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Estatística Prof. Edson Nemer Site: www.professornemer.com.

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1 Estatística Prof. Edson Nemer Site:

2 Ementa Introdução a Estatística Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Revisão de Análise Combinatória Probabilidade Distribuição Normal Intervalo de Confiança

3 Contagem Se um determinado procedimento pode ser realizado de n1 maneiras diferentes... Princípio Fundamental de Contagem Se após este, um segundo procedimento pode ser realizado de n2 maneiras diferentes... Se após este, um terceiro procedimento pode ser realizado de n3 maneiras diferentes... E assim por diante... Então o número total de maneiras que os procedimentos podem ser executados, na ordem dada, é calculado da seguinte forma: N1N2N3N4 xxxx...

4 Contagem Exemplo 1: Queremos fabricar placas de carro formadas por 3 letras seguidas de 4 números. Sabendo que o alfabeto contém 26 letras, quantas placas poderiam ser fabricadas? Solução: N1N2N3N4N5 N6N7 x 26 A 1ª posição pode ser preenchida de 26 maneiras diferentes pois temos que escolher uma letra entre as 26 letras do alfabeto. A 2ª posição também pode ser preenchida de 26 maneiras diferentes pois temos que escolher mais uma letra entre as 26 letras do alfabeto. x 26 x A 3ª posição também pode ser preenchida de 26 maneiras diferentes pois temos que escolher mais uma letra entre as 26 letras do alfabeto. x 10 Já a 4ª posição pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). x 10 A 5ª posição também pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher mais um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). x 10 A 6ª posição também pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher mais um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). = 10 A 7ª posição também pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher mais um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9) Logo, podem ser fabricadas placas.

5 Contagem Exemplo 2: Queremos fabricar placas de carro formadas por 3 letras seguidas de 4 números. Sabendo que o alfabeto contém 26 letras, quantas placas poderiam ser fabricadas, se as letras forem distintas e tivermos somente placas pares? Solução: N1N2N3N4N5 N6N7 x 26 A 1ª posição pode ser preenchida de 26 maneiras diferentes pois temos que escolher uma letra entre as 26 letras do alfabeto. A 2ª posição pode ser preenchida de 25 maneiras diferentes pois uma letra já foi utilizada e temos que escolher mais uma letra entre as 25 letras restantes. x 25 x 24 A 3ª posição pode ser preenchida de 24 maneiras diferentes pois duas letras já foram utilizadas e temos que escolher mais uma letra entre as 24 letras restantes. x 10 Já a 4ª posição pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). x 10 A 5ª posição também pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher mais um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). x 10 A 6ª posição também pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher mais um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). = 5 A 7ª posição pode ser preenchida de 5 maneiras diferentes pois só temos placas pares, logo, temos que escolher um número entre 5 possíveis (0, 2, 4, 6 e 8) Logo, podem ser fabricadas placas.

6 Contagem Notação Fatorial O produto dos inteiros positivos de 1 até n, inclusive, aparece frequentemente em Matemática e, por isso, é representado pelo símbolo especial n! n! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) *... * 3 * 2 * 1 É conveniente definir, também, 0! = 1. Exemplo: a)4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 b)5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =5 x 4! = 120 c)7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =7 x 6 x 5! = 5040

7 Contagem Notação Fatorial Podem ser executadas operações de simplificação como mostrado a seguir: Exemplos: i)i) A primeira providência é expandir o numerador até o fatorial do denominador. A próxima providência é simplificar a fração. ii) A primeira providência é expandir o numerador até o fatorial do denominador. A próxima providência é simplificar a fração. iii) Expandir os numeradores. A próxima providência é simplificar as frações. iv) A próxima providência é simplificar as frações. Expandir os numeradores.

8 Contagem Permutação Um arranjo de um conjunto de n objetos, em dada ordem, é chamado permutação dos objetos (tomados todos ao mesmo tempo). ABCD Exemplo: Suponha as letras A, B, C e D Uma permutação seria a seguinte: BADC Uma outra permutação seria: BDAC Uma terceira permutação seria: CADB Uma quarta permutação seria: Observe que em uma permutação desse tipo os elementos são os mesmos, a posição deles é que muda.

9 Contagem Permutação Um arranjo de quaisquer r desses n objetos, em dada ordem, é chamado de r-permutação ou permutação dos n objetos, tomados r a r. ABCD Exemplo: Suponha as letras A, B, C e D Uma permutação dos 4 elementos, tomados todos ao mesmo tempo: BAD Uma permutação dos 4 elementos, tomados 3 a 3, seria: BDA Uma outra permutação dos 4 elementos, tomados 3 a 3, seria: CA Uma permutação dos 4 elementos, tomados 2 a 2, seria: DA Uma outra permutação dos 4 elementos, tomados 2 a 2, seria:

10 Contagem Permutação Exemplo: Quantas permutações dos objetos A, B, C, D, E e F, tomados 3 a 3, podem ser formadas? Em outras palavras, quantos anagramas de 3 letras podem ser formados com as letras fornecidas? Solução: N1N2N3 A 1ª posição pode ser preenchida de 6 maneiras diferentes pois temos que escolher uma letra entre as 6 letras fornecidas. A 2ª posição pode ser preenchida de 5 maneiras diferentes pois temos que escolher uma letra entre as 5 letras restantes. A 3ª posição pode ser preenchida de 4 maneiras diferentes pois temos que escolher uma letra entre as 4 letras restantes. 654 = x x = 120 Logo, utilizando o Princípio Fundamental de Contagem, o número total de permutações de 6 objetos, tomados 3 a 3, é dado por 6 x 5 x 4 = 120

11 Contagem Permutação Exemplo: Quantas permutações dos objetos A, B, C, D, E e F, tomados 3 a 3, podem ser formadas? Em outras palavras, quantos anagramas de 3 letras podem ser formados com as letras fornecidas? Solução: O exercício anterior também poderia ser resolvido usando-se a seguinte fórmula: Temos no total, 6 elementos, logo: n = 6 Queremos criar anagramas de 3 letras, ou seja, vamos tomar 3 elementos. Logo: r = 3 Obs: No caso particular, quando r = n, temos que: n!n!

12 Contagem Permutação Exemplo: Quantas permutações podem ser obtidas com os elementos A, B e C? Solução: usando a fórmula n!, tem-se 3! = 3 * 2 * 1 = 6 permutações. Verificação:ABC ACB BAC BCA CAB CBA Exemplo: Quantas permutações podem ser obtidas com os elementos A, B, C e D? Solução: usando a fórmula n!, tem-se 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 permutações. Verificação:ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA

13 Contagem Permutações com repetições Frequentemente queremos saber o número de permutações de objetos, alguns dos quais aparecem repetidos. A fórmula para saber o número de permutações de elementos, quando alguns deles aparecem repetidos, é a seguinte: n3 = número de vezes que o elemento C aparece repetido. n1 = número de vezes que o elemento A aparece repetido. n2 = número de vezes que o elemento B aparece repetido. Exemplo: Quantos anagramas podem ser construídos com as letras da palavra DADDY? Solução: observando que a letra D aparece 3 (três) vezes, tem-se que:

14 Contagem Permutações com repetições Exemplo: Quantos anagramas podem ser formados com as letras de PROFESSORADO? Solução: observando que são 12 (doze) letras no total, e que as letras R e S aparecem 2 (duas) vezes cada, e a letra O aparece 3 (três) vezes, tem-se que: Exemplo: Quantos anagramas podem ser formados com as letras de APARENTAVA? Solução: observando que são 10 (dez) letras no total, e que a letra A aparece 4 (quatro) vezes, tem-se que:

15 Contagem Combinação Suponha um conjunto com n elementos. Uma combinação destes n elementos, tomados r a r, ou uma r-combinação, é qualquer subconjunto de r elementos. ABCD Exemplo: Suponha as letras A, B, C e D. Combinação dessas letras, tomadas 3 a 3, são as seguintes: BADCBDACCADB Em outras palavras, uma r-combinação, é qualquer seleção r dos n elementos, independente da ordem em que apareçam. ABCABDACDBCD Observação: Suponha as letras A, B, C e D. Em um exemplo anterior foi visto que os conjuntos abaixo representam 4 (quatro) permutações. Entretanto, eles representam uma única combinação pois temos os mesmos elementos nos quatro conjuntos. 4 permutações: os elementos são os mesmos mas a ordem importa. 1 combinação: os elementos são os mesmos mas a ordem não importa.

16 Contagem Combinação O número de combinações de n objetos, tomados r a r, é obtido a partir da seguinte fórmula: Exemplo: Suponha um grupo com 8 pessoas. Quantas comissões podem ser formadas com 3 delas? Solução: observando que são 3 (três) vagas na comissão, e que não importa a ordem em que essas vagas serão preenchidas, temos um problema de combinação de 8 elementos, tomados 3 a 3. 8 pessoas (n=8) para 3 vagas (r=3)

17 Contagem Combinação Exemplo: Suponha um grupo com 6 homens e 7 mulheres. Quantas comissões podem ser formadas com : Solução: Temos 6 vagas para formar a comissão. Como não há nenhuma restrição quanto a sexo, significa que qualquer pessoa pode ocupar qualquer vaga. Logo, temos 13 pessoas (6 homens + 7 mulheres) para distribuir pelas 6 vagas. Como a ordem não importa, temos um problema de combinação de 13 pessoas, tomadas 6 a 6. Portanto: a) 6 pessoas?

18 Contagem Combinação Exemplo: Suponha um grupo com 6 homens e 7 mulheres. Quantas comissões podem ser formadas com : Solução: Existem 6 homens para 3 vagas. b) 6 pessoas, onde 3 são homens e 3 são mulheres? HHHMMM Existem 7 mulheres para 3 vagas. x x x

19 5 mulheres para 2 vagas. 6 homens para 3 vagas. 5 homens para 2 vagas. 3 homens para 2 vagas. Contagem Combinação Exemplo: Suponha um grupo com 6 homens e 7 mulheres. Quantas comissões podem ser formadas com : Solução: b) 6 pessoas, onde 3 são homens, e onde o homem A participa mas o B e o C não, e 3 são mulheres, onde a mulher X participa mas a Y não? H HHMM M Existem 7 mulheres para 3 vagas. x x x Como o homem A tem que participar, significa que ele ocupará uma das vagas. Logo, sobrarão 5 homens para 2 vagas. Como os homens B e C não participam, sobrarão 3 homens para 2 vagas. Como a mulher X tem que participar, significa que ela ocupará uma das vagas. Logo, sobrarão 6 mulheres para 2 vagas. 6 mulheres para 2 vagas. Como a mulher Y não participa, sobrarão 5 mulheres para 2 vagas. XA


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