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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia GRADUAÇÃO BAYESIANA DE TAXAS DE MORTALIDADE E PROJEÇÃO DAS.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia GRADUAÇÃO BAYESIANA DE TAXAS DE MORTALIDADE E PROJEÇÃO DAS TAXAS DE MORTALIDADE DOS PARTICIPANTES DA FUNDAÇÃO COPEL Aluno: Guerino Pirollo Junior Orientadora: Prof. PhD Paulo Justiniano Ribeiro Junior

2 Objetivo Geral Obter com base nos dados da população exposta ao risco de morte da Fundação Copel, probabilidades de morte que melhor reflitam a mortalidade do grupo, auxiliando na adoção de Hipóteses de Mortalidade a serem usadas.

3 Objetivos Específicos Graduar as taxas de mortalidade da população exposta ao risco através de um modelo Bayesiano não paramétrico, comparando-as com tábuas de mortalidade usuais. Projetar as taxas de mortalidade futuras do grupo, utilizando o método de Lee-Carter e modelos Spline penalizados (P-spline).

4 Conceitos Iniciais Estatística Bayesiana: trata-se de estimação de parâmetros desconhecidos, agregando aos dados conhecimentos iniciais (distribuição a priori) sobre os parâmetros. MCMC: simulação estocástica de Monte Carlo via Cadeias de Markov. JAGS: Just Another Gibbs Sampler Bootstrap: geração de amostras aleatórias com reposição a partir de uma amostra inicial Força de Mortalidade: µ x,t = P(x x) = [F(x+x)-F(x)]/1-F(x)

5 Tábua de Mortalidade É o instrumento destinado a medir as probabilidades de vida e de morte (George King). Deve refletir a mortalidade da população exposta ao risco (aderência); É utilizada nos cálculos atuariais - calculo de provisões, contribuições e prêmios; Pode ser estática ou geracional, incorporando as melhorias na mortalidade (Retangularização e Expansão de s(x)).

6 Retangularização e Expansão

7 Graduação Taxas de Mortalidade É o processo de suavização das taxas brutas de mortalidade (r x =d x /l x ); Normalmente feito através de modelos (paramétricos) – ajuste de r x ou µ x a um modelo matemático: deMoivre, Gompertz, Makeham e Weibull. Torna as probabilidades de mortes (q x ) monotonicamente crescentes em relação às idades.

8 Graduação Taxas de Mortalidade

9 Graduação Bayesiana Atribui-se distribuição de probabilidade (priori) aos parâmetros desconhecidos µ x,t ; Taxas brutas graduadas em função de µ x,t ; Considera-se μ x,t constante nos intervalos de idades, onde: q x = 1-exp(-µ x,t ) ou µ x,t =-ln(1-q x ) (Bowers,1997); Assume-se que os indivíduos com mesma idade morrem independentemente e com mesma probabilidade; O modelo Bayesiano adotado é não paramétrico.

10 Graduação Bayesiana Verossimilhança Poisson: (d x,t |µ x,t ) ~Poisson (l x,t.µ x,t ), com l x,t conhecido Distribuição a priori do Parâmetro μ x,t : (µ x,t |α,β) ~Gama(α,β) I (µx-1,t;µx,t) (µ x,t ), com α=β=0,001 e idades x=x l,...,x u Distribuição a posteriori: (µ x,t |d x,t,α,β) α Gama(µ x,t |α*,β*) I (µx-1,t;µx,t) (µ x,t ) OBS:I R (µ) é a função indicadora, assumindo o valor 1 se µ R e zero caso contrário.

11 Graduação Bayesiana Dificuldade: restrição imposta pelo sub conjunto R ao vetor de parâmetros µ: µ R = {µ:0<µ 1 <µ 2 <...<µ k

12 Implementação Modelo - JAGS Dados: população de assistidos (aposentados) Restrições: 1. Idade inicial x=48 anos, com intervalos de idade x+i-1 para i=1,...,37 2. Utilizou-se a quantidade de expostos ao risco (l x ) em cada idade x, no inicio do ano; lxlx Datalxlx lxlx / / / / / /2008

13 Implementação Modelo - JAGS Obtenção das estimativas µ i (r) e q x (r), a partir de distribuição preditiva do número de mortes (d i (r) |µ i )~Poisson(l i.µ i ), i=1,...,37 e x=48, onde:

14 Implementação Modelo - JAGS Valores iniciais: 1. Valores iniciais (µ 1 (0),µ 2 (0),...,µ 37 (0) ) dos par. µ i s restrito a R, calculados a partir das tábuas AT2000, AT83 e AT49, com µ i =-ln(1-q x+i-1 ), i=1,..., simulações ( – burn in) 3. Intervalo entre observações (6 em 6) 4. 3 cadeias paralelas (para os µ i s das 3 tábuas) 5. Estimadores pontuais das probabilidades:

15 Diagnóstico - CODA

16 Resultados e Comparação

17 Projeção Taxas de Mortalidade Modelo de Lee-Carter: log μ x,t = a(x)+b(x)k(t)+ε(x,t) a(x):descreve a forma geral do perfil de mortalidade por idade; b(x):descreve o padrão de desvios do perfil da idade conforme o parâmetro k(t) varia; k(t):descreve a mudança na mortalidade como um todo; ε(x,t):termo de erro aleatório

18 Modelos P-spline Spline: mecanismo usado para traçar curvas, é uma função polinomial que aproxima pontos em um determinado espaço. Ajusta os pontos de forma local. Podem ser ajustadas usando-se qualquer modelo de regressão (linear, sobrevivência, logístico etc). Nos modelos P-spline combina-se suavidade e bondade de ajuste através de penalidades: Grande - preferência por suavidade nos coef. β i ; Pequena – preferência por bondade de ajuste.

19 Modelos P-spline Modelo proposto - variável preditora é E x,t e a Variável resposta é D x,t, com D x,t ~Poisson(E x,t.D x,t ). Para descrever a relação entre μ x e as variáveis x e t, uma possibilidade é escolher um número de funções polinomiais base b 1 (x,t),b 2 (x,t),...,b n (x,t), representando μ x como uma combinação linear: μ x β 1 b 1 (x,t)+β 2 b 2 (x,t)+...+β n b n (x,t)

20 BIBLIOGRAFIA [1] BOWERS, N.L. el al. Actuarial Mathematics. The Society of Actuaries, [2]EHLERS, R.S. Métodos Computacionalmente Intensivos em Estatísitca. Notas de Aula, Universidade Federal do Paraná, [3] LEE, R.D.; CARTER, L. Modeling and Forecasting the Time Series of US Mortality. Journal of the American Statistical Association, v87, 419: , 1992.

21 BIBLIOGRAFIA [4] NEVES, C.R. Graduação Bayesiana de Taxas de Mortalidade. Funenseg, Caderno de Seguros – Teses, v.10, 28, [5] SANTOS, R.R Técnicas de modelagem do improvement para construção de tábuas geracionais. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Dissertação de Mestrado, [6] SPIEGELHALTER, D.J. et al. Markov Chain Monte Carlo in Practice. Chapman & Hall, London, 1997.

22 AGRADECIMENTOS Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Junior; Coordenador(a) do curso: Dr a Liliana Madalena Gramani Cumin; A todos os professores do PPGMNE


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