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2 Ementa Introdução a Estatística Medidas de Tendência Central
Medidas de Dispersão Revisão de Análise Combinatória Probabilidade Distribuição Normal Intervalo de Confiança

3 Contagem Princípio Fundamental de Contagem Se um determinado procedimento pode ser realizado de n1 maneiras diferentes... Se após este, um segundo procedimento pode ser realizado de n2 maneiras diferentes... Se após este, um terceiro procedimento pode ser realizado de n3 maneiras diferentes... E assim por diante... Então o número total de maneiras que os procedimentos podem ser executados, na ordem dada, é calculado da seguinte forma: N1 N2 N3 N4 x ...

4 Contagem Logo, podem ser fabricadas 175760000 placas.
Exemplo 1: Queremos fabricar placas de carro formadas por 3 letras seguidas de 4 números. Sabendo que o alfabeto contém 26 letras, quantas placas poderiam ser fabricadas? Solução: x 26 x 26 N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 x 26 x 10 x 10 x 10 = 10 A 6ª posição também pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher mais um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). Já a 4ª posição pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). A 7ª posição também pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher mais um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). A 5ª posição também pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher mais um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). A 3ª posição também pode ser preenchida de 26 maneiras diferentes pois temos que escolher mais uma letra entre as 26 letras do alfabeto. A 2ª posição também pode ser preenchida de 26 maneiras diferentes pois temos que escolher mais uma letra entre as 26 letras do alfabeto. A 1ª posição pode ser preenchida de 26 maneiras diferentes pois temos que escolher uma letra entre as 26 letras do alfabeto. Logo, podem ser fabricadas placas.

5 Contagem Logo, podem ser fabricadas 78000000 placas.
Exemplo 2: Queremos fabricar placas de carro formadas por 3 letras seguidas de 4 números. Sabendo que o alfabeto contém 26 letras, quantas placas poderiam ser fabricadas, se as letras forem distintas e tivermos somente placas pares? Solução: x 26 x 25 N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 x 24 x 10 x 10 x 10 = 5 A 6ª posição também pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher mais um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). Já a 4ª posição pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). A 7ª posição pode ser preenchida de 5 maneiras diferentes pois só temos placas pares, logo, temos que escolher um número entre 5 possíveis (0, 2, 4, 6 e 8). A 5ª posição também pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher mais um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). A 3ª posição pode ser preenchida de 24 maneiras diferentes pois duas letras já foram utilizadas e temos que escolher mais uma letra entre as 24 letras restantes. A 2ª posição pode ser preenchida de 25 maneiras diferentes pois uma letra já foi utilizada e temos que escolher mais uma letra entre as 25 letras restantes. A 1ª posição pode ser preenchida de 26 maneiras diferentes pois temos que escolher uma letra entre as 26 letras do alfabeto. Logo, podem ser fabricadas placas.

6 Contagem Notação Fatorial O produto dos inteiros positivos de 1 até n, inclusive, aparece frequentemente em Matemática e, por isso, é representado pelo símbolo especial n! n! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * ... * 3 * 2 * 1 É conveniente definir, também, 0! = 1. Exemplo: 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5 x 4! = 120 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7 x 6 x 5! = 5040

7 Contagem Notação Fatorial Exemplos:
Podem ser executadas operações de simplificação como mostrado a seguir: Exemplos: A primeira providência é expandir o numerador até o fatorial do denominador. 6! 3! = 6∗5∗4∗3! 3! = i) A próxima providência é simplificar a fração. 6∗5∗4=120 A primeira providência é expandir o numerador até o fatorial do denominador. 8! 4! = 8∗7∗6∗5∗4! 4! = ii) A próxima providência é simplificar a fração. 8∗7∗6∗5=1680 Expandir os numeradores. 6! 4! ∗ 8! 5! = iii) 6∗5∗4! 4! ∗ 8∗7∗6∗5! 5! = A próxima providência é simplificar as frações. 6∗5∗8∗7∗6=10080 Expandir os numeradores. 12! 10! ∗ 7! 4! = iv) 12∗11∗10! 10! ∗ 7∗6∗5∗4! 4! = A próxima providência é simplificar as frações. 12∗11∗7∗6∗5=27720

8 Contagem Permutação Um arranjo de um conjunto de n objetos, em dada ordem, é chamado permutação dos objetos (tomados todos ao mesmo tempo). Exemplo: Suponha as letras A, B, C e D Uma permutação seria a seguinte: A B C D Uma outra permutação seria: B A D C Uma terceira permutação seria: B D A C Uma quarta permutação seria: C A D B Observe que em uma permutação desse tipo os elementos são os mesmos, a posição deles é que muda.

9 Contagem Permutação Um arranjo de quaisquer r desses n objetos, em dada ordem, é chamado de r-permutação ou permutação dos n objetos, tomados r a r. Exemplo: Suponha as letras A, B, C e D Uma permutação dos 4 elementos, tomados todos ao mesmo tempo: A B C D Uma permutação dos 4 elementos, tomados 3 a 3, seria: B A D Uma outra permutação dos 4 elementos, tomados 3 a 3, seria: B D A Uma permutação dos 4 elementos, tomados 2 a 2, seria: C A Uma outra permutação dos 4 elementos, tomados 2 a 2, seria: D A

10 Contagem Permutação Exemplo: Quantas permutações dos objetos A, B, C, D, E e F, tomados 3 a 3, podem ser formadas? Em outras palavras, quantos anagramas de 3 letras podem ser formados com as letras fornecidas? Solução: A 1ª posição pode ser preenchida de 6 maneiras diferentes pois temos que escolher uma letra entre as 6 letras fornecidas. N1 N2 N3 A 2ª posição pode ser preenchida de 5 maneiras diferentes pois temos que escolher uma letra entre as 5 letras restantes. A 3ª posição pode ser preenchida de 4 maneiras diferentes pois temos que escolher uma letra entre as 4 letras restantes. 6 = x 5 x 4 120 = Logo, utilizando o Princípio Fundamental de Contagem, o número total de permutações de 6 objetos, tomados 3 a 3, é dado por 6 x 5 x 4 = 120

11 Contagem Permutação P 𝑛,𝑟 = 𝑛! 𝑛−𝑟 !
O exercício anterior também poderia ser resolvido usando-se a seguinte fórmula: P 𝑛,𝑟 = 𝑛! 𝑛−𝑟 ! Obs: No caso particular, quando r = n, temos que: P 𝑛,𝑟 = 𝑛! 𝑛−𝑟 ! = 𝑛! 𝑛−𝑛 ! = 𝑛! 0! = 𝑛! 1 = n! Exemplo: Quantas permutações dos objetos A, B, C, D, E e F, tomados 3 a 3, podem ser formadas? Em outras palavras, quantos anagramas de 3 letras podem ser formados com as letras fornecidas? Solução: Temos no total, 6 elementos, logo: n = 6 Queremos criar anagramas de 3 letras, ou seja, vamos tomar 3 elementos. Logo: r = 3 P 𝑛,𝑟 = 𝑛! 𝑛−𝑟 ! P 6,3 = 6! 6−3 ! = 6! 3! = 6∗5∗4∗3! 3! =120

12 Contagem Permutação Exemplo: Quantas permutações podem ser obtidas com os elementos A, B e C? Solução: usando a fórmula n!, tem-se 3! = 3 * 2 * 1 = 6 permutações. Verificação: ABC BAC CAB ACB BCA CBA Exemplo: Quantas permutações podem ser obtidas com os elementos A, B, C e D? Solução: usando a fórmula n!, tem-se 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 permutações. Verificação: ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA

13 Contagem Permutações com repetições
Frequentemente queremos saber o número de permutações de objetos, alguns dos quais aparecem repetidos. A fórmula para saber o número de permutações de elementos, quando alguns deles aparecem repetidos, é a seguinte: n𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎çõ𝑒𝑠= 𝑛! 𝑛1!∗𝑛2!∗𝑛3!∗… n2 = número de vezes que o elemento B aparece repetido. n3 = número de vezes que o elemento C aparece repetido. n1 = número de vezes que o elemento A aparece repetido. Exemplo: Quantos anagramas podem ser construídos com as letras da palavra DADDY? Solução: observando que a letra D aparece 3 (três) vezes, tem-se que: n𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠= 5! 3! = 5∗4∗3! 3! =5∗4=20

14 Contagem Permutações com repetições
Exemplo: Quantos anagramas podem ser formados com as letras de PROFESSORADO? Solução: observando que são 12 (doze) letras no total, e que as letras R e S aparecem 2 (duas) vezes cada, e a letra O aparece 3 (três) vezes, tem-se que: n𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠= 12! 2!2!3! = 12∗11∗10∗9∗8∗7∗6∗5∗4∗3! 2!2!3! = Exemplo: Quantos anagramas podem ser formados com as letras de APARENTAVA? Solução: observando que são 10 (dez) letras no total, e que a letra A aparece 4 (quatro) vezes, tem-se que: n𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠= 10! 4! = 10∗9∗8∗7∗6∗5∗4! 4! =151200

15 Contagem Combinação Suponha um conjunto com n elementos. Uma combinação destes n elementos, tomados r a r, ou uma r-combinação, é qualquer subconjunto de r elementos. Em outras palavras, uma r-combinação, é qualquer seleção r dos n elementos, independente da ordem em que apareçam. Exemplo: Suponha as letras A, B, C e D. Combinação dessas letras, tomadas 3 a 3, são as seguintes: A B C A B D A C D B C D Observação: Suponha as letras A, B, C e D. Em um exemplo anterior foi visto que os conjuntos abaixo representam 4 (quatro) permutações. Entretanto, eles representam uma única combinação pois temos os mesmos elementos nos quatro conjuntos. A B C D 4 permutações: os elementos são os mesmos mas a ordem importa. B A D C B D A C 1 combinação: os elementos são os mesmos mas a ordem não importa. C A D B

16 8 pessoas (n=8) para 3 vagas (r=3)
Contagem Combinação O número de combinações de n objetos, tomados r a r, é obtido a partir da seguinte fórmula: C 𝑛,𝑟 = 𝑛! 𝑟! 𝑛−𝑟 ! Exemplo: Suponha um grupo com 8 pessoas. Quantas comissões podem ser formadas com 3 delas? Solução: observando que são 3 (três) vagas na comissão, e que não importa a ordem em que essas vagas serão preenchidas, temos um problema de combinação de 8 elementos, tomados 3 a 3. C 𝑛,𝑟 = 𝑛! 𝑟! 𝑛−𝑟 ! = 8! 3! 8−3 ! = 8! 3!5! = 8∗7∗6∗5! 3∗2∗1!∗5! = 56 8 pessoas (n=8) para 3 vagas (r=3)

17 Contagem Combinação Exemplo: Suponha um grupo com 6 homens e 7 mulheres. Quantas comissões podem ser formadas com : a) 6 pessoas? Solução: Temos 6 vagas para formar a comissão. Como não há nenhuma restrição quanto a sexo, significa que qualquer pessoa pode ocupar qualquer vaga. Logo, temos 13 pessoas (6 homens + 7 mulheres) para distribuir pelas 6 vagas. Como a ordem não importa, temos um problema de combinação de 13 pessoas, tomadas 6 a 6. Portanto: C 𝑛,𝑟 = 𝑛! 𝑟! 𝑛−𝑟 ! = 13! 6! 13−6 ! = 13! 6!7! = 13∗12∗11∗10∗9∗8∗7! 6∗5∗4∗3∗2∗1!∗7! = 1716

18 Contagem Combinação H M
Exemplo: Suponha um grupo com 6 homens e 7 mulheres. Quantas comissões podem ser formadas com : b) 6 pessoas, onde 3 são homens e 3 são mulheres? Solução: H M Existem 6 homens para 3 vagas. Existem 7 mulheres para 3 vagas. C 6,3 x C 7,3 6! 3! 6−3 ! 7! 3! 7−3 ! = 6! 3!3! 7! 3!4! = x x 20∗35=700

19 Contagem Combinação A H H M X M
Exemplo: Suponha um grupo com 6 homens e 7 mulheres. Quantas comissões podem ser formadas com : b) 6 pessoas, onde 3 são homens, e onde o homem A participa mas o B e o C não, e 3 são mulheres, onde a mulher X participa mas a Y não? Solução: A H H M X M 3 homens para 2 vagas. 6 homens para 3 vagas. 5 homens para 2 vagas. 5 mulheres para 2 vagas. 6 mulheres para 2 vagas. Existem 7 mulheres para 3 vagas. Como os homens B e C não participam, sobrarão 3 homens para 2 vagas. Como a mulher X tem que participar, significa que ela ocupará uma das vagas. Logo, sobrarão 6 mulheres para 2 vagas. Como a mulher Y não participa, sobrarão 5 mulheres para 2 vagas. Como o homem A tem que participar, significa que ele ocupará uma das vagas. Logo, sobrarão 5 homens para 2 vagas. C 3,2 x C 5,2 3! 2! 3−2 ! 5! 2! 5−2 ! = 3! 2!1! 5! 2!3! = x x 3∗10=30