Cálculo Numérico / Métodos Numéricos

Apresentação em tema: "Cálculo Numérico / Métodos Numéricos"— Transcrição da apresentação:

1 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos
Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange 8 May :02

2 Interpolação polinomial
15 May :59 Interpolação polinomial Já sabemos que podemos obter o polinômio que interpola os pontos: (x0,y0), (x1,y1), (xn,yn) polinômio

3 Interpolação polinomial
15 May :59 Interpolação polinomial Para obter os coeficientes do polinômio, podemos resolver: O que, no entanto, é: Trabalhoso. Sujeito a erros numéricos.

4 Fórmula de Lagrange Tome o seguinte polinômio de grau n:
15 May :59 Fórmula de Lagrange Tome o seguinte polinômio de grau n: No numerador, temos os produtos (x-xi), com i k. No denominador temos os produtos (xk-xi), com i k. Note que:

5 Fórmula de Lagrange do Polinômio
15 May :59 Fórmula de Lagrange Chame f(x0) de f0, f(x1) de f1 ... f(xn) de fn: Note que podemos escrever Pn(x) como: O grau de Pn é, no máximo, n. Pn satisfaz: Pn(xk) = f(xk). Fórmula de Lagrange do Polinômio de interpolação.

6 Exemplo Considere os pontos: a) Determine o polinômio de interpolação
15 May :59 Exemplo Considere os pontos: a) Determine o polinômio de interpolação b) Calcule uma aproximação para f(1) x -1 3 f(x) 15 8

7 Exemplo (solução) Temos:
15 May :59 Exemplo (solução) x -1 3 f(x) 15 8 Temos: Como temos três pontos, necessitamos de um polinômio de grau 2. O polinômio de interpolação de Lagrange é dado por:

8 15 May :59 Exemplo (solução) x -1 3 f(x) 15 8 Logo:

9 Exemplo (solução) f(x) = P(x) para x0, x1 e x2.
15 May :59 Exemplo (solução) x -1 3 f(x) 15 8 f(x) = P(x) para x0, x1 e x2. Para x=1, f(1) ≈ P(1) = 3

10 Esquema prático para obtenção da aproximação para um único ponto
15 May :59 Esquema prático para obtenção da aproximação para um único ponto O que vimos até agora foi como: 1) Obter a expressão do Polinômio Pn(x) que interpola uma função em n+1 pontos. 2) Usar Pn(x) para calcular a aproximação da função em um dos pontos não-tabelados. Em muitos casos, não nos interessa obter Pn(x) pois estamos preocupados unicamente com o valor da aproximação em um ponto!

11 Esquema prático Defina: Note que: para verificar, use
15 May :59 Esquema prático Defina: Note que: para verificar, use a regra da cadeia sucessivas vezes.

12 Esquema prático Calcule as diferenças: D0 D1 D2 Dn ...
15 May :59 Esquema prático Calcule as diferenças: D0 D1 D2 Dn ... Produto é o denominador de l1(x) Produto é o denominador de l0(x)

13 Esquema prático Além disso, o produto da diagonal é n+1(x) Logo:
15 May :59 Esquema prático Além disso, o produto da diagonal é n+1(x) Logo: E portanto:

14 15 May :59 Esquema prático

15 15 May :59 Exemplo Calcular f(1), sabendo que