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28 Apr 2008. 14:37 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Obtenção de raízes complexas Método de Newton-Bairstow.

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1 28 Apr :37 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Obtenção de raízes complexas Método de Newton-Bairstow

2 22 Sep :43 Obtenção de raízes complexas O método de Newton também pode ser usado para obter raízes complexas, utilizando aritmética complexa. Neste caso, veremos um método que obtém raízes complexas usando aritmética real. Se P(x) é um polinômio da forma: e os coeficientes são reais, então as raízes complexas aparecem em pares conjugados, como solução de uma equação:

3 22 Sep :43 Quociente e resto: Podemos expressar P(x) como: Obviamente, se e são raízes, b 0 e b 1 são iguais a zero. Vamos determinar quem são os coeficientes de Q(x). Multiplicamos Q(x) pelo termo quadrático e igualamos os coeficientes:

4 22 Sep :43 Igualando termos Rearrumando: =

5 22 Sep :43 Termo a termo: Como anteriormente, fazemos um esquema prático para cálculo: anan a n-1 a n-2...a2a2 a1a1 a0a0 b n b n-1... b 3 b 2 b 1 b n... b b 3 b bnbn b n-1 b n-2...b2b2 b1b1 b0b0

6 22 Sep :43 Sistema não linear O que queremos são valores de e que façam com que b 0 e b 1 se anulem. Note que b 0 e b 1 são funções de e. Podemos resolver este sistema através do método de Newton para sistemas não lineares.

7 22 Sep :43 Lembrete: método de Newton para sistemas ñ- lineares No nosso caso:

8 22 Sep :43 Calculando as derivadas parciais ( ) 1

9 22 Sep :43 Calculando as derivadas parciais ( ) cncn c n-1 cncn c n-2 c n-1 cncn 1 c2c2 c3c3 c4c4 c2c2 c3c3 c1c1

10 22 Sep :43 Calculando os c i s cncn c n-1 cncn c n-2 c n-1 cncn 1 c2c2 c3c3 c4c4 c2c2 c3c3 c1c1 Procedimento prático aplicável

11 22 Sep :43 Procedimento prático: anan a n-1 a n-2...a2a2 a1a1 a0a0 b n b n-1... b 3 b 2 b 1 b n... b b 3 b bnbn b n-1 b n-2...b2b2 b1b1 b0b0 c n c n-1... c 3 c 2 c n... c 4 c cncn c n-1 c n-2...c2c2 c1c1

12 22 Sep :43 Por que estamos fazendo isso mesmo ? c1c1 c2c2 Ainda precisamos calcular as derivadas parciais em relação ao

13 22 Sep :43 Calculando as derivadas parciais ( ) cncn cncn c n-1 c n-2 cncn c n-1 c3c3 c4c4 c5c5 c3c3 c4c4 c2c2

14 22 Sep :43 Por que estamos fazendo isso mesmo ? c1c1 c2c2 c3c3 c2c2

15 22 Sep :43 Exemplo Calcular duas raízes conjugadas da equação polinomial P(x) = x 4 -2x 3 + 4x 2 – 4x + 4 pelo método de Newton-Bairstow, iniciado em ( 0, 0 ) = (1,-1)

16 22 Sep :43 Exemplo (solução) bksbks ckscks c2c2 c1c1 c3c3 c4c4

17 22 Sep :43 Exemplo (solução) Repetindo o processo com os novos e : e acarretam raiz

18 22 Sep :43 Exemplo (solução) e 1 acarretam raiz x = 1 § i Q(x) = x 2 +2 x = § i


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