ed e d Influência do coeficiente de correlação Carteiras de dois activos com risco

31 Como escolher as proporções do activo de forma a criar uma posição perfeita de hedging ? = -1 e e + d w d = d d + e w e == 1 - w d Carteiras de dois activos com risco

32 Retorno esperado em função das proporções dos investimentos E[r(carteira)] 13% 8% Fundo de Acções Fundo de bonds -0,5 0,01,02,0 1,51,00,0-1,0 wewe wdwd Carteiras de dois activos com risco

33 -0,50,0 0,5 1,0 1,5 1,0 0,5 0,0 -0,5 Desvio Padrão da carteira wewe wdwd =-1 =0 =0,3 =1 Relação desvio padrão e proporção dos investimentos Carteiras de dois activos com risco

34 No nosso caso e -Cov(r e,r d ) e + d -2Cov(r e,r d ) w Min (D)= 20 2 – – 2x72 = = 0,82 w Min (E) = 1 - 0,82 =0,18 Min (P) = [0,82 2 x ,18 2 x x0,82x72] ½ = 11,45% Carteiras de dois activos com risco

35 Carteira óptima com dois activos com risco e um activo sem risco Considere-se duas carteiras A e B, sendo A a carteira de variância mínima: Carteira A AcçõesBonds 18%82% 30%70% Então temos que: E(r A ) = 8,9% A = 11,45% E(r B ) = 9,5% B = 11,7% Considere-se Treasury-Bills com r = 5%. Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills

36 Desvio Padrão da carteira E[r] 13% 8% =-1 =0 =0,3 =1 Relação Retorno/Risco Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills

37 Os reward-to-variability ratio das CALs considerando, as carteiras A e B, respectivamente, e T-bills são: E(r A ) – r f A S A = = 8, ,43 = 0,34 9, ,7 = 0,38 S B = S B > S A Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills A B E E[r]

38 Determinação da CAL tangente Resolução do problema: Maximizar S p Função objectivo: E(r p ) – r f p S p = Restrição: w i = 1 No caso de 2 activos com risco, a solução para w d e w e é: [E(r d )-r f ] 2 e – [E(r e ) – r f ]Cov(r d, r e ) [E(r d ) – r f ] 2 e + [E(r e -r f ] 2 d – [E(r d ) – r f + E(r e ) – r f ]Cov(r d, r e ) w d = vindo, w e = 1 - w d Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills

39 Construção da carteira óptima com risco P (8-5)x400 – (13-5)x72 (8-5)x400 + (13-5)x144 – ( )x72 w p = =0,4 ; w e = 0,6 E(r)CAL Opportunity D E (acções) P E(r p ) = 11% r f = 5% p = 14.2% Set (Bonds) Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills

40 Como utilizar o nível individual de aversão ao risco ? Por exemplo, para A = 4, vem que: (E(r p ) – r f ) 0,01A 2 p y == ,01x4x14,2 2 = 0,7439 O investidor deverá, então, investir: 74,39% carteira com risco P 25,61% T-Bills ATENÇÃO: carteira com risco P é constituída por 40% de bonds e 60% de acções, logo yw d = 0,4x0,7349 = 0,2976 yw e = 0,6x0,7349 = 0,4463

41 E(r) CAL Opportunity Set D E (acções) P 11% 5% 14.2 C (Bonds) Carteira óptima Completa Curva da indiferença Carteira Óptima com risco Determinação gráfica da carteira óptima completa Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills

42 Caso Geral n i ii P rEwrE 1 Retorno esperado da carteira P: Desvio Padrão da carteira P: n ji i n j j i j i n i ii P rrCovwww , - n estimativas de E(r i ) - n estimativas das 2 i - n(n-1) estimativas das covariâncias 2 Modelo de selecção de carteiras de Markowitz

43 Fronteira de Eficiência E(r) E(r 1 ) E(r 2 ) E(r 3 ) A B C Modelo de selecção de carteiras de Markowitz

44 Distribuição de capitais e propriedades de separação Introdução do activo sem risco E(r) CAL(P) P F CAL(B) CAL(A) Modelo de selecção de carteiras de Markowitz

45 Q Investidor mais averso ao risco S Investidor mais tolerante ao risco P E(r) Fronteira eficiente de activos com risco Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco

46 Investidores que podem emprestar sem risco, mas que estão proibidos de pedir emprestado P B Q E(r) A F rfrf CAL Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco

47 Investidores que podem pedir emprestado P1P1 P2P2 E(r) rfrf F CAL 1 CAL 2 Fronteira eficiente A Investidores na defensiva rBfrBf Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco

48 P2P2 E(r) rBfrBf CAL 2 Fronteira eficiente B Investidores mais agressivos Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco rfrf

49 Investidores intermédios E(r) rfrf rBfrBf P2P2 P1P1 C Fronteira eficiente CAL 1 CAL 2 Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco


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