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Diferenciação e Optimização Numéricas - LEGI Trabalho Prático nº1 Grupo 4.

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1 Diferenciação e Optimização Numéricas - LEGI Trabalho Prático nº1 Grupo 4

2 Introdução Optimização de funções –Melhor aproveitamento dos recursos disponíveis Resolução de um problema real –Sem restrições –Com restrições

3 Apresentação do problema Empresa FashiUM,SA: -Função da publicidade x é quantidade dispendida em publicidade na TV y é quantidade dispendida em publicidade na rádio -Quanto deve ser dispendido em publicidade na TV e na rádio para maximizar vendas?

4 Metodologia utilizada (problema sem restrições) Aproximação inicial – gráfico da função Solução analítica - condições de optimalidade Solução numérica - métodos numéricos de optimização não linear Software - Maple, Matlab e CONUM

5 Aproximação inicial Determinação do ponto óptimo através do gráfico da função, em Matlab

6 Solução analítica Condições de optimalidade: 1ª ordem – Vector Gradiente 2ª ordem – Matriz Hessiana Determinação do ponto óptimo Ponto máximo – matriz definida negativa

7 Solução numérica (Resumo dos resultados obtidos no CONUM) Valor inicial (x 0, y 0 ) (1900,1900) T (2000,2000) T (2100,2100) T Tipo de método Valor da função f(x,y) Vector Solução (x,y) Número de Iterações Valor da função f(x,y) Vector Solução (x,y) Número de Iterações Valor da função f(x,y) Vector Solução (x,y) Núme ro de Iteraç ões Método das Direcções de Descida Máxima Não Convergiu (erro matemático) (2000,2000) T 1Não Convergiu (erro matemático) Método dos Gradientes Conjugados Não Convergiu (erro matemático) (2000,2000) T 1Não Convergiu (erro matemático) Método de Newton (2000,2000) T (2000,2000) T (2000,2000) T 2 Métodos do Tipo Quasi- Newton ( , ) T (2000,2000) T ( , ) T 56 Método de Rosenbrock ( , ) T Não Convergiu (2000,2000) T Não Convergiu ( , ) T Não Convergiu Em todos os métodos da tabela, utilizaram-se 3 valores iniciais ( x0,y0 ) = (1900,1900) T, ( x0,y0 ) = (2000,2000) T, ( x0,y0 ) = (2100,2100) T, a mesma tolerância do critério de paragem (ε=1.0x ) e o mesmo número máximo de iterações ( nmax=200).

8 Solução numérica (Matlab) Input no Matlab: >> [x,fval]=fminsearch('-(40000.*x(1) *x(2)-5.*x(1).^2- 10.*x(2).^2-10.*x(1).*x(2))',[ ]) x = 1.0e+003 * fval = Resultado de encontro com a solução obtida no CONUM

9 Implementação do algoritmo (Matlab) Input: [xsol,fx,iter,conv]=metgradientes('funcaograd',2,200,[2000;2000],'vgrad',10^(-8),10^(-8),10^(-6),1) Output: O valor da solução: xsol = O valor da função: fx = Número de iterações: iter = 1 O método convergiu

10 Resolução do problema com restrições Valor máximo a gastar em publicidade: 3000 Formulação: Input: >> X=fmincon(inline('-40000*x(1)-60000*x(2)+5*x(1)^2+10*x(2)^2+10*x(1)*x(2)'),[0;0],[1 1],3000,[],[],[0 0]) X = 1.0e+003 * Valor gasto em TV = 1000 (milhares de UM) Valor gasto em rádio = 2000 (milhares de UM)

11 Conclusão Optimização sem restrições 2000 em TV e 2000 em rádio (milhares de UM) unidades vendidas Optimização com restrições (despesa máxima 3000) 1000 em TV e 2000 em rádio (milhares de UM) unidades vendidas

12 FIM Trabalho realizado por: António Amaral Nº Romeu Vieira Nº Tiago Amaral Nº Tiago Pinho Nº 15654


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