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SOMA E MULTIPLICAÇÃO DE ALEPHS Equipe: Everton Marques Patrícia Lustosa.

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1 SOMA E MULTIPLICAÇÃO DE ALEPHS Equipe: Everton Marques Patrícia Lustosa

2 Adição de Cardinais Iniciaremos relembrando as definições de adição e multiplicação de cardinais. Seja k e λ números cardinais. Definimos anteriormente k + λ como a cardinalidade do conjunto X U Y, onde |X| = k, |Y| = λ, e X e Y são disjuntos : |X| + |Y| = |X U Y| se X M Y = Ø Além disso, vimos também que essa definição não depende da escolha de X e Y

3 Multiplicação de cardinais O produto k. λ foi definido como a cardinalidade do produto cartesiano X x Y, onde X e Y são dois conjuntos quaisquer com cardinalidade k e λ respectivamente. |X|. |Y| = |X x Y| Novamente, essa definição independe da escolha de X e Y.

4 Regras aritméticas da adição e multiplicação de cardinais Vimos também que a soma e a multiplicação de cardinais satisfazem algumas regras aritméticas tais como comutatividade, associatividade e distributividade: k+ λ = λ + k k. λ = λ. K k + (λ + µ) = (k + λ) + µ k. (λ. µ) = (k. λ). µ k. (λ + µ) = k. λ + k. µ Se k e λ são cardinais finitos, então as operações k + λ e k. λ coincidem com as operações aritméticas de ordinais

5 Aritmética de números infinitos A aritmética de números infinitos difere bastante da aritmética de números finitos. As regras de adição e multiplicação de alephs são bem simples: Ν 0 + n = Ν 0 Isso é verdade para todo número natural n. Ν 0 + Ν0 = Ν 0 Por exemplo, podemos ver o conjunto dos naturais como a união de dois conjuntos disjuntos contáveis (pares e ímpares). Ν 0. Ν0 = Ν 0 O conjunto de todos os pares de números naturais é contável.

6 Teorema 2.1 Dadas as operações mostradas anteriormente, podemos provar um teorema geral que determina completamente o resultado da adição e multiplicação de alephs: Teorema 2.1: N α. N α = N α, para todo α. Antes de provarmos esse teorema, é necessário vermos as conseqüências da adição e multiplicação de números cardinais, através de 2 corolários que serão mostrados adiante.

7 Corolário 2.2 Corolário 2.2: Para todo α e β tal que α < β, temos: N α. N β = N β. Então, n + N α = N α, para todo número natural n. Prova: Se α < β, de um lado nós temos que: N β = 1. N β < N α. N β e por outro lados temos que: o teorema 2.1 diz que N α. N β < N β. N β = N β. Então, pelo teorema de Cantor-Bernstein N α. N β = N β. A outra igualdade é provada da similarmente.

8 Corolário 2.3 Corolário 2.3: Para todo α e β tal que α < β, temos: N α + N β = N β Então, n + N α = N α para todo número natural n. Prova: Se α < β, então: N β < N α + N β < N β + N β = 2. N β = N β A segunda parte é provada similarmente.

9 Prova do teorema 2.1 (I) Provaremos o teorema 2.1 por indução transfinita. Para todo α, construímos uma certa well-ordering N α, então temos que N α. N α = N α. Construímos a boa-ordenação < de ω α x ω α uniformemente para todo ω α ; isto é, definimos a propriedade < dos pares de ordinais e mostramos que < bem-ordena ω α x ω α para todo ω α.

10 Prova do teorema 2.1 (II) Nós dizemos que (α 1, α 2 ) < (β 1, β 2 ) se e somente se: max{α 1, α 2 } < max{β 1, β 2 }, ou max{α 1, α 2 } = max{β 1, β 2 } e α 1 < β 1, ou max{α 1, α 2 } = max{β 1, β 2 }, α 1 = β 1 e α 2 < β 2. Agora mostramos que < é uma well-ordering (para qualquer conjunto de pares de ordinais). Primeiro temos que mostrar que < é transitiva. Seja α 1, α 2, β 1, β 2, γ 1, γ 2 tal que (α 1, α 2 ) < (β 1, β 2 ) e (β 1, β 2 ) < (γ 1, γ 2 ). Segue da definição de < que max{α 1, α 2 } < max{β 1, β 2 } < max{γ 1, γ 2 }. Então max{α 1, α 2 } < max{γ 1, γ 2 }. Se max{α 1, α 2 } < max{γ 1, γ 2 }, então (α 1, α 2 ) < (γ 1, γ 2 ).

11 Prova do teorema 2.1 (III) Então assuma que: max{α 1, α 2 } = max{β 1, β 2 } = max{γ 1, γ 2 }. Então temos que α 1 < β 1 < γ 1, então α 1 < γ 1. Se α 1 < γ 1, então (α 1, α 2 ) < (γ 1, γ 2 ) ; Por outro lado, temos α 1 = β 1 = γ 1. Neste último caso, max{α 1, α 2 } = max{β 1, β 2 } = max{γ 1, γ 2 }, e α 1 = β 1 = γ 1, então, necessariamente, α 2 < β 2 < γ 2, então obtemos novamente que (α 1, α 2 ) < (γ 1, γ 2 ). Depois verificamos que para todo α 1, α 2, β 1, β 2 temos: (α 1, α 2 ) < (β 1, β 2 ) (α 1, α 2 ) > (β 1, β 2 ) (α 1, α 2 ) = (β 1, β 2 )

12 Prova do teorema 2.1 (IV) O que foi dito anteriormente segue diretamente da definição: Dados (α 1, α 2 ) e (γ 1, γ 2 ), comparamos primeiro os ordinais max{α 1, α 2 } e max{β 1, β 2 }, depois os ordinais α 1 e β 1, e por último α 2 e β 2. Agora mostramos < é uma boa-ordenação. Seja X um conjunto não-vazio de pare de ordinais; nós encontramos o <- elemento mínimo de X. Seja δ o menor máximo dos pares em X, isto é, seja δ o elemento mínimo do conjunto {max{α, β}|(α, β) Є X}. Então temos: Y = {(α, β) Є X | max{α, β} = δ}.

13 Prova do teorema 2.1 (V) O conjunto Y é um subconjunto não-vazio de X, e para todo (α, β) Є Y nós temos max{α, β} = δ; Então, δ < max{α, β} para todo (α, β) Є X – Y e segue que (α, β) < (α, β) desde que (α, β) Є Y e (α, β) Є X – Y. Então, o elemento mínimo de Y, se existir, é também o elemento mínimo de X. Agora, seja α 0 o menor ordinal no conjunto {α | (α, β) Є Y para algum β}, e seja: Z = {(α, β) Є Y | α = α 0 }. O conjunto Z é um subconjunto não-vazio de Y, e temos (α, β) < (α, β) desde que (α, β) Є Z e (α, β) Є Y – Z.

14 Prova do teorema 2.1 (VI) Finalmente seja β 0 o menor ordinal no conjunto {β | (α 0, β) Є Z}. Claramente (α 0, β 0 ) é o elemento mínimo de Z, e conseqüentemente o elemento mínimo de X. Mostrado que < é uma well-ordering de ω α x ω α para todo α, nós usamos essa well-ordering para provar, por indução transfinita sobre α, que |ω α x ω α | < N α, isto é, N α. N α < N α. Já foi provado anteriormente que que N 0. N 0 = N α, então nossa afirmação é verdade para α = 0; Vamos assumir que N β. N β < N β para todo β < α.

15 Prova do teorema 2.1 (VII) Provaremos que |ω α x ω α | < N α. Isto é suficiente para mostrar que o order-type do conjunto bem-ordenado (ω α x ω α, <) é no máximo ω α. Se o order-type de ω α x ω α for maior que ω α então existiria (α 1, α 2 ) Є ω α x ω α tal que a cardinalidade do conjunto X = { (ξ 1, ξ 2 ) Є ω α x ω α | (ξ 1, ξ 2 ) < (α 1, α 2 )} é pelo menos N α. Isto é suficiente para provar que para qualquer (α 1, α 2 ) Є ω α x ω α, nós temos |X| < N α. Seja β = max{α 1, α 2 } + 1. Então β Є ω α, e, para todo (ξ 1, ξ 2 ) Є X nós temos max{ξ 1, ξ 2 } < max{α 1, α 2 } < β, então ξ 1 Є β e ξ 2 Є β. Em outras palavras X C β x β.

16 Prova do teorema 2.1 (VIII) Seja γ < α tal que |β| < N γ. Então |X| < |β x β| = |β|. |β| < N γ. N γ, e pela hipótese da indução, N γ. N γ < N γ. Então, |X| < N γ, e conseqüentemente, |X| < N α como dito anteriormente. Então, agora segue que |ω α x ω α | < N α. Com isso, provamos por indução transfinita sobre α, que N α. N α < N α para todo α. Como temos que N α < N α. N α, nós temos que N α. N α = N α, e a prova do teorema 2.1 está completa.

17 Exercícios


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