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MATEMÁTICA II - Prof. Edézio1 MATEMÁTICA II Prof. Edézio.

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1 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio1 MATEMÁTICA II Prof. Edézio

2 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio2 Ementa Derivadas Aplicações das Derivadas Integração Livro Texto: Murolo,A. & Bonetto,G.: Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. Thomson, São Paulo, 2004.

3 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio3 Derivadas O conceito foi introduzido em meados dos séculos XVII e XVIII em estudos de problemas de Física. Destacam-se Isaac Newton, Leibniz e Lagrange. Mais tarde essas idéias foram introduzidas em outras áreas como Economia e Administração.

4 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio4 Derivadas Considere uma função f(x) e sejam x 0 e x 1 dois pontos de seu domínio Sejam f(x 0 ) e f(x 1 ) as correspondente imagens x0x0 ΔxΔx ΔyΔy x1x1 f(x 0 ) f(x 1 )

5 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio5 Derivadas Chamamos de taxa média de variação de f, para x variando de x 0 até x 1, ao quociente

6 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio6 Exemplo1 Seja a função f(x)=x 2, o ponto inicial de abscissa x 0 =1 e a variação Δx=2 (isto é, x varia de 1 a 3). A taxa média de variação de f para esses valores é: Isso significa, que se x variar 2 unidades (a partir de x 0 =1), a variação de f será 4 vezes maior, pois Δf=8, enquanto Δx=2.

7 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio7 Exemplo

8 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio8 Exemplo 2 Seja f(x)=x 2 e calculemos a taxa média de variação a partir de um ponto genérico de abscissa x 0 =x e um acréscimo também genérico Δx.

9 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio9 Exemplo 2 Assim, se quisermos a taxa média de variação a partir do ponto x=5 e com uma variação Δx=3, o resultado será 2.5+3=13.

10 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio10 Exemplo 3 Suponhamos que um objeto seja abandonado a m de altura e que a função f(t)= t 2 altura do objeto em relação ao solo, t segundos após ele ser abandonado. Temos: f(0)=2.000 e f(5)=1.750 Δf 1 =-250. Logo, nos 5 primeiros segundos, o objeto caiu 250 m. Δf 2 =f(10) - f(5) =1.000 – 1.750=-750. Nos 5 segundos seguintes o objeto caiu 750m.

11 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio11 Exemplo 3 Para uma mesma variação de t (5 segundos), a variação de altura é diferente. A taxa média de variação da função representa a velocidade média do objeto a cada intervalo de tempo considerado. 1º intervalo: Velocidade média: 2º intervalo: Velocidade média:

12 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio12 Velocidade Instantânea Muitas vezes estamos interessados na velocidade de um objeto num determinado instante (velocidade instantânea) No exemplo considerado, calculemos a velocidade instantânea para t=5 segundos. Para isso consideremos a velocidade média (taxa média de variação) para amplitudes de variação de tempo cada vez menores. Consideraremos o intervalo [5; 5+Δt]:

13 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio13 Velocidade Instantânea

14 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio14 Velocidade Instantânea Calculemos a velocidade média para valores de Δt cada vez menores: IntervaloΔtΔtΔf/Δt [5;10]5-150 [5;8]3-130 [5;6]1-110 [5;5,5]0,5-105 [5;5,1]0,1-101 [5;5,01]0,01-100,1

15 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio15 Velocidade Instantânea Notamos que a velocidade média está se aproximando de -100 m/s. A velocidade instantânea é o limite para o qual tende a velocidade média quando o intervalo de tempo tende a 0. Isto é, a velocidade instantânea no ponto t=5 e dada por: Esse limite da taxa média de variação quando Δt tende a zero é chamado de derivada da função f(t) no ponto t=5.

16 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio16 Conceito de Derivada Derivada de uma Função num Ponto Seja f(x) uma função e x 0 se existir e for finito, limite dado por: Ex.: Qual a derivada de f(x)=x 2 no ponto x 0 =3?

17 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio17 Conceito de Derivada Isso significa que um pequeno acréscimo Δx dado a x, a partir de x 0 =3, acarretará um correspondente acréscimo Δf que é aproximadamente 6 vezes maior que o acréscimo Δx.

18 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio18 Função Derivada É a derivada calculada num ponto genérico x. Exemplo: Qual a função derivada de f(x)=x 2 ? Temos,

19 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio19 Função Derivada Assim, se quisermos a derivada no ponto x 0 =5, calculamos f´(5)=2.5=10. Obs.: para Δx pequeno. Para x=5 e Δx= 0,1 temos: Δf = f(5,1) - f(5) = (5,1) = 1,01 Portanto

20 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio20 Exercícios 1. Para cada função f(x), determine a derivada f´(x 0 ) no ponto x 0 indicado: a) f(x)=x 2, x 0 =4. b) f(x)= 2x+3, x 0 =3. c) f(x)=-3x, x 0 =1. d) f(x)= x 2 -3x, x 0 =2. e) f(x)= 1/x, x 0 =2. f) f(x)= x 2 – 3x + 4, x 0 =6. 2. Determine a função derivada para cada função do exercício anterior.

21 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio21 Derivada das Principais Funções Elementares Derivada da Função Constante Se f(x)=c (função constante), então f´(x)=0, para todo x. Ex.: Se f(x)=5 então f´(x)=0. Derivada da Função Potência Se f(x)=x n, então f´(x)= nx n-1. Exs.:

22 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio22 Derivada das Principais Funções Elementares Derivada da Função Logarítmica Se f(x)=ln x, então f´(x)=1/x, x>0. Derivada das funções seno e cosseno Se f(x)=sen x, então f´(x)= cos x para todo x real. Se f(x)= cos x, então f´(x)= -sen x para todo x real.

23 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio23 Propriedades Operatórias Se f(x)=k.g(x) então f´(x)=k.g´(x). Se f(x)=u(x)+v(x) então f´(x)=u´(x)+v´(x). Se f(x)=u(x)-v(x) então f´(x)=u´(x)-v´(x). Se f(x)=u(x).v(x) então f´(x)=u´(x).v(x)+u(x).v´(x) Se f(x)=u(x)/v(x) então

24 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio24 Exercícios

25 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio25 Função Composta – Regra da Cadeia Considere a função y = f(u)=u 3 e u=g(x)=x-5. Temos que a função composta (f g)(x) é dada por: y(x)=f(g(x))=(x 2 - 5) 3 Questão: É possível calcular a derivada da composta (f g)´(x) usando apenas as derivadas de f e g separadamente (sem o calculo prévio da composta}? Regra da Cadeia: Se y é uma função de u e existe f´(u), e se u é uma função de x e existe g´(x), então y é uma função de x e existe y´(x), sendo dada por y´(x)=f´(u).u´= f´(g(x)).g´(x)

26 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio26 Função Composta – Regra da Cadeia No exemplo dado, temos: y´(x)=3u 2.u´=3(x 2 -5) 2.2x=6x(x 2 -5) 2. Qual a derivada de f(x)=ln(3x+6)? Fazendo u=3x+6, temos f(u)=ln u. Assim:

27 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio27 Derivada da Função Exponencial Se f(x)=a x, então f´(x)=a x.ln a, para todo x real (com a>0 e a1). Demonstração: Consideremos a função: Pela regra da cadeia: Por outro lado: Portanto:

28 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio28 Exemplos f(x)=3 x então f´(x)=3 x ln x; f(x)=e x então f´(x)=e x ln e = e x.

29 MATEMÁTICA II - Prof. Edézio29 Exercícios 1. Obtenha a derivada das seguintes funções:


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