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Grafos Histórico, exemplos e problemas. Dois tipos de elementos –Vértices ou nós –Arestas Definições v1 v2v3 v4 v5 v6.

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1 Grafos Histórico, exemplos e problemas

2 Dois tipos de elementos –Vértices ou nós –Arestas Definições v1 v2v3 v4 v5 v6

3 G = (V,E) –V é um conjunto finito não-vazio de vértices –E é um conjunto finito de arestas –|V| é o número de vértices representado por n, se n=|V| –|E| é o número de arestas representado por m, isto é m=|E| –Cada aresta e pertencente ao conjunto E será denotada pelo par de vértices (x,y) que a forma –Dizemos que os vértices x e y são extremos (ou extremidades) da aresta e. Grafo Simples

4 –Resumindo: um grafo é simples se entre cada par de vértices distintos existir no máximo uma aresta e se, além disso, não contiver laços, ou seja existir uma aresta que conecta um vértice a ele mesmo.

5 G = (V,E)

6 Dois vértices x e y são ditos adjacentes ou vizinhos se existe uma aresta e unindo-os. Os vértices u e v são ditos incidentes na aresta e, se eles são extremos de e. Duas arestas são adjacentes se elas têm ao menos um vértice em comum. A aresta e=(x,y) é incidente a ambos os vértices x e y.

7 v1 v2v3 v4 v5 v6 e1 V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6} E = {(v1,v2),(v1,v3),(v1,v4),(v2,v4),(v3,v4),(v4,v5)} Grafo simples e1 é incidente a v4 e v5

8 Exemplo Exercício Desenhe a representação geométrica do seguinte grafo: V = {1,2,3,4,5,6}; E ={(1,2),(1,3),(3,2),(3,6),(5,3),(5,1),(5,6),(4,6), (4,5),(6,1),(6,2),(3,4)}

9 Laço –É uma aresta formada por um par de vértices idênticos Arestas múltiplas ou paralelas –Quando existe mais de uma aresta entre o mesmo par de vértices. Multigrafo –Um grafo que permite a existência de arestas múltiplas Mais definições

10 Exercício Defina formalmente o grafo abaixo e identifique os conceitos de laço, aresta múltipla e multigrafo no mesmo:

11 Grau de um vértice Grau de um vértice v (grau(v))é o número de arestas que incidem em v. O grau de um vértice v também pode ser definido como o número de arestas adjacentes a v. Obs.: Um laço conta duas vezes para o grau de um vértice Grau(b) = 3 Grau(d) = 2 Grau(a) = 2

12 –Qualquer vértice de grau zero é um vértice isolado –Qualquer vértice de grau 1 é um vértice terminal –Um vértice ímpar tem um número ímpar de arestas –Um vértice par, tem um número par de arestas

13 Grafo Regular (k-regular) – todos os vértices têm o mesmo grau (k) v1 v2 v4 v3 Seqüência de graus de um grafo consiste em escrever em ordem crescente o grau de todos os seus vértices

14 v1 v2v3 v4 v5 v6 e1 V6 é um vértice isolado, grau(v6)=0 V5 é um vértice terminal, grau(v5)=1 V2 é um vértice par, grau(v2)=2 V1 é um vértice ímpar, grau(v1)=3 Seqüência de graus = 0,1,2,2,3,4

15 Exercício Identificar no grafo abaixo os vértices isolados, terminais, impares, pares e a seqüência de graus do grafo : Reflexão O que podemos concluir sobre a soma dos graus de um grafo?

16 Soma dos graus de um grafo: O resultado é sempre par, e corresponde à formula abaixo: A prova é inspirada no Teorema do Aperto de Mãos que diz: Se várias pessoas se apertam a mão o número total de mãos apertadas tem que ser par. Precisamente porque duas mãos estão envolvidas em cada aperto.

17 Soma dos graus de um grafo: Em grafos, cada aresta contribui duas unidades para o cômputo geral do grau dos vértices, pois cada aresta possui dois extremos. Portanto, a soma total é par e duas vezes o número de arestas do grafo. Se o grafo for regular de grau r, a soma dos graus dos vértices também é igual a r vezes o número de vértices.

18 A soma dos graus de um grafo é sempre par: Quando o grafo é regular de grau r, temos:

19 Corolário Em qualquer grafo, o n o de vértices com grau ímpar deve ser PAR Prova Para a soma ser par, o primeiro somatório tem que gerar um resultado par, portanto |V ímpar | é par.

20 Grafo Nulo (vazio) Grafo cujo número de arestas é zero. Ou, grafo regular de grau zero. Outros tipos de grafos N n é um grafo nulo com n vértices Exemplo: N 4 V={1,2,3,4}; E={ }.

21 Grafo Completo Grafo simples em que quaisquer vértices distintos dois a dois são adjacentes. Ou, grafo regular de grau n-1, onde n=|V|. K n é um grafo completo com n vértices. Exemplo: K 4

22 Quantas arestas tem o K n ? Veja que |E| = ( r * |v| ) / 2, onde r é o grau e v o número de vértices. Logo |E| = (( n - 1 ) n ) / 2 Podemos provar também com análise combinatória. O número de arestas é igual ao número de combinações de n vértices dois a dois. C n,m = n! / ( m! (n – m)! )

23 Complemento de um grafo Seja G um grafo simples com um conjunto de vértices V. G é complemento de G se V = V e dois vértices são adjacentes em G, se e somente se, não o são em G

24 Complemento de um grafo

25 Exercício: Dê exemplos que confirmem as propriedades acima Propriedade 1 Um grafo regular tem complemento regular Propriedade 2 O complemento de K n é N n

26 Grafo Bipartido Um grafo é dito ser bipartido quando seu conjunto de vértices V puder ser particionado em dois subconjuntos V 1 e V 2, tais que toda aresta de G une um vértice de V 1 a outro de V V1V1 V2V2

27 Grafo Bipartido Sejam os conjuntos H={h | h é um homem} e M={m | m é um mulher} e o grafo G(V,A) onde: V = H U M A = {(v,w) | (v H e w M) ou (v M e w H) e }

28 Grafo Bipartido Completo É um grafo bipartido em V1 e V2, sendo que cada elemento de V1 é adjacente a cada elemento de V2. K 3, 3 V1 V2

29 Subgrafo Um grafo G s (V s, A s ) é dito ser subgrafo de um grafo G(V,A) quando V s V e A s A. O grafo G 2, por exemplo, é subgrafo de G 1. Denotamos por G2 G1 G1G1 G2G2

30 Subgrafo Próprio Um subgrafo G 2 é dito próprio, quando G 2 é subgrafo distinto de G 1 V(G2) V(G1) ou A(G2) A(G1) Ou seja, G2 G1 e G2 G1, denotamos G2 G1 e dizemos que G2 é subgrafo próprio de G1 Subgrafos podem ser obtidos através da remoção de arestas e vértices.

31 Subgrafo Induzido Se G 2 é um subgrafo de G 1 e possui toda a aresta (v, w) de G 1 tal que ambos, v e w, estejam em V 2, então G 2 é o subgrafo induzido pelo subconjunto de vértices V V1= {1,2,3,4,5} G V2= {1,2,3,4} G2 V2 induz G2

32 Clique Denomina-se clique de um grafo G a um subgrafo (induzido) de G que seja completo

33 Grafo Rotulado Um grafo G(V,A) é dito ser rotulado em vértices (ou arestas) quando a cada vértice (ou aresta) estiver associado um rótulo

34 Grafo Valorado Um grafo G(V,A) é dito ser valorado quando existe uma ou mais funções relacionando V e/ou A com um conjunto de números. V = {v | v é uma cidade com aeroporto} A = {(v,w,t) | }

35 Isomorfismo de Grafos Dois grafos G 1 e G 2 são isomorfos se existe uma correspondência um a um entre os vértices de G 1 e G 2, com a propriedade de que o número de arestas unindo os vértices em G 1 é igual ao número de arestas unindo os vértices correspondentes em G 2.

36 Isomorfismo de Grafos (em outras palavras) Sejam dois grafos G 1 (V 1,A 1 ) e G 2 (V 2,A 2 ). Um isomorfismo de G 1 sobre G 2 é um mapeamento bijetivo f: V 1 V 2 tal que {x,y} A 1 se e somente se {f(x),f(y)} A 2, para todo x,y V 1. Função: { (a 2), (b 1), (c 3), (d 4), (e 6), (f 5) }

37 Isomorfismo de Grafos (exemplo) f(u) = azul, f(v) = lilás, f(w) = vermelho, f(x) = verde, f(y) = amarelo, f(z) = rosa uvw xyz

38 Isomorfismo Qual não é isomorfo aos outros 3 ?

39 Isomorfismo Resposta Os três primeiros grafos são isomorfos ao esqueleto de um octaedro. Qualquer um dos três têm 8 vértices, todos de grau 4. O quarto grafo tem um vértice de grau 5, tem um vértice de grau 3 e os restantes vértices de grau 4. Logo não pode ser isomorfo aos 3 primeiros grafos

40 Isomorfismo de Grafos Preserva: Reflexividade: Todo o grafo é isomorfo a si mesmo. Simestria: Se grafo é isomorfo a um segundo grafo então também o segundo é isomorfo ao primeiro. Transitividade: Se um grafo é isomorfo a um segundo, que por sua vez é isomorfo a um terceiro grafo, então o o primeiro é isomorfo ao terceiro. Proposições válidas se G1 G2 G1 e G2 têm o mesmo número de vértices G1 e G2 têm o mesmo número de arestas G1 e G2 têm a mesma sequência de graus

41 Grafos Orientados ou Dígrafos Um dígrafo D(V,A) é um conjunto finito não vazio V de vértices, e um conjunto A de pares ordenados de elementos de V. Chamamos o conjunto A de arcos Digrafo Simples É um digrafo que não possui laços e os arcos são todos distintos

42 Mais sobre dígrafos Conjunto finito não vazio de vértices Conjunto finito não vazio de arestas –Arestas são chamadas de arcos –Um arco (v,w) passa a ser vw D = (V,A) V = {a,b,c,d) A = {ac,ba,bc,cb,cd,cd) ad bc

43 Dígrafos Simples –Todos os arcos são distintos –Não existem auto-laços Para obter o grafo correspondente a um dígrafo –Eliminar as direções dos arcos –Não necessariamente um grafo correspondente a um dígrafo simples é um grafo simples Apresente um exemplo de um dígrafo simples que quando transformado em grafo, não é simples

44 Os vértices de um dígrafo possuem: –Grau de entrada: número de arcos que chegam no vértice (grauent(v)) –Grau de saída: número de arcos que partem do vértice (grausai(v)) Da mesma forma: –Sequência de graus de entrada –Sequência de graus de saída Proposição grauent(v i ) = grausai(v i ) = | A |

45 Os dígrafos são isomórficos se: –Existe um isomorfismo entre os respectivos grafos correspondentes –Preserva a ordem dos vértices em cada arco ad bc ad bc Os grafos abaixo não são isomorfos


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