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Teoria da Produção e do Custo Tratamento Algébrico.

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Apresentação em tema: "Teoria da Produção e do Custo Tratamento Algébrico."— Transcrição da apresentação:

1 Teoria da Produção e do Custo Tratamento Algébrico

2 Considerando dois insumos, o capital, K, e o trabalho, L, a função de produção descreverá a maior produção que pode ser obtida com as combinações destes insumos Produto Marginal do Capital Ou seja, iremos supor que ambos insumos possuem produtos marginais positivos e declinantes Produto Marginal do Trabalho

3 Uma empresa competitiva aceita os preços estipulados para o trabalho, w, e o capital, r Problema da minimização do custo sujeito à restrição de que um nível de produção deve ser atingido (1) (2) Para maximizar uma função sujeita a uma restrição utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange O lagrangiano do problema é (3)

4 Efetuando os diferenciais em relação a K, L e e igualando as derivadas a zero, encontramos Combinando as duas primeiras equações acima, obtemos (4) Combinando estas mesmas equações de outra forma, obtemos o multiplicador de Lagrange (5) (6) Medem o custo do insumo adicional para a produção de uma unidade adicional de produto

5 Taxa Marginal de Substituição Técnica representa uma isoquanta de produção À medida que as combinações de insumos variam ao longo da isoquanta, a variação de produção iguala-se a zero ( ) (7) Reordenando a equação 7, definimos a TMST Reescrevendo a equação 5 como observamos que a TMST é igual a razão entre os preços dos insumos (8) (9)

6 Reescrevendo 9 de outra forma, temos novamente a equação 5 que nos diz que os produtos marginais de todos os insumos devem ser iguais, quando ponderados pelo inverso do custo unitário de cada insumo (5) Dualidade na Teoria da Produção e do Custo A decisão da empresa em relação a insumos é de natureza dual Combinação ótima de K e L Escolha da mais baixa linha de isocusto tangente à isoquanta de produção Escolha da mais alta isoquanta de produção tangente a uma determinada linha de isocusto

7 Já fizemos a minimização do custo. Agora vamos à maximização da produção sujeito à restrição O lagrangiano é Efetuando os diferenciais em relação a K, L e e igualando as derivadas a zero, encontramos (10) (11) (12)

8 Resolvendo as duas primeiras equações do sistema, obtemos (5) que é exatamente a condição de minimização de custo Função Cobb-Douglas de Custo e Produção ou, em logaritmos, Supomos que de forma que a empresa tenha produtos marginais decrescentes para trabalho e capital Por exemplo, se o produto marginal do trabalho é expresso por a apresenta diminuição à medida que L aumenta

9 Supondo que a função de produção de uma empresa é Mantendo o capital fixo em 9 unidades a produtividade marginal do trabalho será podemos verificar que a produtividade marginal do trabalho é decrescente

10 Serendimentos constantes de escala rendimentos crescentes de escala rendimentos decrescentes de escala Exemplos Empresa Pequena: Como a empresa possui rendimentos constantes de escala Empresa Grande: Como a empresa possui rendimentos crescentes de escala

11 Para minimizar o custo de produção de uma função Cobb- Douglas, sujeita a uma restrição, utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange O lagrangiano é (13) Diferenciando em relação a K, L e e igualando as derivadas a zero, encontramos (14) (15) (16) A partir da equação 14, temos (17)

12 Substituindo a equação 17 na equação 15, obtemos (18) (19) ou então (20) Utilizando a equação 19 para eliminar L da equação 16 (21) Reescrevendo esta equação, temos Assim, encontramos a quantidade ótima de capital e a quantidade ótima de trabalho (22) (23)

13 (24) Agora vamos determinar a função de custo da empresa Substituindo as equações 22 e 23 em Esta função de custo informa como o custo total da produção aumenta à medida que o nível de produção Q aumenta como o custo varia quando variam os preços dos insumos Quando for igual a 1, a equação 24 pode ser simplificada para (25) Fonte: R. Pindyck & D. Rubinfeld, Microeconomia, 5 a Edição


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