Introdução a Processos Estocásticos

Apresentação em tema: "Introdução a Processos Estocásticos"— Transcrição da apresentação:

1 Introdução a Processos Estocásticos
Estacionaridade Júlio César e Melo

2 Evolução de um sistema Sistemas dinâmicos
Estrutura matemática Modelo determinístico Futuro totalmente previsível E quando o houver alguma “aleatoriedade intrínseca”? “Apesar de tendências ou correlações fortes existirem, sempre há algum elemento de incerteza.”

3 Evolução de um sistema Sistemas dinâmicos Processo estocástico
Estrutura matemática Modelo determinístico Futuro previsível Processo estocástico Estrutura matemática Fenômeno com incerteza

4 Processo estocástico Três componentes: Espaço de estados
Linha do tempo Ordenado linearmente Estrutura que permite ir precisamente à frente ou para trás Medida de probabilidade

5 Processo Estacionário
Características estatísticas não se alteram com o tempo. Sentido estrito Distribuição de probabilidade não varia com o tempo. f(x1,...,xn;t1,...,tn) = f(x1,...,xn; t1 + c, ..., tn + c) Sentido amplo A média, variância e correlação não variam com o tempo.

6 Aplicação prática Economia – Anti-truste
Preço relativo no mesmo mercado deve ser estacionário Exemplo: Preço do salmão escocês em relação ao preço do salmão norueguês (Fonte: Lexecon. Market Definition: How Stationarity Tests Can Improve Accuracy. Disponível em:

7 Preço do salmão escocês relativo ao salmão norueguês na Inglaterra

8 Processo Estacionário
Estacionaridade no sentido amplo Ruído branco Em função de t - s

9 Processo estacionário
Auto-regressivo Condição de estacionaridade: Teste da hipótese nula verifica estacionaridade

10 Processo estacionário
Trend-stationarity Obtém-se um processo estacionário removendo-se uma tendência temporal

11 Processo estacionário
(Fonte:

12 Processo estacionário
(Fonte:

13 Processo estacionário
Difference-Stationary

14 Processo estacionário discreto
Processo Bernoulli Processo estocástico sem memória Estacionário para p e q constantes P{k = r} =

15 Processo estacionário discreto
Processo Markov Estacionário Relógio de um computador com n estados Distribuição de probabilidade de um único estado que seja consistente para qualquer momento: [ 1/n, 1/n, ..., 1/n ]

16 Definição f(x1,...,xn;t1,...,tn) = f(x1,...,xn; t1 + c, ..., tn + c)
Estacionaridade de N-ordem n ≤ N Estacionaridade em um intervalo Para todo ti e ti + c no próprio intervalo

17 Definição Incremento estacionário
y(t) = x(t + h) – x(t) forma um processo estacionário para todo h Processo estacionário contínuo Não é importante “quando” começa o processo estacionário

18 Conclusão Estacionaridade em processo estocástico
Tipos de estacionaridade Aplicação prática

19 Bibliografia Pivato, Marcus. Stochastic Processes and Stochastic Integration. 21 fev Papoluis, A. Probability, Random Variables and Stochastic Process NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods. Disponível em: Johnson, D. The Poisson Process. Disponível em: Lexecon. Market Definition: How Stationarity Tests Can Improve Accuracy. Disponível em: