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8 May 2008. 20:02 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange.

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1 8 May :02 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Interpolação Polinomial Fórmula de Lagrange

2 15 May :59 Interpolação polinomial Já sabemos que podemos obter o polinômio que interpola os pontos: (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),... (x n,y n ) polinômio

3 15 May :59 Interpolação polinomial Para obter os coeficientes do polinômio, podemos resolver: O que, no entanto, é: Trabalhoso. Sujeito a erros numéricos.

4 15 May :59 Fórmula de Lagrange Tome o seguinte polinômio de grau n: No numerador, temos os produtos (x-x i ), com i k. No denominador temos os produtos (x k -x i ), com i k. Note que:

5 15 May :59 Fórmula de Lagrange Chame f(x 0 ) de f 0, f(x 1 ) de f 1... f(x n ) de f n : Note que podemos escrever P n (x) como: O grau de P n é, no máximo, n. P n satisfaz: P n (x k ) = f(x k ). Fórmula de Lagrange do Polinômio de interpolação.

6 15 May :59 Exemplo Considere os pontos: a) Determine o polinômio de interpolação b) Calcule uma aproximação para f(1) x03 f(x)158

7 15 May :59 Exemplo (solução) Temos: Como temos três pontos, necessitamos de um polinômio de grau 2. O polinômio de interpolação de Lagrange é dado por: x03 f(x)158

8 15 May :59 Exemplo (solução) x03 f(x)158 Logo:

9 15 May :59 Exemplo (solução) x03 f(x)158 f(x) = P(x) para x 0, x 1 e x 2. Para x=1, f(1) P(1) = 3

10 15 May :59 Esquema prático para obtenção da aproximação para um único ponto O que vimos até agora foi como: 1) Obter a expressão do Polinômio P n (x) que interpola uma função em n+1 pontos. 2) Usar P n (x) para calcular a aproximação da função em um dos pontos não-tabelados. Em muitos casos, não nos interessa obter P n (x) pois estamos preocupados unicamente com o valor da aproximação em um ponto!

11 15 May :59 Esquema prático Defina: Note que: para verificar, use a regra da cadeia sucessivas vezes.

12 15 May :59 Esquema prático Calcule as diferenças: D0D0 D1D1 D2D2 DnDn Produto é o denominador de l 0 (x) Produto é o denominador de l 1 (x)...

13 15 May :59 Esquema prático Além disso, o produto da diagonal é n+1 (x) Logo: E portanto:

14 15 May :59 Esquema prático

15 15 May :59 Exemplo Calcular f(1), sabendo que


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