Apêndice.

Apresentação em tema: "Apêndice."— Transcrição da apresentação:

1 Apêndice

2 Variáveis aleatórias Valor esperado
A variável aleatória Y assume os valores Y1, Y2,...,Yk com probabilidades dadas pela função de probabilidade: O valor esperado de Y, denotado por E(Y), é definida por: Propriedades:

3 Variância A variância de uma função linear de Y: com a e c constantes.

4 Funções de variáveis aleatórias
Covariância A covariância de Y e Z é representada por (Y,Z) e definida por: Funções de variáveis aleatórias Seja Y1, Y2,...,Yn n variáveis aleatórias. Considere a função Onde ai são constantes. Para n=2 temos:

5 Se as variáveis aleatórias Yi são independentes, nós temos:
Caso especial: Quando os Yi são variáveis aleatórias independentes, a covariância de duas funções lineares, é dada por:

6 Distribuição normal de probabilidade e outras relacionadas
Distribuição normal de probabilidades A função densidade para a variável aleatória Y é: Onde  e  são os dois parâmetros da distribuição normal e exp(a)=ea. A média e a variância de uma variável aleatória normal Y é: Função linear de variável aleatória normal: propriedade: Se Y é uma variável aleatória normal, a variável transformada Y’=a+cY (a e c constantes) tem distribuição normal, com média a+cE(Y) e variância c22(Y).

7 Distribuição 2 (Qui-Quadrado)
Combinação linear de variáveis aleatórias normais independentes. Seja Y1,...,Yn n variáveis aleatórias normais independentes. Temos: Quando Y1,...,Yn são variáveis aleatórias normais independentes, a combinação linear a1Y1+a2Y2+...+anYn é normalmente distribuída com média e variância Distribuição 2 (Qui-Quadrado) Seja z1, z2,...,zv, v variáveis aleatórias normais padrão. Definimos a variável aleatória qui-quadrado como: A distribuição de qui-quadrado tem 1 parâmetro, v, o qual é chamado de graus de liberdade. A média da distribuição de 2 com v graus de liberdade é:

8 Distribuição t (Student)
Seja z e 2(v) variáveis aleatórias independentes (normal padrão e qui-quadrado, respectivamente). Definimos a variável aleatória t como segue: A distribuição t tem apenas um parâmetro, os graus de liberdade v. A média da distribuição t com v graus de liberdade é: Distribuição F Sejam 2(v1) e 2(v2) duas variáveis aleatórias 2 independentes. Definimos uma variável aleatória F como:

9 A distribuição F tem dois parâmetros, os graus de liberdade do numerador (v1) e os graus de liberdade do denominador (v2). Existe a relação entre as variáveis aleatórias t e F

10 Estimação Propriedades dos estimadores
1) Um estimador do parâmetro  é não tendencioso se: 2) Um estimador do parâmetro  é um estimador consistente se: 3) um estimador é um estimador suficiente de  se a função de probabilidade conjunta condicional das observações amostrais, dado , não depende do parâmetro 

11 Um estimador é um estimador de variância mínima de  se para qualquer outro estimador :