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1 Apêndice. 2 Variáveis aleatórias Valor esperado A variável aleatória Y assume os valores Y 1, Y 2,...,Y k com probabilidades dadas pela função de probabilidade:

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1 1 Apêndice

2 2 Variáveis aleatórias Valor esperado A variável aleatória Y assume os valores Y 1, Y 2,...,Y k com probabilidades dadas pela função de probabilidade: O valor esperado de Y, denotado por E(Y), é definida por: Propriedades:

3 3 Variância A variância de uma função linear de Y: com a e c constantes.

4 4 Covariância A covariância de Y e Z é representada por (Y,Z) e definida por: Funções de variáveis aleatórias Seja Y 1, Y 2,...,Y n n variáveis aleatórias. Considere a função Onde a i são constantes. Para n=2 temos:

5 5 Se as variáveis aleatórias Y i são independentes, nós temos: Caso especial: Quando os Y i são variáveis aleatórias independentes, a covariância de duas funções lineares, é dada por:

6 6 Distribuição normal de probabilidade e outras relacionadas Distribuição normal de probabilidades A função densidade para a variável aleatória Y é: Onde e são os dois parâmetros da distribuição normal e exp(a)=e a. A média e a variância de uma variável aleatória normal Y é: Função linear de variável aleatória normal: propriedade: Se Y é uma variável aleatória normal, a variável transformada Y =a+cY (a e c constantes) tem distribuição normal, com média a+cE(Y) e variância c 2 2 (Y).

7 7 Combinação linear de variáveis aleatórias normais independentes. Seja Y 1,...,Y n n variáveis aleatórias normais independentes. Temos: Quando Y 1,...,Y n são variáveis aleatórias normais independentes, a combinação linear a 1 Y 1 +a 2 Y a n Y n é normalmente distribuída com média e variância Distribuição 2 (Qui-Quadrado) Seja z 1, z 2,...,z v, v variáveis aleatórias normais padrão. Definimos a variável aleatória qui-quadrado como: A distribuição de qui-quadrado tem 1 parâmetro, v, o qual é chamado de graus de liberdade. A média da distribuição de 2 com v graus de liberdade é:

8 8 Distribuição t (Student) Seja z e 2 (v) variáveis aleatórias independentes (normal padrão e qui-quadrado, respectivamente). Definimos a variável aleatória t como segue: A distribuição t tem apenas um parâmetro, os graus de liberdade v. A média da distribuição t com v graus de liberdade é: Distribuição F Sejam 2 (v 1 ) e 2 (v 2 ) duas variáveis aleatórias 2 independentes. Definimos uma variável aleatória F como:

9 9 A distribuição F tem dois parâmetros, os graus de liberdade do numerador (v 1 ) e os graus de liberdade do denominador (v 2 ). Existe a relação entre as variáveis aleatórias t e F

10 10 Estimação Propriedades dos estimadores 1) Um estimador do parâmetro é não tendencioso se: 2) Um estimador do parâmetro é um estimador consistente se: 3) um estimador é um estimador suficiente de se a função de probabilidade conjunta condicional das observações amostrais, dado, não depende do parâmetro

11 11 Um estimador é um estimador de variância mínima de se para qualquer outro estimador :


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