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ME623A Planejamento e Pesquisa. Experimentos Fatoriais 6.1 Algumas Definições e Princípios Básicos Experimentos que envolvem dois ou mais fatores Permitem.

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1 ME623A Planejamento e Pesquisa

2 Experimentos Fatoriais 6.1 Algumas Definições e Princípios Básicos Experimentos que envolvem dois ou mais fatores Permitem investigar o efeito de cada fator na variável resposta, assim como o efeito de interações entre eles É o tipo de delineamento mais eficiente para esse tipo de experimentos Cada repetição completa do experimento permite investigar todas as possíveis combinações dos níveis dos fatores

3 Experimentos Fatoriais Exemplo: temos a níveis do fator A e b níveis do fator B, então cada repetição terá ab tratamentos Fatores arranjados num experimento fatorial são ditos serem cruzados Fator A 1, 2,..., a Fator A 1, 2,..., a Fator B 1, 2,..., b Fator B 1, 2,..., b ab tratamentos

4 Experimentos Fatoriais Definições Efeito principal de um fator: é a mudança na variável resposta produzida pela mudança no nível do fator Refere-se aos fatores primários de interesse Interação: ocorre quando a diferença na resposta entre os níveis de um fator não é a mesma em todos os níveis do outro fator

5 Exemplo I: Temos dois fatores (A e B) e cada fator apresenta dois níveis, alto (+) e baixo ( ) Efeitos Principais Efeito de A em cada nível de B A = 40 – 20 = 20 (B – ) A = 52 – 30 = 22 (B + ) Experimentos Fatoriais

6 Exemplo II: Considere o mesmo cenário, mas note que os valores observados são diferentes Efeito de A em cada nível de B A = 50 – 20 = 30 (B – ) A = 12 – 40 = –28 (B + ) Aqui, o efeito de A depende do nível de B escolhido. Portanto, existe interação entre A e B. A magnitude da interação é: Experimentos Fatoriais

7 Exemplo I: Interação ou Não? Linhas aproximadamente paralelas: não temos indicação de interação entre A e B

8 Exemplo II: Interação ou Não? Linhas não paralelas: indicação de interação entre A e B

9 Vantagens dos Experimentos Fatoriais Pode-se estudar os efeitos de dois ou mais fatores simultaneamente e as interações entre os eles São mais eficientes que os experimentos um fator por vez Necessário quando existe interação entre os fatores Permite estimar os efeitos de um fator dentro dos níveis do outro fator, resultando em conclusões mais abrangentes

10 Experimentos Fatoriais com Dois Fatores É o tipo mais simples dos experimentos fatoriais Existem a níveis do fator A e b níveis do fator B Cada replicação do experimento contém todas as ab combinações de tratamentos Em geral, temos n replicações Exemplo: uma pesquisadora deseja produzir um novo tipo de vinagre a base de kiwi. Os fatores em estudo foram: Fator A : quantidade de açúcar ( a =2 níveis: 8% e 20%) Fator B : adição de nutrientes ( b =2 níveis: com e sem) n = 7 repetições 4 x 7 = 28 unidades experimentais variável resposta: concentração de etanol

11 Fatoriais com Dois Fatores: Exemplo Projeto de uma bateria: um engenheiro está projetando uma bateria para usar em um certo dispositivo Fatores em estudo Fator A : material (tipos 1, 2 e 3 ) Fator B : temperatura ( 15 o F, 70 o F e 125 o F ) 4 baterias são testadas para cada combinação de material e temperatura, num total de 36 baterias, testadas em ordem aleatória Delineamento experimental: inteiramente aleatorizado

12 Exemplo Bateria O engenheiro quer responder as seguintes perguntas: 1.Qual o efeito do tipo de material e temperatura na vida das baterias? 2.Existe um material que produz uma bateria com vida mais longa independente da temperatura? Nota: como existem dois fatores com três níveis cada, esse experimento é chamado de Fatorial 3 2

13 Dados em Experimentos Fatoriais com Dois Fatores Fator B 12...b Fator A 1 y 111, y 112,..., y 11n y 121, y , y 12n y 1b1,y 1b2,..., y 1bn 2 y 211, y 212,..., y 21n y 221, y , y 22n y 2b1,y 2b2,..., y 2bn a y a11, y a12,..., y a1n y a21, y a22..., y a2n y ab1,y ab2,..., y abn

14 Modelo Estatístico – Efeitos Fixos As observações podem ser descritas pelo modelo: Restrições:

15 Hipóteses de Interesse Ambos os fatores A e B são de igual interesse Queremos testar a igualdade dos efeitos dos níveis de A, ou seja, e a igualdade dos efeitos dos níveis de B: Também estamos interessados em determinar se existe interação

16 Análise Estatística – Efeitos Fixos Considere a seguinte notação:

17 Decomposição das Somas de Quadrados Mostre que a SS T pode ser composta como:

18 Esperança dos Quadrados Médios

19 ANOVA – Fatorial com Dois Fatores

20 Fórmulas Simplificadas para as SS A SS T pode ser calculada como: As soma de quadrados dos efeitos principais são: A soma de quadrados da interação é calculada em dois passos.

21 Fórmulas Simplificadas para as SS Inicialmente calculamos o que é chamado de SS Subtotais Essa soma de quadrados também contém SS A e SS B. Então calculamos SS AB como: Por fim, a SS E é calculada por subtração:

22 Exemplo Bateria - Dados Usando os dados acima, calcule a tabela ANOVA e responda às perguntas do engenheiro Tipo de Materia l Temperatura (ºF)


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