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TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA.

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1 TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA

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3 caso contínuo: aplica-se à divisão de objectos que podem ser divididos numa grande variedade de partes, por exemplo, bolos, pizzas, terrenos, dinheiro, etc.; caso contínuo: aplica-se à divisão de objectos que podem ser divididos numa grande variedade de partes, por exemplo, bolos, pizzas, terrenos, dinheiro, etc.; caso discreto: aplica-se à divisão de objectos que não podem ser subdivididos em partes mais pequenas (ou não tão facilmente divisíveis), por exemplo, casas, rebuçados por crianças, lugares num parlamento; caso discreto: aplica-se à divisão de objectos que não podem ser subdivididos em partes mais pequenas (ou não tão facilmente divisíveis), por exemplo, casas, rebuçados por crianças, lugares num parlamento; caso misto: aplica-se à divisão de um conjunto constituído por objectos dos dois tipos acima referidos, por exemplo, uma herança constituída por um carro e algum dinheiro. caso misto: aplica-se à divisão de um conjunto constituído por objectos dos dois tipos acima referidos, por exemplo, uma herança constituída por um carro e algum dinheiro. caso contínuo: aplica-se à divisão de objectos que podem ser divididos numa grande variedade de partes, por exemplo, bolos, pizzas, terrenos, dinheiro, etc.; caso contínuo: aplica-se à divisão de objectos que podem ser divididos numa grande variedade de partes, por exemplo, bolos, pizzas, terrenos, dinheiro, etc.; caso discreto: aplica-se à divisão de objectos que não podem ser subdivididos em partes mais pequenas (ou não tão facilmente divisíveis), por exemplo, casas, rebuçados por crianças, lugares num parlamento; caso discreto: aplica-se à divisão de objectos que não podem ser subdivididos em partes mais pequenas (ou não tão facilmente divisíveis), por exemplo, casas, rebuçados por crianças, lugares num parlamento; caso misto: aplica-se à divisão de um conjunto constituído por objectos dos dois tipos acima referidos, por exemplo, uma herança constituída por um carro e algum dinheiro. caso misto: aplica-se à divisão de um conjunto constituído por objectos dos dois tipos acima referidos, por exemplo, uma herança constituída por um carro e algum dinheiro.

4 Caso Contínuo Método do divisor-selector Método do divisor-único Método do selector-único Método do último a diminuir Método da faca deslizante Método do divisor-selector Método do divisor-único Método do selector-único Método do último a diminuir Método da faca deslizante Divisão Justa

5 DIVISÃO JUSTA Partilhar de forma justa um conjunto S de objectos por um conjunto de N jogadores consiste em dividir S de forma a que cada um dos N jogadores receba uma parte justa, isto é, receba uma parte que, na sua opinião, valha pelo menos 1/N do valor total de S.

6 O processo é interno Os jogadores devem agir de forma racional Os jogadores não devem ter conhecimento das preferências dos outros jogadores O processo é interno Os jogadores devem agir de forma racional Os jogadores não devem ter conhecimento das preferências dos outros jogadores

7 MÉTODO DO DIVISOR-SELECTOR 1º Passo: O jogador P1 divide o conjunto S em duas partes; 2º Passo: O jogador P2 escolhe uma das partes; 3º Passo: O jogador P1 fica com a parte que P2 não escolheu; 1º Passo: O jogador P1 divide o conjunto S em duas partes; 2º Passo: O jogador P2 escolhe uma das partes; 3º Passo: O jogador P1 fica com a parte que P2 não escolheu;

8 Exercício: Exercício: O Nuno e a Liliana pretendem dividir um bolo de morango e chocolate, no valor de 24. O Nuno prefere chocolate três vezes mais do que morango e a Liliana prefere chocolate duas vezes mais do que morango. O Nuno e a Liliana pretendem dividir um bolo de morango e chocolate, no valor de 24. O Nuno prefere chocolate três vezes mais do que morango e a Liliana prefere chocolate duas vezes mais do que morango. ?

9 Se o Nuno for o divisor, quais das seguintes divisões serão possíveis? 1ªdivisão 2ªdivisão 3ªdivisão 4ªdivisão 5ªdivisão Visão do Nuno

10 Para cada uma das divisões, de acordo com o sistema de valores do Nuno, qual a melhor escolha para a Liliana? Visão da Liliana Note que… Se fosse a Liliana a divisora, provavelmente, a divisão não seria a mesma; Se fosse a Liliana a divisora, provavelmente, a divisão não seria a mesma; Este método pode ainda funcionar para um nº de jogadores igual a uma potência de 2. Este método pode ainda funcionar para um nº de jogadores igual a uma potência de 2. Note que… Se fosse a Liliana a divisora, provavelmente, a divisão não seria a mesma; E Este método pode ainda funcionar para um nº de jogadores igual a uma potência de 2.

11 MÉTODO DO DIVISOR ÚNICO Divisão: O divisor, suponhamos P1, divide o conjunto S em três partes iguais, de acordo com o seu sistema de valores. Declaração: Cada selector declara secretamente quais das três partes são na sua opinião justas. Note-se que poderá escolher mais do que uma. Distribuição: A distribuição dependerá das declarações do passo anterior dando origem a três casos distintos: Divisão: O divisor, suponhamos P1, divide o conjunto S em três partes iguais, de acordo com o seu sistema de valores. Declaração: Cada selector declara secretamente quais das três partes são na sua opinião justas. Note-se que poderá escolher mais do que uma. Distribuição: A distribuição dependerá das declarações do passo anterior dando origem a três casos distintos:

12 MÉTODO DO DIVISOR ÚNICO CASO 1: Cada selector declara partes distintas e não mais do que uma. CASO 1: Cada selector declara partes distintas e não mais do que uma. Partes S1 S2 S3 P1 P1 Jogadores P2 P3 P Notação: 1 – parte declarada 0 – parte não declarada Notação: 1 – parte declarada 0 – parte não declarada

13 MÉTODO DO DIVISOR ÚNICO CASO 2: No máximo uma das partes não é declarada. CASO 2: No máximo uma das partes não é declarada. Partes S1 S2 S3 P1 P1 Jogadores P2 P3 P Notação: 1 – parte declarada 0 – parte não declarada Notação: 1 – parte declarada 0 – parte não declarada

14 MÉTODO DO DIVISOR ÚNICO CASO 3: Os selectores declaram as mesmas partes. Há mais do que uma parte não declarada. CASO 3: Os selectores declaram as mesmas partes. Há mais do que uma parte não declarada. Partes S1 S2 S3 P1 P1 Jogadores P2 P3 P Notação: 1 – parte declarada 0 – parte não declarada Notação: 1 – parte declarada 0 – parte não declarada

15 Neste caso: O divisor fica com um dos pedaços não declarados pelos selectores (escolhido aleatoriamente). O divisor fica com um dos pedaços não declarados pelos selectores (escolhido aleatoriamente). Os restantes dois pedaços juntam-se e aplica-se o método do Divisor-Selector. Os restantes dois pedaços juntam-se e aplica-se o método do Divisor-Selector. Neste caso: O divisor fica com um dos pedaços não declarados pelos selectores (escolhido aleatoriamente). O divisor fica com um dos pedaços não declarados pelos selectores (escolhido aleatoriamente). Os restantes dois pedaços juntam-se e aplica-se o método do Divisor-Selector. Os restantes dois pedaços juntam-se e aplica-se o método do Divisor-Selector. MÉTODO DO DIVISOR ÚNICO

16 MÉTODO DO SELECTOR ÚNICO Primeira divisão: Os dois divisores dividem S em duas partes justas usando o método do divisor-selector. Segunda divisão: Cada um dos divisores divide a sua parte em três porções. Selecção: O selector escolhe agora uma das três porções de cada um dos divisores para si, ficando cada divisor com o que restou das suas partes. Primeira divisão: Os dois divisores dividem S em duas partes justas usando o método do divisor-selector. Segunda divisão: Cada um dos divisores divide a sua parte em três porções. Selecção: O selector escolhe agora uma das três porções de cada um dos divisores para si, ficando cada divisor com o que restou das suas partes.

17 EXEMPLO: A mãe da Tânia, da Patrícia e do Carlos comprou-lhes um bolo de morango e laranja para o lanche. O bolo custou 12.

18 Suponhamos que: A Tânia e a Patrícia são os divisores e o Carlos é o selector. 1ª divisão:

19 2ª divisão:

20 Visão do Carlos Selecção:

21 O que é importante é o valor e não o tamanho de cada parcela, para quem a recebe. O que é importante é o valor e não o tamanho de cada parcela, para quem a recebe. No final da divisão cada um deles obtém uma parte que equivale a pelo menos 1/3 do valor total do bolo (neste caso 4). No final da divisão cada um deles obtém uma parte que equivale a pelo menos 1/3 do valor total do bolo (neste caso 4). O que é importante é o valor e não o tamanho de cada parcela, para quem a recebe. O que é importante é o valor e não o tamanho de cada parcela, para quem a recebe. No final da divisão cada um deles obtém uma parte que equivale a pelo menos 1/3 do valor total do bolo (neste caso 4). No final da divisão cada um deles obtém uma parte que equivale a pelo menos 1/3 do valor total do bolo (neste caso 4). Conclusões:

22 MÉTODO DO ÚLTIMO A DIMINUIR 1º Passo: O jogador P1 escolhe uma parte de S que considera corresponder a ¼ de S. 2º Passo: De seguida o jogador P2 pode: Concordar com a divisão feita por P1 e passar a sua vez ao jogador P3. Discordar com a divisão e diminuir a porção escolhida por P1. 1º Passo: O jogador P1 escolhe uma parte de S que considera corresponder a ¼ de S. 2º Passo: De seguida o jogador P2 pode: Concordar com a divisão feita por P1 e passar a sua vez ao jogador P3. Discordar com a divisão e diminuir a porção escolhida por P1.

23 MÉTODO DO ÚLTIMO A DIMINUIR 3º Passo: Os jogadores P3 e P4, de acordo com a parcela que está agora em jogo, irão proceder do mesmo modo que P2. 4º Passo: Depois de todos os jogadores terem actuado sobre a parcela, esta é atribuída ao último jogador que optar por diminui-la, saindo assim do jogo. 5º Passo: O processo repete-se novamente (com menos um jogador) uma e outra vez até que ficam apenas dois jogadores. 3º Passo: Os jogadores P3 e P4, de acordo com a parcela que está agora em jogo, irão proceder do mesmo modo que P2. 4º Passo: Depois de todos os jogadores terem actuado sobre a parcela, esta é atribuída ao último jogador que optar por diminui-la, saindo assim do jogo. 5º Passo: O processo repete-se novamente (com menos um jogador) uma e outra vez até que ficam apenas dois jogadores.

24 Exercício: Quatro estudantes (João, Tiago, Inês e Maria), numa sessão contínua de estudo, decidem encomendar uma pizza Marguerita e utilizar o método do último a diminuir, que estão a estudar para a dividir. Sabendo que na 1ª volta ninguém diminui e na 2ª volta só o Tiago e a Inês diminuem... Quem fica com a primeira fatia? Quem fica com a primeira fatia? Quem corta a fatia no início da 2ª volta? Quem corta a fatia no início da 2ª volta? Quem fica com a segunda fatia? Quem fica com a segunda fatia? Quantas voltas são necessárias para que todos obtenham uma fatia? Quantas voltas são necessárias para que todos obtenham uma fatia? Sabendo que na 1ª volta ninguém diminui e na 2ª volta só o Tiago e a Inês diminuem... Quem fica com a primeira fatia? Quem fica com a primeira fatia? Quem corta a fatia no início da 2ª volta? Quem corta a fatia no início da 2ª volta? Quem fica com a segunda fatia? Quem fica com a segunda fatia? Quantas voltas são necessárias para que todos obtenham uma fatia? Quantas voltas são necessárias para que todos obtenham uma fatia?

25 MÉTODO DA FACA DESLIZANTE 1º Passo: Alguém que não pretende ficar com nenhuma fatia do bolo move a faca contínua e lentamente sobre a porção do bolo; 2º Passo: Um dos jogadores dirá pára a qualquer momento; 3º Passo: Quando tal acontecer o bolo será cortado ficando a respectiva fatia para esse jogador; 1º Passo: Alguém que não pretende ficar com nenhuma fatia do bolo move a faca contínua e lentamente sobre a porção do bolo; 2º Passo: Um dos jogadores dirá pára a qualquer momento; 3º Passo: Quando tal acontecer o bolo será cortado ficando a respectiva fatia para esse jogador;

26 Caso Discreto Método das Licitações Fechadas Método dos Marcadores Método Convencional Método de Hamilton Método de Jefferson Método de Adams Método de Webster Método de Huntington-Hill Método de Hondt Método das Licitações Fechadas Método dos Marcadores Método Convencional Método de Hamilton Método de Jefferson Método de Adams Método de Webster Método de Huntington-Hill Método de Hondt Divisão Justa Divisão Proporcional

27 DIVISÃO JUSTA objectos diferentes objectos diferentes jogadores idênticos jogadores idênticos objectos diferentes objectos diferentes jogadores idênticos jogadores idênticos

28 Método das Licitações Fechadas Este método é dos mais importantes para problemas deste tipo e muito utilizado no que diz respeito a heranças. Consiste em atribuir valores monetários aos objectos e consequentemente dividi-los em partes justas, isto é, cada indivíduo terá que despender ou receber dinheiro. Este método é dos mais importantes para problemas deste tipo e muito utilizado no que diz respeito a heranças. Consiste em atribuir valores monetários aos objectos e consequentemente dividi-los em partes justas, isto é, cada indivíduo terá que despender ou receber dinheiro.

29 Processa-se em 4 fases: Licitação Distribuição Pagamento Excesso Processa-se em 4 fases: Licitação Distribuição Pagamento Excesso Método das Licitações Fechadas

30 Licitação: Cada indivíduo atribui um valor monetário a cada objecto.

31 Distribuição: esta etapa diz respeito à distribuição dos objectos pelos indivíduos. Cada objecto caberá ao jogador que lhe atribuir maior valor.

32 Pagamento: Cada indivíduo terá de pagar/receber dinheiro consoante a sua proposta for superior/inferior à sua parte justa. A parte justa varia consoante as licitações de cada jogador e calcula-se através da razão entre a soma das suas licitações e o número de jogadores.

33 Excesso: Consiste em dividir o dinheiro em excesso de modo a que cada jogador receba a mesma quantia.

34 Para que este método seja honesto terão de se verificar as seguintes condições: cada indivíduo deve fazer a sua própria licitação sem conhecer a proposta dos restantes (uma forma de o fazer será através de envelopes fechados); cada indivíduo deve ter dinheiro suficiente para as suas licitações; cada indivíduo deve aceitar dinheiro em substituição do objecto. Para que este método seja honesto terão de se verificar as seguintes condições: cada indivíduo deve fazer a sua própria licitação sem conhecer a proposta dos restantes (uma forma de o fazer será através de envelopes fechados); cada indivíduo deve ter dinheiro suficiente para as suas licitações; cada indivíduo deve aceitar dinheiro em substituição do objecto. Método das Licitações Fechadas

35 EXEMPLO: Após o falecimento do Sr. João, os seus quatro filhos, cujos nomes são respectivamente Ana, Pedro, Rita e Luís viram-se obrigados a partilhar os bens do seu pai. O Sr. João possuía uma casa, um cavalo e uma mota de água. EXEMPLO: Após o falecimento do Sr. João, os seus quatro filhos, cujos nomes são respectivamente Ana, Pedro, Rita e Luís viram-se obrigados a partilhar os bens do seu pai. O Sr. João possuía uma casa, um cavalo e uma mota de água. Método das Licitações Fechadas

36 Foram de comum acordo em utilizar o Método das Licitações Fechadas. Vejamos como se processam as fases de: Licitação Distribuição Pagamento Excesso Foram de comum acordo em utilizar o Método das Licitações Fechadas. Vejamos como se processam as fases de: Licitação Distribuição Pagamento Excesso Método das Licitações Fechadas

37 Os filhos do Sr. João fazem as suas propostas, isto é, atribuem um valor monetário aos bens. A tabela seguinte evidencia tais valores: Os filhos do Sr. João fazem as suas propostas, isto é, atribuem um valor monetário aos bens. A tabela seguinte evidencia tais valores: Licitação: LUÍSRITAPEDROANA

38 LUÍS Distribuição: Surgem então as seguintes questões: - O que recebe afinal a Ana? - Não está a ser prejudicada? É o que vamos responder de seguida! Surgem então as seguintes questões: - O que recebe afinal a Ana? - Não está a ser prejudicada? É o que vamos responder de seguida! RITA PEDRO ANA

39 Qual a parte justa dos bens relativamente a cada herdeiro? Pagamento: ANAPEDRORITALUÍS Soma das licitações Parte justa

40 Esta é a altura em que é necessário abrir uma conta em nome da herança (banca). Comparando o valor do objecto recebido por cada herdeiro com o valor que ele estimou ser a sua parte justa, cada indivíduo terá de pagar à/receber da banca consoante o valor da parte justa for superior/inferior ao valor do objecto obtido. Torna-se assim evidente que se a um dos herdeiros não for atribuído nenhum objecto ele terá que ser reembolsado pela banca, este valor não é mais do que o que este considera ser a sua parte justa da herança. Esta é a altura em que é necessário abrir uma conta em nome da herança (banca). Comparando o valor do objecto recebido por cada herdeiro com o valor que ele estimou ser a sua parte justa, cada indivíduo terá de pagar à/receber da banca consoante o valor da parte justa for superior/inferior ao valor do objecto obtido. Torna-se assim evidente que se a um dos herdeiros não for atribuído nenhum objecto ele terá que ser reembolsado pela banca, este valor não é mais do que o que este considera ser a sua parte justa da herança. Pagamento:

41 Vejamos o que acontecerá a cada um dos herdeiros neste exemplo concreto: Pagamento: LUÍS = ANA RITA = PEDRO = ReceberReceber ReceberReceber ReceberReceber PagarPagar

42 Feitas as operações bancárias temos: = Sobram assim na conta criada em nome da herança Logo dividimos este valor pelos quatro herdeiros. Cabe assim a cada um ( / 4 = 8 500) Feitas as operações bancárias temos: = Sobram assim na conta criada em nome da herança Logo dividimos este valor pelos quatro herdeiros. Cabe assim a cada um ( / 4 = 8 500) Excesso:

43 Temos assim: Excesso: PEDRO = PEDRO = LUÍS = RITA = ANA = PagouPagou RecebeuRecebeu RecebeuRecebeu RecebeuRecebeu

44 Globalmente temos: LUISLUISRITARITAPEDROPEDROANAANA

45 Relativamente à sua própria avaliação: LUÍS = RITA = PEDRO = PEDRO = ANA RecebeRecebe RecebeRecebe RecebeRecebe RecebeRecebe

46 Isto mostra que: Todos acabam por receber mais do que aquilo que consideravam justo! Todos acabam por receber mais do que aquilo que consideravam justo! Nenhum dos herdeiros tem assim motivo para se considerar injustiçado! Nenhum dos herdeiros tem assim motivo para se considerar injustiçado! Isto mostra que: Todos acabam por receber mais do que aquilo que consideravam justo! Todos acabam por receber mais do que aquilo que consideravam justo! Nenhum dos herdeiros tem assim motivo para se considerar injustiçado! Nenhum dos herdeiros tem assim motivo para se considerar injustiçado! Relativamente à sua própria avaliação:

47 Método dos Marcadores Supondo que temos N indivíduos pelos quais queremos distribuir M objectos, este método consiste em: alinhar por uma ordem fixa durante todo o processo de divisão, os M objectos a partilhar (normalmente para esta sequência utilizam-se Arrays); de seguida cabe a cada indivíduo partir a sequência em N partes que ele considera justas, de forma a que os restantes não tenham conhecimento da maneira como o fez. no final cada indivíduo ficará com uma das N partes da sequência que considerou justa não sabendo, à priori, qual delas. Supondo que temos N indivíduos pelos quais queremos distribuir M objectos, este método consiste em: alinhar por uma ordem fixa durante todo o processo de divisão, os M objectos a partilhar (normalmente para esta sequência utilizam-se Arrays); de seguida cabe a cada indivíduo partir a sequência em N partes que ele considera justas, de forma a que os restantes não tenham conhecimento da maneira como o fez. no final cada indivíduo ficará com uma das N partes da sequência que considerou justa não sabendo, à priori, qual delas.

48 EXEMPLO: Após o Euro 2004, a UEFA decidiu, em conjunto com as Federações de Futebol de cada país interveniente neste evento, que seriam doados equipamentos dos jogadores das diferentes selecções a instituições de caridade de cada país. A Federação Portuguesa de Futebol decidiu distribuir estes equipamentos pelas seguintes instituições: - Casa do Gaiato - Santa Casa da Misericórdia - APPACDM EXEMPLO: Após o Euro 2004, a UEFA decidiu, em conjunto com as Federações de Futebol de cada país interveniente neste evento, que seriam doados equipamentos dos jogadores das diferentes selecções a instituições de caridade de cada país. A Federação Portuguesa de Futebol decidiu distribuir estes equipamentos pelas seguintes instituições: - Casa do Gaiato - Santa Casa da Misericórdia - APPACDM Método dos Marcadores

49 A Portugal couberam os seguintes equipamentos : Método dos Marcadores 2 equipamentos do Beckham 1 equipamento do Raul 2 equipamentos do Beckham 1 equipamento do Raul 2 equipamentos do Zidane 1 equipamento do Poborsky 2 equipamentos do Zidane 1 equipamento do Poborsky 1 equipamento do Nikopolidis 1 equipamento do C. Ronaldo 1 equipamento do Nikopolidis 1 equipamento do C. Ronaldo 3 equipamentos do Figo 1 equipamento do R. Carvalho 3 equipamentos do Figo 1 equipamento do R. Carvalho

50 Aleatoriamente, colocam-se os equipamentos por ordem e numeram-se como se indica a seguir: Método dos Marcadores Seguidamente, os representantes de cada instituição marcam em anonimato (por exemplo num papel) os segmentos da sequência que consideram como partes justas.

51 Método dos Marcadores Obtemos a seguinte divisão: C 1 C 2 A 1 A 2 S 1 S 2 Notar que: - C1 e C2 dizem respeito à Casa do Gaiato; - S1 e S2 dizem respeito à Santa Casa da Misericórdia; - A1 e A2 dizem respeito à APPACDM. Notar que: - C1 e C2 dizem respeito à Casa do Gaiato; - S1 e S2 dizem respeito à Santa Casa da Misericórdia; - A1 e A2 dizem respeito à APPACDM.

52 De seguida faz-se a distribuição dos equipamentos pelos representantes das 3 instituições, isto é, é atribuído um segmento a cada instituição. Observa-se assim a linha da esquerda para a direita até encontrar o primeiro marcador respeitante ao primeiro conjunto de marcadores. Neste exemplo, o primeiro marcador que encontramos (C1) diz respeito à Casa do Gaiato pelo que lhe é entregue o seu segmento (1). De seguida faz-se a distribuição dos equipamentos pelos representantes das 3 instituições, isto é, é atribuído um segmento a cada instituição. Observa-se assim a linha da esquerda para a direita até encontrar o primeiro marcador respeitante ao primeiro conjunto de marcadores. Neste exemplo, o primeiro marcador que encontramos (C1) diz respeito à Casa do Gaiato pelo que lhe é entregue o seu segmento (1). Método dos Marcadores Casa do Gaiato: 1

53 A Casa do Gaiato recebe uma parte justa dos equipamentos e os marcadores respeitantes a esta instituição são retirados. Método dos Marcadores A 1 A 2 S 1 S 2 C 1 C 2

54 Procura-se de seguida o primeiro do segundo conjunto de marcadores. Uma vez que encontramos dois (A2 e S2) na mesma posição, qual deles devemos escolher? Vamos tirar à sorte com, por exemplo, o lançamento de uma moeda. Suponhamos que coube à Santa Casa da Misericórdia. Atribui-se a esta instituição o segundo segmento (4-9) que vai do seu primeiro marcador (S1) até ao segundo (S2). Método dos Marcadores Santa Casa da Misericórdia:

55 É a altura de retirar os marcadores respeitantes à Santa Casa da Misericórdia. Método dos Marcadores A 1 A 2 É então trivial que o único segmento que resta para a APPACDM seja o S 1 S 2

56 Método dos Marcadores APPACDM: Mas como podemos ver restam ainda 2 equipamentos para distribuir:

57 O número de equipamentos que resta é demasiado pequeno para aplicar novamente o método. O número de equipamentos que resta é demasiado pequeno para aplicar novamente o método. É de notar que o vamos fazer aleatoriamente, isto é, organiza-se uma ordem pela qual as instituições vão escolher um a um os equipamentos que restam até que estes se esgotem. Neste exemplo estipula-se a seguinte: Casa do Gaiato – Santa Casa da Misericórdia – APPACDM. É de notar que o vamos fazer aleatoriamente, isto é, organiza-se uma ordem pela qual as instituições vão escolher um a um os equipamentos que restam até que estes se esgotem. Neste exemplo estipula-se a seguinte: Casa do Gaiato – Santa Casa da Misericórdia – APPACDM. O representante da Casa do Gaiato escolhe o equipamento do Raul (3), de seguida o representante da Santa Casa da Misericórdia escolhe o equipamento do Zidane (2). Não resta assim mais nenhum equipamento para distribuir pela APPACDM. O representante da Casa do Gaiato escolhe o equipamento do Raul (3), de seguida o representante da Santa Casa da Misericórdia escolhe o equipamento do Zidane (2). Não resta assim mais nenhum equipamento para distribuir pela APPACDM. O número de equipamentos que resta é demasiado pequeno para aplicar novamente o método. O número de equipamentos que resta é demasiado pequeno para aplicar novamente o método. É de notar que o vamos fazer aleatoriamente, isto é, organiza-se uma ordem pela qual as instituições vão escolher um a um os equipamentos que restam até que estes se esgotem. Neste exemplo estipula-se a seguinte: Casa do Gaiato – Santa Casa da Misericórdia – APPACDM. É de notar que o vamos fazer aleatoriamente, isto é, organiza-se uma ordem pela qual as instituições vão escolher um a um os equipamentos que restam até que estes se esgotem. Neste exemplo estipula-se a seguinte: Casa do Gaiato – Santa Casa da Misericórdia – APPACDM. O representante da Casa do Gaiato escolhe o equipamento do Raul (3), de seguida o representante da Santa Casa da Misericórdia escolhe o equipamento do Zidane (2). Não resta assim mais nenhum equipamento para distribuir pela APPACDM. O representante da Casa do Gaiato escolhe o equipamento do Raul (3), de seguida o representante da Santa Casa da Misericórdia escolhe o equipamento do Zidane (2). Não resta assim mais nenhum equipamento para distribuir pela APPACDM. Método dos Marcadores

58 Temos assim a seguinte distribuição final: Método dos Marcadores Casa do Gaiato : Santa Casa da Misericórdia:

59 Método dos Marcadores APPACDM:

60 Após a exposição do método, podemos verificar algumas vantagens e desvantagens deste, que passamos a referir: Método dos Marcadores Vantagens: - não requer dinheiro (ao contrário do método anterior); Desvantagens: - não é eficaz se o número de indivíduos for superior ao número de objectos a distribuir (ao contrário do método anterior); - só é justo em condições restritas, isto é, quando os objectos a dividir são de valores baixos e homogéneos (torna-se assim praticamente impossível dividir de modo justo por exemplo um conjunto de rebuçados e um barco). Vantagens: - não requer dinheiro (ao contrário do método anterior); Desvantagens: - não é eficaz se o número de indivíduos for superior ao número de objectos a distribuir (ao contrário do método anterior); - só é justo em condições restritas, isto é, quando os objectos a dividir são de valores baixos e homogéneos (torna-se assim praticamente impossível dividir de modo justo por exemplo um conjunto de rebuçados e um barco).

61 DIVISÃO PROPORCIONAL objectos iguais jogadores sujeitos a diferentes partes

62 Caso discreto: lugares no parlamento Como se distribuem os 230 lugares da Assembleia da República? Como se processa a transformação de votantes/votos em mandatos? Se o método fosse outro, a distribuição de deputados por círculo/partido eleitoral seria diferente? Qual o melhor método eleitoral?

63 Este é um dos poucos assuntos em que a História, a Política e a Matemática se ligam. Peter Tannenbaum in EXCURSONS IN MODERN MATHEMATICS A Constituição dos E.U.A. estabelece que a legislatura é formada por duas Câmaras: a Câmara dos Representantes, onde cada estado tem um número de representantes que é função da sua população; o Senado, representado por dois senadores de cada estado. (Secções 2 e 3 do artigo 1 da Constituição dos E.U.A.) Filadélfia, 1787

64 O problema da secção 2 Censos eleitorais de 1790 População dos E.U.A.: População do estado Carolina do Norte: Número de membros da Câmara dos Representantes: 105 Número de representantes de Carolina do Norte: Não é um número natural

65 Como exemplo… Mandatos a atribuir: 226 Eleitores inscritos: Número de círculos: Lisboa Viana do Castelo Porto Madeira Braga Vila Real Setúbal Castelo Branco Aveiro Açores Santarém Guarda Leiria Bragança Coimbra Évora Viseu Beja Faro Portalegre108385

66 Conceitos Básicos n: número de círculos p: população total recenseada p i : população do círculo i, i=1,2,…,n m: número de mandatos a i : número de mandatos atribuídos ao círculo i, i=1,2,…,n Divisor eleitoral: Quota do círculo i: pipi D qiqi pipi p =. m = p m D = Quota mínima: [q i ]Quota máxima: [q i ] + 1

67 MÉTODO ELEITORAL Define-se como o mecanismo matemático pelo qual se transformam votantes/votos em mandatos. pipi qiqi aiai p1p1 46, p2p2 37, p3p3 17, p4p4 17, p5p5 15, p6p6 10, p7p7 9, p8p8 9, p9p9 9,131 9 p 10 8,325 8 pipi qiqi aiai p 11 5,946 6 p 12 5,823 6 p 13 5,672 6 p 14 4,859 5 p 15 4,855 5 p 16 4,376 4 p 17 3,851 4 p 18 3,780 4 p 19 3,603 4 p 20 2,819 3 MÉTODO CONVENCIONAL NÃO FUNCIONA i=1 20 m = aiai = D ==

68 Método de Hamilton Calcular o divisor eleitoral; Para cada estado, calcular a quota; Atribuir a cada estado a sua quota mínima; Distribuir os lugares que sobram (um a um) pelos estados, por ordem decrescente das partes decimais das suas quotas.

69 D == 38442,23 pipi qiqi p1p1 46,446 p2p2 37,206 p3p3 17,543 p4p4 17,007 p5p5 15,140 p6p6 10,016 p7p7 9,881 p8p8 9,720 p9p9 9,131 p 10 8,325 pipi qiqi p 11 5,946 p 12 5,823 p 13 5,672 p 14 4,859 p 15 4,855 p 16 4,376 p 17 3,851 p 18 3,780 p 19 3,603 p 20 2,819 [q i ] [q i ] q i -[q i ] 0,4460 0,2060 0,5430 0,0070 0,1400 0,0160 0,8811 0,7201 0,1310 0,3250 q i -[q i ] 0,9461 0,8231 0,6721 0,8591 0,8551 0,3760 0,8511 0,7801 0,6031 0,8191 m m

70 O resultado da divisão de lugares para um estado será sempre a quota máxima ou a quota mínima. Regra da Quota

71 O Paradoxo de Alabama acontece quando um aumento no número total de lugares, força um estado a perder um dos seus lugares. Paradoxo de Alabama Exemplo

72 D == 38272,89 pipi qiqi p1p1 46,651 p2p2 37,370 p3p3 17,621 p4p4 17,083 p5p5 15,207 p6p6 10,060 p7p7 9,925 p8p8 9,763 p9p9 9,171 p 10 8,362 pipi qiqi p 11 5,972 p 12 5,848 p 13 5,697 p 14 4,881 p 15 4,877 p 16 4,395 p 17 3,868 p 18 3,797 p 19 3,619 p 20 2,832 [q i ] [q i ] q i -[q i ] 0,6511 0,3700 0,6211 0,0830 0,2070 0,0600 0,9251 0,7631 0,1710 0,3620 q i -[q i ] 0,9721 0,8481 0,6971 0,8811 0,8771 0,3950 0,8681 0,7971 0,6190 0,8321 m m H H m

73 O Paradoxo da População acontece quando um estado X perde lugares para o estado Y, mesmo que a população de X tenha crescido muito mais do que a de Y. Paradoxo da População Exemplo

74 D == 38197,37 pipi qiqi p1p1 46,019 p2p2 37,020 p3p3 17,787 p4p4 17,014 p5p5 15,015 p6p6 10,012 p7p7 9,945 p8p8 9,784 p9p9 9,010 p 10 8,012 pipi qiqi p 11 5,958 p 12 5,860 p 13 5,787 p 14 4,890 p 15 4,886 p 16 4,718 p 17 3,876 p 18 3,804 p 19 3,765 p 20 2,837 [q i ] [q i ] q i -[q i ] 0,0190 0,0200 0,7871 0,0140 0,0150 0,0120 0,9451 0,7841 0,0100 0,0120 q i -[q i ] 0,9581 0,8601 0,7871 0,8901 0,8861 0,7180 0,8761 0,8041 0,7650 0,8371 m p p3p3 p 19 = = H H m

75 O Paradoxo dos Novos Estados acontece quando a adição de um novo estado, com a sua quota de lugares, pode afectar a divisão de lugares dos outros estados. Paradoxo dos Novos Estados Exemplo

76 D == 38558,94 pipi qiqi p1p1 46,305 p2p2 37,093 p3p3 17,490 p4p4 16,956 p5p5 15,095 p6p6 9,986 p7p7 9,851 p8p8 9,690 p9p9 9,103 p 10 8,300 p 11 5,928 pipi qiqi p 12 5,805 p 13 5,655 p 14 4,844 p 15 4,840 p 16 4,684 p 17 4,363 p 18 3,839 p 19 3,768 p 20 3,592 p 21 2,811 [q i ] [q i ] q i -[q i ] 0,3050 0,0930 0,4900 0,9561 0,0950 0,9861 0,8511 0,6901 0,1030 0,3000 0,9281 q i -[q i ] 0,8051 0,6551 0,8441 0,8401 0,6841 0,3630 0,8391 0,7681 0,5920 0,8111 m m H H Novo Estado: círculo - países estrangeiros população de p

77 Análise Favorece os estados… Paradoxo dos Novos Estados Paradoxo da População Paradoxo de Alabama Viola a regra da quota grandes Sim Não H grandes Não Sim J pequenos Não Sim A pequenos Não Sim W Teorema da Impossibilidade de Balinski e Young: Não há métodos de divisão proporcional perfeitos. Qualquer método de divisão proporcional que não viole a regra da quota produz paradoxos, e qualquer método de divisão proporcional que não produza paradoxos viola a regra da quota.

78 Método de Jefferson Encontrar o número D (divisor eleitoral) tal que, quando as quotas modificadas dos vários estados (população do estado a dividir por D) são arredondadas por defeito (quota mínima modificada), a soma dessas quotas dá exactamente o número de lugares a distribuir; Atribuir a cada estado a quota mínima (modificada). = [ p1p1 D ] + [ p2p2 D ] + [ pnpn D ] + … m

79 D = 38442,23 pipi qiqi p1p1 48,256 p2p2 38,656 p3p3 18,227 p4p4 17,670 p5p5 15,731 p6p6 10,407 p7p7 10,267 p8p8 10,098 p9p9 9,487 p 10 8,650 pipi qiqi p 11 6,178 p 12 6,050 p 13 5,893 p 14 5,049 p 15 5,044 p 16 4,546 p 17 4,001 p 18 3,927 p 19 3,743 p 20 2,929 [q i ] [q i ] m = 215 (-11) D = m = 226 D = m = 219 (-7) H H

80 Método de Adams Encontrar o número D (divisor eleitoral) tal que, quando as quotas modificadas dos vários estados (população do estado a dividir por D) são arredondadas por excesso (quota máxima modificada), a soma dessas quotas dá exactamente o número de lugares a distribuir; Atribuir a cada estado a quota máxima (modificada). (ou método dos pequenos divisores)

81 D = 38442,23 pipi qiqi p1p1 44,637 p2p2 35,757 p3p3 16,860 p4p4 16,345 p5p5 14,551 p6p6 9,626 p7p7 9,497 p8p8 9,341 p9p9 8,775 p 10 8,001 pipi qiqi p 11 5,714 p 12 5,596 p 13 5,451 p 14 4,670 p 15 4,666 p 16 4,206 p 17 3,701 p 18 3,633 p 19 3,463 p 20 2,710 [q i ] [q i ] m = 235 (+9) D = m = 226 D = m = 230(+4) H H

82 Método de Webster Encontrar o número D (divisor eleitoral) tal que, quando as quotas modificadas dos vários estados (população do estado a dividir por D) são arredondadas pelo processo convencional, a soma dessas quotas dá exactamente o número de lugares a distribuir; Atribuir a cada estado a quota modificada arredondada pelo método convencional.

83 pipi qiqi p1p1 45,782 p2p2 36,674 p3p3 17,292 p4p4 16,764 p5p5 14,924 p6p6 9,873 p7p7 9,740 p8p8 9,581 p9p9 9,000 p 10 8,206 pipi qiqi p 11 5,861 p 12 5,739 p 13 5,591 p 14 4,790 p 15 4,786 p 16 4,313 p 17 3,796 p 18 3,726 p 19 3,551 p 20 2,779 AC AC m = 226 D = H H

84 Método de Huntington-Hill Encontrar o número D (divisor eleitoral) tal que, quando cada quota modificada de estado (população do estado a dividir por D) é arredondada pela regra de Huntington-Hill, o total dos arredondamentos é exactamente o número de lugares a distribuir; Atribuir a cada estado a sua quota modificada arredondada pela regra de Huntington-Hill. Regra de Arredondamento de Huntington-Hill: se a quota está entre L e L+1, o ponto de viragem é H L (L+1). Se a quota é inferior a H, arredonda-se por defeito, caso contrário, arredonda-se por excesso; =

85 pipi qiqi p1p1 45,664 p2p2 36,579 p3p3 17,248 p4p4 16,721 p5p5 14,885 p6p6 9,848 p7p7 9,715 p8p8 9,556 p9p9 8,977 p 10 8,185 pipi qiqi p 11 5,846 p 12 5,725 p 13 5,577 p 14 4,777 p 15 4,773 p 16 4,302 p 17 3,786 p 18 3,716 p 19 3,542 p 20 2,772 m viragem 45,497 36,497 17,493 16,492 14,491 9,487 8,485 m viragem 5,477 4,472 3,464 2,449 H H D = m = 226 D = 38442,23 m = 228(+2)

86 Método dHondt O número de votos apurados por cada lista é dividido, sucessivamente, por 1,2,3,4,etc., sendo os quocientes alinhados por ordem decrescente, numa série de tantos termos quantos os mandatos atribuídos ao círculo eleitoral respectivo; Os mandatos pertencem às listas a que correspondem os termos da série estabelecida pela regra anterior, recebendo cada uma das listas tantos mandatos quantos os seus termos na série; No caso de restar um só mandato para distribuir e de os termos da série serem iguais e de listas diferentes, o mandato cabe à lista que tiver obtido menor número de votos. Apura-se, em separado, o número de votos recebidos por cada lista, no círculo eleitoral respectivo;

87 Círculo eleitoral de Viseu: 9 mandatos Resultados: PPD/PSD =p 1 PS 65410=p 2 CDS-PP22283=p pipi a , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00

88 d1d1 d2d2 DDD [ = [ p1p1 ] + [ p2p2 ] + pnpn ] + … m Método dHondtMétodo de Jefferson dndn Método de Jefferson: Sejamn : = nº partidos; m : = nº de mandatos; p i : = nº de votos do partido i, i=1,…,n, tal que p 1 … p n ; a i := nº de mandatos atribuídos ao partido i.

89 1º passo : d = p 1 p1p1 d = 1 1 = : a 1 pipi d < 1< 1 0 = : a i, i=2,…,n 2º passo : diminui-se d de tal forma que o partido 1 receba o próximo mandato. Então,, isto é, ; o partido i recebe o mandato a i +1 se pipi d [] = a i +1; 3º passo : se já foram atribuídos os m mandatos, termina o processo; senão, volta-se ao 2º passo. n i=1 m aiai d i = pipi a i +1 Atribui-se um mandato ao partido 1 e aos partidos que verificam a condição anterior, por ordem decrescente dos divisores, enquanto. Seja, para i=1,…,n, pipi d [] a i : = p1p1 d = a 1 +1 p1p1 a 1 +1 d :=

90 Círculo eleitoral de Viseu: 9 mandatos PPD/PSD =p 1 PS 65410=p 2 CDS-PP22283=p 3 p2p2 d < 1< 1 a 1 := 1 d = p 1 = a 2 := 0 p3p3 d < 1< 1 a 3 := 0 p1p1 d = 2 =: a 1 d = 54630,5 p2p2 d = 1.2 a 2 := 1 p3p3 d = 0.41 a 3 := 0 p1p1 d = 3 =: a 1 d = 36420,33 p2p2 d = 1.8 a 2 := 1 p3p3 d = 0.61 a 3 := 0 p1p1 d = 4 =: a 1 d = p2p2 d = 2.39 a 2 := 2 p3p3 d = 0.82 a 3 := 0 p1p1 d = 5 =: a 1 d = p2p2 d = 2.99 a 2 := 2 p3p3 d = 1.02 a 3 := 1 p1p1 d = 6 =: a 1 d = p2p2 d = 3.6 a 2 := 3 p3p3 d = 1.22 a 3 := 1

91 Conclusão Segundo o método de Jefferson, o partido i receberá o seu a+1 mandato quando, para um certo d,, o que sucede quando o número de mandatos atribuídos é igual a m. Então, podemos afirmar que atribuímos os mandatos seguindo uma ordem de prioridades por meio da função. pipi d a + 1 = d i = pipi a pipi a , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00

92 FIM FIM Trabalho realizado por: Carla Pimentel Joana Couto Mª Cristina Rodrigues Sandra Nabiça


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