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A n á l i s e C o m b i n a t ó r i a Desenvolvido por: Cristiano De Angelis Jorge Cunha Adélson Jardim.

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1 A n á l i s e C o m b i n a t ó r i a Desenvolvido por: Cristiano De Angelis Jorge Cunha Adélson Jardim

2 Anagrama é a alteração da posição das letras de uma mesma palavra. Vejamos quantos anagramas tem a palavra CHÁ: C HA1º- CHA AH2º - CAH H AC3º - HAC CA4º - HCA A CH5º - ACH HC6º - AHC

3 Ao considerarmos três espaços, temos: 3 letras c,h ou a N o primeiro espaço podemos considerar três letras - C, H ou A 2 letras uma que não tenha sido usada N o segundo espaço temos somente duas opções. (caso contrário repetiremos a primeira letra) 1 letra a restante N o terceiro espaço teremos somente uma opção, a letra restante = 3! = 6

4 Vejamos agora quantos anagramas tem a palavra CAFÉ. C A FE1º- CAFE EF2º - CAEF F EA3º - CFEA AE4º - CFAE E AF5º - CEAF FA6º - CEFA... Puts !!! Isto somente começando com a letra C ! Mas, como existem só mais três letras que podem começar os anagramas da palavra café, temos: 4. 3! = 4! = 24

5 No primeiro anagrama temos:3! = = 6 No segundo anagrama temos:4! = = 24 Definição: Quando o número de elementos n é igual ao número de vagas, teremos: n! Isto quer dizer:

6 Existe um grupo de 5 estudantes (Cristiano, Jorge, Adélson, Marina, Raquel) para concorrer ao Daema, sendo a chapa formada por presidente e vice. Quantas serão as chapas possíveis? Vamos fazer inicialmente todas as permutações possíveis.

7 CJAMRCAMRJCMRJACRJAM CJARMCAMJRCMRAJCRJMA CJMRACAJMRCMJARCRMJA CJMARCAJRMCMJRACRMAJ CJRMACARJMCMAJRCRAJM CJRAMCARMJCMARJCRAMJ C r i s t i a n o P r e s i d e n t e ! ! JAMRCJMRCAJRCAMJCAMR JAMCRJMRACJRCMAJCARM JARCMJMCARJRAMCJCMRA JARMCJMCRAJRACMJCMAR JACMRJMARCJRMACJCRMA JACRMJMACRJRMCAJCRAM J o r g e P r e s i d e n t e ! ! AMRCJARCJMAC MRJAJMRC AMRJCARCMJAC MJRAJMCR AMCJRARJMCAC JMRAJRCM AMCRJARJCMAC JRMAJRMC AMJRCARMCJAC RJMAJCMR AMJCRARMJCAC RMJAJCRM A d é l s o n P r e s i d e n t e ! ! MRCJAMCRJAMJRCAMARCJ MRCAJMCRAJMJRACMARJC MRJACMCJARMJCARMACJR MRJCAMCJRAMJCRAMACRJ MRAJCMCAJRMJARCMAJRC MRACJMCARJMJACRMAJCR M a r i n a P r e s i d e n t e ! ! RCJAMRJCAMRACJMRMCJA RCJMARJCMARACMJRMCAJ RCAMJRJAMCRAJMCRMJAC RCAJMRJACMRAJCMRMJCA RCMJARJMACRAMCJRMAJC RCMAJRJMCARAMJCRMACJ R a q u e l P r e s i d e n t e ! !

8 O resultado das permutações será: 5! = = 120, mas existem vários resultados repetidos que consideram o mesmo presidente com o mesmo vice: CJAMR CJARM CJMRA CJMAR CJRMA CJRAM Quais resultados serão estes? A permutação de todos os elementos que não influenciam na formação da chapa!

9 Temos então, a permutação de n objetos, mas precisamos excluir a permutação dos objetos que não influenciam no resultado. 5! ou P recisamos excluir a permutação dos três objetos sem influência. 3!3.2.1 A gora podemos simplificar !!

10 Isto é:

11 Arranjo aparece quando temos um universo de n objetos agrupados em p vagas em que a ordem interessa!

12 Existe um grupo de 5 estudantes (Cristiano, Jorge, Adélson, Marina, Raquel) para formar uma dupla de representantes de turma. Quantas serão as duplas possíveis?

13 CJAMRCAMRJCMRJACRJAM CJARMCAMJRCMRAJCRJMA CJMRACAJMRCMJARCRMJA CJMARCAJRMCMJRACRMAJ CJRMACARJMCMAJRCRAJM CJRAMCARMJCMARJCRAMJ JAMRCJMRCAJRCAMJCAMR JAMCRJMRACJRCMAJCARM JARCMJMCARJRAMCJCMRA JARMCJMCRAJRACMJCMAR JACMRJMARCJRMACJCRMA JACRMJMACRJRMCAJCRAM AMRCJARCJMAC MRJAJMRC AMRJCARCMJAC MJRAJMCR AMCJRARJMCAC JMRAJRCM AMCRJARJCMAC JRMAJRMC AMJRCARMCJAC RJMAJCMR AMJCRARMJCAC RMJAJCRM MRCJAMCRJAMJRCAMARCJ MRCAJMCRAJMJRACMARJC MRJACMCJARMJCARMACJR MRJCAMCJRAMJCRAMACRJ MRAJCMCAJRMJARCMAJRC MRACJMCARJMJACRMAJCR RCJAMRJCAMRACJMRMCJA RCJMARJCMARACMJRMCAJ RCAMJRJAMCRAJMCRMJAC RCAJMRJACMRAJCMRMJCA RCMJARJMACRAMCJRMAJC RCMAJRJMCARAMJCRMACJ

14 Mas, agora todas as permutações com CJ e JC, por exemplo, são desnecessárias pois a dupla não tem ordem. CJAMR CJARM CJMRA CJMAR CJRMA CJRAM JCAMR JCARM JCMRA JCMAR JCRMA JCRAM

15 Novamente, temos a permutação de n objetos, precisamos excluir a permutação dos objetos que não influenciam no resultado, e ainda excluir a permutação possível entre as vagas = ! = 10

16

17 Problemas

18 UFRGS/ 95-2) Com 4 lápis de cores diferentes, quantas são as maneiras de pintar o seguinte mapa, de modo que as regiões que tem fronteira comum fiquem com cores distintas? (A) 96 (B) 60 (C) 48 (D) 36 (E) Não é possível

19 Unisinos-97/2- Luciane estuda na Unisinos, de segunda a quarta, no turno da noite. Para vir à Unisinos e dela regressar para casa, Luciane costuma utilizar o seu próprio carro, ônibus ou mesmo carona. Quando ela vai no próprio carro, é claro que ela também volta de carro. O número de opções que Luciane tem para vir a Unisinos e dela voltar, nesses três dias é: a) 5 b) 25 c) 125 d) 300 e) 500

20 Clóvis- 95/2) Um pintor tem 6 tintas para pintar 7 peças. Quer usar todas as tintas. Uma cor em cada peça. De quantos modos pode fazê-lo ? Solução do Clóvis:

21 Solução Vamos tentar com um universo menor, 3 tintas e 4 peças. BB BB BB BB BB BB C 4,2.3.2! nº de cores permutação de 2 cores restantes C n+1,2.n.(n-1)! C 7,2.6.5! = 15120

22 c. q. d


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