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COLÉGIO FAMÍLIA STELLA GRUPO DE ESTUDOS AVANÇADOS - GEA A APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NOS PROBLEMAS DE FÍSICA CLÁSSICA PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO.

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1 COLÉGIO FAMÍLIA STELLA GRUPO DE ESTUDOS AVANÇADOS - GEA A APLICAÇÃO DAS DERIVADAS NOS PROBLEMAS DE FÍSICA CLÁSSICA PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site:

2 Noções de Função e Derivada Noções de Função Definição: se uma variável y depende de outra variável x, de tal forma que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x. Exemplo Entrada x Saída y função PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site:

3 xy PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

4 EXEMPLOS: PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

5 Seja a posição x de um móvel em MRUV em função do tempo t dada pela equação Então, a posição do móvel no instante t = 1,0 s é PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

6 Função Linear: a x y x0x0 y0y0 (x 0,y 0 ) (x 1,y 0 ) y1y1 x1x1 x 1 -x 0 y 1 -y 0 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

7 com a = y 0 – mx 0 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

8 a x y PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

9 NOCÕES DE DERIVADA - Origens do Cálculo -KEPLER, GALILEU, SIMON STEVIN, PIÈRRE DE FERMAT, RENÉ DESCARTES, BLAISE PASCAL.... Gottfried Wilhelm Leibnz (1646 – 1716) CRIADOR DO CÁLCULO Isaac Newton (1642 – 1727) PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

10 O PROBLEMA DOS MATEMÁTICOS Como traçar a reta tangente a uma curva dada num determinado ponto das curva? tangente Circunferência raio P 1 – A tangente em P é uma reta que passa por P, perpendicularmente ao raio por esse mesmo ponto. 2 – A tangente em P é a reta que só toca a circunferência neste ponto PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

11 OUTRAS CURVAS: PROBLEMAS! P Qual o raio? P Tangente? P Tangente. Mas toca duas vezes a reta PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

12 x y y = f(x) x f(x+ x)-f(x) Logo, a secante m sec é dada por PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada secante P Definindo a tangente em P: x f(x) Q x+ x f(x+ x)

13 x y = f(x) P Definindo a tangente em P: x f(x) Q x+ x f(x+ x) x f(x+ x)-f(x) Q1Q1 secante y PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

14 x y y = f(x) P Definindo a tangente em P: x f(x) Q x+ x f(x+ x) x f(x+ x) - f(x) Q1Q1 secante Q2Q2 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

15 A tangente m tang é definida por P x f(x) Q tangente em P f(x+ x) x+ x secante PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

16 PROBLEMA DOS FÍSICOS: Como calcular a velocidade instantânea? Seja x(t) a posição de uma partícula em função do tempo t. t x(t) PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

17 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada t x(t) P t0t0 x(t 0 ) x(t 0 ) = posição da partícula no instante t 0 t 0 + t Q x(t 0 + t) x(t 0 + t) = posição da partícula no instante t 0 t x

18 Qual a velocidade (instantânea) v(t) no instante t? t x(t) P t0t0 x(t 0 ) t x t 0 + t Q x(t 0 + t) Paradoxo do Zenão de Eléia PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

19 DEFINIÇÃO DE DERIVADA A derivada de uma função f é a função f´ tal que o seu valor em qualquer número x do domínio de f seja dado por se este limite existir Uma função derivável em um ponto pode ser não-derivável em outro!!!! PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

20 Duas Interpretações: 1- A derivada f´ de uma função é uma função cujo valor em x é a inclinação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) em x. 2 – A derivada f´ é uma função cujo valor em x é a taxa instantânea da variação de y com relação a x no ponto x. Exemplos : PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

21 t x(t) t0t0 v(t 0 ) v(t 0 ) 0 t1t1 v(t 1 ) v(t 1 )= 0 t2t2 v(t 2 ) v(t 2 ) 0 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

22 Exemplo usando a definição: calcule a derivada da função f(x) = 3+x 2 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

23 ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO Regra da Constante: para qualquer constante c x y c y = c Inclinação = 0 Regra da Potência: para qualquer número real n PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

24 Regra da Multiplicação por uma Constante:se c é uma constante e f(x) é uma função derivável no ponto x, cf(x) também é uma função derivável e Exemplo: seja PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

25 Regra da Soma: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no ponto x, a soma s(x) = f(x) + g(x) também é derivável. Exemplo: seja a função f(x) = 10 g(x) = 4t h(x) = -5t 2 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

26 Regra da Produto: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no ponto x, o produto P(x) = f(x). g(x) também é derivável. Exemplo: seja a função f(x) = x 2 g(x) =3x+1 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

27 Regra da Quociente: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis no ponto x, o quociente P(x) = f(x) / g(x) também é derivável. Exemplo: seja a função PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

28 Regra da Cadeia: se g(x) for derivável em x e a função f for derivável em g(x), então a função composta f o g será derivável em x, e Exemplos: a) Seja a função PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

29 PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada

30 b) Seja a função geral do tipo PROFESSOR: JOÃO RODRIGO ESCALARI QUINTILIANO Site: Noções de Função e Derivada


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