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ENG309 – Fenômenos de Transporte III Prof. Dr. Marcelo José Pirani Departamento de Engenharia Mecânica UFBA – Universidade Federal da Bahia.

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1 ENG309 – Fenômenos de Transporte III Prof. Dr. Marcelo José Pirani Departamento de Engenharia Mecânica UFBA – Universidade Federal da Bahia

2 CAPÍTULO 5 - CONDUÇÃO TRANSIENTE Introdução Trata da transferência de calor por condução em regime não-estacionário, ou seja, dependente do tempo. Objetivo Desenvolver procedimentos para determinar a dependência da distribuição de temperaturas no interior de um sólido em relação ao tempo durante um processo transiente; Determinar a transferência de calor entre o sólido e a vizinhança.

3 CAPÍTULO 5 - CONDUÇÃO TRANSIENTE 5.1. Método da Capacitância Global Figura 5.1: Resfriamento de um metal quente Admite a hipótese de que a temperatura do sólido é uniforme no espaço, em qualquer instante durante o processo transiente. R cond pequena R conv grande

4 Aplicando a equação da Energia Fazendo Separando as variáveis e integrando a partir das condições iniciais e onde (5.1) (5.2) (5.4) (5.3) 5.1. Método da Capacitância Global

5 Efetuando as integrações ou (5.6) (5.5) 5.1. Método da Capacitância Global

6 Interpretando como uma constante de tempo térmica: (5.7) 5.1. Método da Capacitância Global onde - Resistência a transferência de calor por convecção - Capacitância térmica global do sólido

7 A distribuição de temperatura fica: 5.1. Método da Capacitância Global Qualquer aumento em R t ou C t causará uma resposta mais lenta do sólido a mudanças em seu ambiente térmico. Esse comportamento é análogo ao decaimento da voltagem que ocorre quando uma capacitor é descarregado através de um resistor em um circuito elétrico RC

8 Para determinar o total de energia transferida Q Substituindo da equação (5.6) 5.1. Método da Capacitância Global integrando Obs.:

9 ou ou ainda 5.1. Método da Capacitância Global finalmente (5.8a)

10 5.1. Método da Capacitância Global Q está relacionada com a variação de energia interna do sólido (5.8b)

11 Seja considerada a figura a seguir 5.2. Validade do Método da Capacitância Global Para regime estacionário Rearranjando onde É o Número de Biot (5.9)

12 Para a utilização do Método da Capacitância Global, deve-se ter: 5.2. Validade do Método da Capacitância Global (5.10) Fornece uma medida da queda de temperatura no sólido em relação a diferença de temperatura entre a superfície e o fluido onde Escala de comprimento correspondente a máxima diferença espacial de temperatura

13 5.2. Validade do Método da Capacitância Global Fornece uma medida da queda de temperatura no sólido em relação a diferença de temperatura entre a superfície e o fluido

14 5.2. Validade do Método da Capacitância Global onde Por conveniência define-se: Volume do sólido Área superficial do sólido

15 5.2. Validade do Método da Capacitância Global Escrevendo o expoente da equação em função de L c Retomando a equação (5.6) Multiplicando o numerador e o denominador por L c k

16 5.2. Validade do Método da Capacitância Global Então Definindo e lembrando que resulta: (5.13)

17 Exemplo 5.1 Uma placa de alumínio [k=160W/(m o C), = 2790 kg/m 3, c p =0,88kJ/(kg o C ) ] com L=3cm de espessura e uma temperatura uniforme T 0 =225 o C é repentinamente imersa em um fluido agitado, mantido a uma temperatura constante T oo =25 o C. O coeficiente de transferência de calor entre a placa e o fluido é h=320 W/(m 2 o C). Determine o tempo necessário para que o centro da placa atinja 50 o C.

18 Exemplo 5.1 Verificação do número de Biot A capacitância global pode ser aplicada pois Bi é menor que 0,1 Utilizando a equação (5.6)

19 Exemplo 5.1 substituindo os valores

20 Exercícios Exercício 5.5 do Incropera Bolas de aço com 12mm de diâmetro são temperadas pelo aquecimento a 1150K seguido pelo resfriamento lento até 400K em um ambiente com ar a T =325K e h=20W/m 2 K. Supondo que as propriedades do aço sejam k=40W/mK, =7800kg/m 3 e c=600J/kgK. Estime o tempo necessário para o processo de resfriamento.

21 Exercícios Exercício 5.7 do Incropera O coeficiente de transferência de calor para o ar escoando sobre uma esfera deve ser determinado pela observação do comportamento dinâmico da temperatura de uma esfera, que é fabricada de cobre puro. A esfera que possui 12,7mm de diâmetro, encontra-se a 66 o C antes de ser inserida em uma corrente de ar que tem a temperatura de 27 o C. Um termopar sobre a superfície externa da esfera indica 55 o C após 69s da inserção da esfera na corrente de ar. Admita e então justifique, que a esfera se comporta como um objeto espacialmente isotérmico e calcule o coeficiente de transferência de calor.

22 5.3. Análise Geral Via Capacitância Global Seja considerada a figura a seguir

23 5.3. Análise Geral Via Capacitância Global Aplicando o balanço de energia, tem-se: (5.14) (5.15)

24 5.3. Análise Geral Via Capacitância Global Uma solução exata pode ser encontrada, admitindo-se a ausência de fluxo térmico, de geração de energia e de convecção na equação (5.15), ou seja: Separando as variáveis e aplicando a integral (5.16) (5.17)

25 5.3. Análise Geral Via Capacitância Global Efetuando a integral, resulta: Obs.: (5.18) Repetindo a equação

26 5.3. Análise Geral Via Capacitância Global Para a situação onde T viz =0 (radiação para o espaço infinito), da equação (5.17) Resolvendo, tem-se: (5.19)

27 5.3. Análise Geral Via Capacitância Global Outra situação onde se pode encontrar uma solução exata ocorre se, na equação (5.15), for desprezada a radiação e se h for independente do tempo. Nessa situação: Onde:, e (5.20) (5.15)

28 5.3. Análise Geral Via Capacitância Global Eliminando a não homogeneidade pela introdução da transformação: Torna-se: Separando as variáveis e integrando de 0 até t ( até ) (5.21) (5.22) (5.23)

29 5.3. Análise Geral Via Capacitância Global Substituindo as definições de e, Donde (5.24) (5.25)

30 5.4. Efeitos Espaciais Quando os gradientes de temperatura no interior do meio não são desprezíveis a aplicação do Método da Capacitância Global é inadequada e outras alternativas de abordagem devem ser utilizadas. Em problemas de condução transiente de calor uma alternativa é a solução da equação do calor desenvolvida no Capítulo 2. No caso de coordenadas retangulares a equação de calor tem a forma: (2.17)

31 5.4. Efeitos Espaciais Considerando uma parede plana, sistema unidimensional, sem geração interna e k constante, a equação de calor toma a forma: (5.26) Para resolver a equação (5.26) é necessário especificar uma condição inicial e duas condições de contorno: (5.27) (5.28) (5.29)

32 5.4. Efeitos Espaciais As temperaturas na parede dependem de uma série de parâmetros físicos, como segue: Para reduzir a quantidade de parâmetros físicos e facilitar o tratamento do problema a adimensionalização das equações pode ser utilizada, como segue:

33 5.4. Efeitos Espaciais Temperaturas adimensional Coordenada espacial adimensional Tempo adimensional

34 5.4. Efeitos Espaciais A equação da condução de calor juntamente com as condições de contorno na forma adimensional tomam a forma Condições iniciais e de contorno. (5.34) (5.35) (5.36) (5.37)

35 5.4. Efeitos Espaciais A dependência funcional fica: (5.38) Comparando com a equação (5.30) Para uma dada geometria a distribuição transiente de temperatura é uma função universal de e

36 5.5. A Parede Plana com Convecção Figura 5.6a: Sistema unidimensional com temperatura inicial uniforme submetido subitamente a condições convectivas.

37 5.5. A Parede Plana com Convecção Solução exata A solução da equação (5.34) com as condições iniciais e de contorno dadas pelas equações de (3.35), (5.36) e (5.37) é dada por: Onde: (5.39a) (5.39b) (5.39c)

38 5.5. A Parede Plana com Convecção Solução aproximada ou onde (5.40a) Para Fo > 0,2 * pode ser aproximado pelo 1 º termo da série (5.40b)

39 5.5. A Parede Plana com Convecção Transferência total de energia fazendo: segue ou

40 5.5. A Parede Plana com Convecção Transferência total de energia Adimensionalisando com a grandeza resulta Utilizando * dado pela Eq (5.40b) e integrando, resulta:

41 5.6. Sistemas Radiais com Convecção Para um cilindro ou uma esfera com raio r o (Figura 5.6b) inicialmente a uma temperatura uniforme, resultados semelhantes aos obtidos para parede plana podem ser obtidos. Figura 5.6b: Cilindro infinito ou esfera.

42 5.6. Sistemas Radiais com Convecção Soluções Exatas J 1 e J o são funções de Bessel Cilindro Infinito (válido para L/r o 10) (5.47a) (5.47b) (5.47c)

43 5.6. Sistemas Radiais com Convecção Soluções Exatas Esfera (5.48a) (5.48b) (5.48c)

44 5.6. Sistemas Radiais com Convecção Soluções Aproximadas Cilindro Infinito (Válida para Fo 0,2) (5.49a) (5.49b) (5.49c)

45 5.6. Sistemas Radiais com Convecção Soluções Aproximadas Esfera (Válida para Fo 0,2) (5.50a) (5. 50b) (5. 50c)

46 5.6. Sistemas Radiais com Convecção Soluções Aproximadas Coeficientes 1 e C 1 para parede plana, cilindro e esfera

47 Transferência total de energia Cilindro Infinito Esfera (5.51) (5.52)

48 EXERCÍCIOS Exercício Incropera Têmpera é um processo no qual o aço é reaquecido e, então, resfriado para ficar menos quebradiço. Seja o estágio de reaquecimento para uma placa de aço com 100mm de espessura ( =7830kg/m 3, c=550J/kgK, k=48W/mK) que está inicialmente a uma temperatura uniforme de T i =200 o C e deve ser aquecida a uma temperatura máxima de 550 o C. O aquecimento é efetuado em um forno de fogo direto, onde produtos de combustão a T =800 o C mantém um coeficiente de transferência de calor de h=250W/m 2 K em ambas as superfícies da placa. Quanto tempo a placa deve ser deixada dentro do forno?

49 EXERCÍCIOS Exercício – Prova de Considerar o processo de preparação de ovos cozidos. Um ovo comum pode ser aproximado por uma esfera com 55mm de diâmetro e propriedades iguais as da água ( =999kg/m 3, c=4184J/kgK, k=0,598W/mK). Inicialmente, os ovos apresentam temperatura uniforme, igual a 6 o C, quando são colocados em água fervente, a 100 o C. O coeficiente de transferência de calor da água em ebulição é estimado em 1400W/m 2o C e os ovos podem ser considerados cozidos depois de permanecer um minuto com temperatura mínima de 75 o C. Contudo, o aquecimento acima de 80 o C leva a um endurecimento indesejado do produto. a) Admitindo que seja válido, aplicar o método da capacitância global para determinar o tempo mínimo de cozimento dos ovos e se os mesmos terão endurecido demais até o final do processo; b) Levando em conta os efeitos espaciais, determinar o tempo mínimo de cozimento; c) Admitindo que o resultado do item anterior seja 20 minutos (pode não ser), determinar qual a espessura da camada que fica endurecida demais no processo; d) Discutir, tendo como base as resistências de condução e de convecção da superfície, qual a validade das soluções obtidas nos itens anteriores.

50 5.7. Sólido Semi-Infinito Idealização de um sólido finito de grande espessura Figura 5.7: Sólido Semi-Infinito, três condições de superfície.

51 5.7. Sólido Semi-Infinito Governado pela Equação (5.26) (5.26) (5.27) (5.53)

52 5.7. Sólido Semi-Infinito Figura 5.7: Distribuições de temperatura em um sólido semi-infinito para as três condições na superfície

53 5.7. Sólido Semi-Infinito Caso 1: Temperatura na superfície constante (5.57) (5.58) Função erro de Gauss tabelada no apêndice B

54 5.7. Sólido Semi-Infinito Caso 2: Fluxo Térmico na superfície constante Caso 3: Convecção na superfície (5.59) (5.60) Função erro complementar de Gauss


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