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Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.1) 5 Inferências Relativas à Média.

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1 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.1) 5 Inferências Relativas à Média

2 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.2) é o parâmetro de interesse é uma estatística estatística e estimadores estatística: –uma estatística é qualquer função das observações de uma amostra aleatória convenção:

3 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.3) –uma estatística é denominada de estimador não tendencioso se, e somente se, a média da distribuição amostral do estimador é igual a estimador não tendencioso: é uma estimativa não tendenciosa de exemplo: estatística e estimadores

4 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.4) é uma VA praticamente normal padronizada se n é grande estimativa pontual é uma estimativa de. Mas quanto se aproxima de ? onde z /2 é um valor tal que a área da curva normal padronizada a sua direita é /2 f(x) z /2 /2 -z /2 o que eqüivale a: Logo, há uma probabilidade de 1 - da inequação abaixo ser satisfeita: 1 -

5 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.5) estimativas da média (com nível de confiança 1 - ) quando é conhecido: quando é desconhecido:

6 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.6) intervalo de confiança da média quando é conhecido: quando é desconhecido:

7 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.7) exemplo 1: Sabe-se que a vida em horas de lâmpadas incandescentes é uma variável aleatória normal com = 50 h. Uma amostra de 10 lâmpadas foi ensaiada e a vida média obtida foi h. Qual o intervalo dentro do qual, com nível de confiança 95%, espera-se encontrar a média da população? é conhecido. Estima-se o intervalo de confiança da média por: para P = 95% z 0,025 = 1,960

8 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.8) Qual o tamanho necessário da amostra da questão anterior para, com a mesma probabilidade, reduzir o tamanho do intervalo de confiança de ±31 h para apenas ±10 h? exemplo 2: é conhecido. Estima-se o intervalo de confiança da média por:

9 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.9) exemplo 3: A massa de um diamante foi medida repetidamente nove vezes por uma balança com erro sistemático desprezável. As indicações não se repetem pela ação de um erro aleatório com distribuição normal e média zero. Encontre o intervalo de confiança dentro do qual, com uma probabilidade de 95% deve encontrar-se o valor verdadeiro da massa do diamante. 20,420,120,420,620,220,420,320,520,3 não é conhecido, mas pode se estimado por s: da tabela: t( =0,025, =8 ) = 2,306

10 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.10) teste de hipóteses Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre uma população (e não sobre a amostra) Normalmente são formuladas duas hipóteses: –H 0 : (hipótese nula) que é a hipótese que se quer testar –H 1 : (hipótese alternativa) que será aceita se não for possível provar que H 0 é verdadeira Exemplos: (a) H 0 : mulheres vivem mais que homens H 1 : mulheres vivem o mesmo ou menos que homens (b) H 0 : o réu é culpado H 1 : o réu é inocente

11 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.11) teste de hipóteses (unilateral) Exemplo: seja: H 0 : = 50 MPa eH 1 : < 50 MPa Se H o é aceita Pergunta: quanto deve ser menor que 50 MPa para H 0 ser falsa? rejeitar H 0 e aceitar H 1 Qual é o valor crítico de ? Não é possível rejeitar H 0

12 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.12) teste de hipóteses (bilateral) Exemplo: seja: H 0 : = 50 MPa eH 1 : 50 MPa Se H o é aceita Pergunta: quanto deve se afastar de 50 MPa para H 0 ser falsa? Não é possível rejeitar H 0 rejeitar H 0 e aceitar H 1 Qual é o valor crítico de ?

13 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.13) exemplo 1: Suponha que a resistência do material seja uma variável aleatória com distribuição normal com X = 2,5 MPa. No exemplo anterior = 1,5 MPa seria uma boa escolha? Assim, a resistência de um corpo de prova seria determinada, testada e: – Se estiver no intervalo entre (50,0 ± 1,5) MPa afirma-se que = 50 MPa; – Caso contrário, afirma-se que 50 MPa. Este é um bom teste? 51,548,5

14 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.14) Para responder esta questão, suponha que a resistência do material tenha mesmo média 50 MPa e X = 2,5 MPa: 48,5 51,5 /2 = 0,274 z 1 = -0,60 z 2 = 0,60 A escolha de = 1,5 MPa não é boa. Quando o material tiver resistência de 50 MPa apenas 45,2% dos ensaios darão a resposta certa. Cerca de 54,8% levarão à conclusão errada, o que é uma margem de erro muito alta! 0,452 50

15 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.15) exemplo 2: Suponha que em lugar de ensaiar um corpo de prova, 10 corpos de prova sejam ensaiados e sua média calculada. Se as demais condições forem mantidas, = 1,5 MPa seria uma boa escolha? Sintetizando o teste: Dez corpos de prova serão ensaiados e resistência média calculada e submetida ao seguinte critério: – Se estiver no intervalo entre (50,0 ± 1,5) MPa afirma-se que = 50 MPa; – Caso contrário, afirma-se que 50 MPa. E agora: este é um bom teste?

16 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.16) Para responder esta questão, suponha que a resistência do material tenha mesmo média 50 MPa e X = 2,5 MPa. A média de 10 corpos de prova terá desvio padrão de: Neste caso, a escolha de = 1,5 MPa resulta em uma margem de acerto de 94,2% e uma margem de erro de apenas 5,76%, o que é aceitável. Portanto, para estas condições, = 1,5 MPa é uma boa escolha! 50 48,551,5 /2 = 0,0288 z 1 = -1,90z 2 = 1,90 /2 = 0,942

17 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.17) erros de decisão Erro tipo I: rejeitar H 0 quando esta é verdadeira Erro tipo II: não rejeitar H 0 quando esta é falsa decisão H 0 é verdadeira H 0 é falsa não rejeita H 0 rejeita H 0 decisão correta erro tipo I decisão correta erro tipo II –A probabilidade de cometer erro tipo I é denominada nível de significância e é denotada por –A probabilidade de cometer erro tipo II é denotada por

18 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.18) nível de significância ( ) No exemplo anterior, sendo a distribuição normal, X = 2,5 MPa, n = 10, e = 1,5 MPa. Quanto vale ? 5048,551,5 /2 = 0,0288 z 1 = -1,90z 2 = 1,90 = P(Z 1,90) = 0, ,0288 = 0,0576 5,76% das amostras aleatórias vão rejeitar H 0 quando a resistência do material for mesmo 50 MPa. Para diminuir : – (a) aumentar ou – (b) aumentar n

19 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.19) erro tipo II – pode ser calculado para um dado valor específico. Exemplo, seja = 52. Quanto vale ? = 0, ,43% das amostras aleatórias vão aceitar H 0 quando a resistência do material for 52 MPa 5048,551,5

20 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.20) erro tipo I versus erro tipo II e para várias combinações de n e

21 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.21) teste de hipóteses: conclusões 1. O tamanho da região crítica (aceitação) e podem sempre ser reduzidas pela escolha apropriada dos valores críticos 2. Os erros tipo I e II estão sempre relacionados. Para o mesmo n o aumento da probabilidade de um reduz a do outro 3. Para os mesmos valores críticos, o aumento de n reduz as probabilidades dos erros I e II 4. Quando H 0 é falsa, aumenta quando o valor verdadeiro do parâmetro se aproxima do valor especificado em H 0 e vice- e-versa

22 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.22) teste de hipóteses: procedimento geral 1. Identifique o parâmetro de interesse no problema 2. Formule a hipótese nula (H 0 ) 3. Formule uma hipótese alternativa apropriada (H 1 ) 4. Defina o nível de significância 5. Estabeleça a estatística usada 6. Estabeleça a região de rejeição da estatística 7. Execute o experimento, obtenha os dados e faça as contas 8. Decida se H 0 deve ou não ser rejeitada e transponha esta conclusão para o contexto do problema

23 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.23) hipóteses relativas a uma média H 0 : = 0

24 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.24) Verificar se a condutividade térmica de um certo tipo de tijolo é 0,340 com nível de significância 0,05 a partir de uma amostra com n = 35 que resultou no valor médio 0,343. Sabe-se que = 0,010. exemplo 3: Solução: P1 - parâmetro de interesse: condutividade térmica do tijolo P2 - H0: = 0,340 P3 -H1: 0,340 P4 - nível de significância: 0,05 P5 - é conhecido, usar a estatística Z z 0.025

25 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.25) P6 - H0 será rejeitada se o valor de Z, calculado a partir da média dos 35 ensaios, obedecer uma das seguintes condições: Z 1,960 P7 - Fazendo as contas: P8 - Como -1,960 < 1,77 < 1,960, H0 não pode ser rejeitada, isto é, a pequena diferença entre 0,340 e 0,343 pode decorrer do acaso.

26 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.26) Um certo tipo de barbante deve apresentar resistência média à ruptura de 180 N. Se cinco pedaços, selecionados aleatoriamente de alguns rolos apresentaram média 169,5 N com s = 5,7 N. Teste a H0 = 180 N contra H1 < 180 N com = 0,01. Assuma que a população é normal. exemplo 4: Solução: P1 - parâmetro de interesse: resistência do barbante P2 - H0: = 180 N P3 -H1: < 180 N P4 - nível de significância: 0,01 P5 - não é conhecido, usar a estatística T < -t 0.01 para = 4

27 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.27) P6 - H0 será rejeitada se o valor de T, calculado a partir da média dos cinco ensaios, obedecer a seguinte condição: T < -3,747 P7 - Fazendo as contas: P8 - Como o valor obtido é menor que o crítico, rejeita-se H0 e aceita-se a hipótese de que a resistência média do barbante é mesmo menor que 180 N.

28 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.28) hipóteses relativas a duas médias H 0 : =

29 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.29) exemplo 5: Solução: P1 - parâmetro de interesse: diferença de resistência P2 - H0: = 0,050 P3 -H1: > 0,050 P4 - nível de significância: 0,05 P5 - não é conhecido, mas n > 30 é possível usar a estatística Z > z 0.05 Verifique se a diferença entre a resistência elétrica entre dois condutores é maior que 0,050 com nível de significância = 0,05. Uma amostra com n = 32 foi extraída de cada condutor resultando em: X 1 = 0,136 e s 1 = 0,004 e X 2 = 0,083 e s 2 = 0,005.

30 Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.30) P6 - H0 será rejeitada se o valor de Z, calculado a partir da diferença das médias dos 32 ensaios, obedecer a condição: Z > 1,645 P7 - Fazendo as contas: P8 - Como 2,65 > 1,645 rejeita-se a H0 e afirma-se que a resistência do primeiro condutor é maior que a do segundo em pelo menos 0,050.


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