Professora: Ana Cristina G. e Silva Natal-RN

Apresentação em tema: "Professora: Ana Cristina G. e Silva Natal-RN"— Transcrição da apresentação:

1 Professora: Ana Cristina G. e Silva Natal-RN
Unidade I Introdução à Matemática Computacional Professora: Ana Cristina G. e Silva Natal-RN

2 Índice Vetores no R2, R3, Rn Espaço Vetorial Combinação linear Vetores LI e LD Base Resolução de sistemas lineares Determinação da Inversa de uma matriz

3 Vetores no R2 Representação:

4 Vetores no R3 Representação: (2, 4, 3)

5 Multiplicação por escalar:
Vetores no Rn Representação: Operações e Adição: Multiplicação por escalar:

6 As seguintes propriedades:
Espaço Vetorial Definição: Espaço vetorial é um conjunto V, não vazio, no qual estão definidas duas operações Soma: Mult. por escalar: E devem satisfazer, para quaisquer e As seguintes propriedades: Existe tal que 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

7 Combinação Linear R³ Definição:
Sejam V um espaço vetorial real (ou complexo), e reais (ou complexos). Então, é um elemento de V ao que chamamos de combinação linear de Ex: R³

8 Dependência e Independência Linear
Definição: Sejam V um espaço vetorial e . Dizemos que o conjunto é Linearmente Independente (L.I.), ou que os vetores são L.I, se a equação Implica que . Caso exista algum é Linearmente dependente (L.D.), ou que os vetores são L.D. dizemos que Exemplo é LD ou LI ? O conjunto

9 O sistema admite infinitas soluções. Façamos c a variável livre.
é LD ou LI ? Solução: O sistema admite infinitas soluções. Façamos c a variável livre. De ( II ) vem que Substituindo o valor de a em ( I ) ficamos com Fazendo, por exemplo, obtemos e Encontramos a seguinte combinação linear Logo, o conjunto é LD.

10 Base Definição: será uma base de V (um espaço vetorial qualquer), se:
é LI, e ( ii ) Exemplo: é uma base de ? Temos que verificar se é LI, e ( i ) ( ii ) Solução: ( i ) Substituindo ( I ) em ( II ) encontramos Logo, é LI

11 Base Exemplo: Portanto, Logo, é uma base de

12 Resolução de sistemas lineares
Ex.: Matriz ampliada do sistema Forma escada reduzida por linha Seqüência de operações elementares Portanto, o sistema é possível e determinado com solução única

13 Resolução de sistemas lineares
Ex.: Matriz ampliada do sistema Seqüência de operações elementares

14 Soluções do sistema (método do escalonamento)
Ex.: Como o número de variáveis é igual ao número de equações. O sistema é possível e determinado, ou seja, tem solução única. Neste caso, o número de variáveis é maior que o número de equações. O sistema é possível e indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções. Isso significa que uma das variáveis , a variável livre, receberá um valor arbitrário. Neste caso a última equação do sistema é sempre falsa, então o sistema é impossível e S =.

15 Determinação da Inversa de uma matriz
Exemplo: Encontrar a inversa da matriz A. A I

16

17 I A-1 Portanto,

18 Como a forma escada não é a identidade, a matriz A não tem inversa.
Quando A não admite inversa. Exemplo: A I  I Como a forma escada não é a identidade, a matriz A não tem inversa.

19 Bibliografia - BOLDRINE, José L. – Álgebra linear – 3º edição Harbra LTDA

20 Operações elementares
1) (permutar duas linhas) Ex.: 2) e Ex.: 3) Ex.: voltar

21 Forma Escada Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se (1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. (2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero. (3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas. (4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante. Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?   (1) V   (1) F

22 Forma Escada Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se (1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. (2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero. (3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas. (4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante. Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?   (1) F   (1) V   (1) V   (1) F   (2) V   (2) F

23 Forma Escada Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se (1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. (2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero. (3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas. (4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante. Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?   (1) F   (1) V   (1) V   (1) F   (2) V   (2) F   (3) V

24 Forma Escada Definição: Uma matriz é linha reduzida à forma escada se (1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. (2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero. (3)Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas. (4) Se o primeiro elemento não nulo de uma linha i ocorre numa coluna j, então o primeiro elemento não nulo, das linhas subseqüentes a i, só poderá ocorrer da coluna j+1 em diante. Quais das matrizes abaixo estão na forma escada?   (1) V   (1) F   (1) F   (1) V   (2) V   (2) F   (3) V   (4) V