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IM250 Prof. Eugênio Rosa Parte I Formulação Integral das Equações de Transporte.

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1 IM250 Prof. Eugênio Rosa Parte I Formulação Integral das Equações de Transporte

2 IM250 Prof. Eugênio Rosa As Leis Físicas e o Conceito de Sistema “As leis da natureza não foram inventadas pelo homem, mas sim forçadas sobre ele pelo próprio mundo natural. São a expressão de uma ordem racional do mundo“; Max PlanckMax Planck As leis físicas foram desenvolvidas para sistemas: um conjunto de partículas (massa) com identidade fixa. Não há fluxo de massa na fronteira de um sistema, mas pode haver forças (pressão, tensão) e energia na forma de calor ou trabalho cruzando sua fronteira.

3 IM250 Prof. Eugênio Rosa Propriedades de Sistemas Um sistema pode ser caracterizado pela sua Massa, Quantidade de Movimento Linear, Energia, Entropia, entre outros parâmetros. Variação da Massa de um sistema é, por definição, nula: Variação da Quant. de Movimento de um sistema - 2 a lei de Newton Variação da Energia de um sistema - 1 a Lei da Termodinâmica Variação da Entropia de um sistema - 2 a Lei da Termodinâmica Sinal Q & W: Q>0 se entra no sistema, W>0 se sai do sistema.

4 IM250 Prof. Eugênio Rosa Forma Genérica Se considerarmos B uma propriedade extensiva de um sistema, sua variação pode ser expressa genericamente por: Onde S representa um termo fonte adequado para o fenômeno que B representa: massa, quantidade de movimento, energia etc.

5 IM250 Prof. Eugênio Rosa Propriedade Não-Uniformes A propriedade genérica B (massa, q. movimento, energia etc) do sistema, em geral, não é uniforme no espaço. Ela pode ser convenientemente avaliada definindo-se uma propriedade intensiva  como: De tal forma que a taxa de variação de B no sistema pode ser determinada por:

6 IM250 Prof. Eugênio Rosa Propriedades de Sistemas As equações que descrevem as variações das propriedades nos sistemas são postulados ou leis da física. Para constituirmos estas equações devemos especificar a natureza do termos fonte.

7 IM250 Prof. Eugênio Rosa Equação da Massa para um Sistema A equação da Massa é obtida fazendo-se  =1, Note que não há termo fonte de massa, pressupõe-se na ausência de efeitos nucleares.

8 IM250 Prof. Eugênio Rosa Equação da Q. Movimento para um Sistema A equação da Q. Movimento é obtida fazendo-se  = V, As forças externas são dividas em forças que agem na fronteira do sistema, Tensões T (natureza tensorial), e forças de campo que agem no volume do sistema.

9 IM250 Prof. Eugênio Rosa Equação da Energia para um Sistema A equação da Energia é obtida fazendo-se  =e, onde ‘e’ ainda não especificada neste estágio, Q e W só existem na fronteira do sistema, o calor é exclusivamente devido a condução térmica e o trabalho é aquele realizado pelas tensões que atuam na fronteira. O último termo refere-se a geração volumétrica de energia no interior do volume (reação química, dissipação efeito joule, etc)

10 IM250 Prof. Eugênio Rosa 2 a Lei para um Sistema A 2 a Lei é obtida fazendo-se  = s, O primeiro e segundo termo referem-se a produção ou destruição de s devido a transferência de calor na fronteira e devido a geração de energia internamente ao volume. O último termo refere-se a produção de entropia devido as irreversibilidades do sistema, Ps  0.

11 IM250 Prof. Eugênio Rosa Equações de Transporte ou Conservação? Os livros textos freqüentemente denominam a taxa de variação das propriedades dos sistemas por Equações de Transporte ou Equações de Conservação. A primeira denominação sub-entende como uma propriedade específica é transportada (convecção e difusão) pelo campo. O termo conservação é igualmente aplicado porque o lado direito da equação deve ser igual ao seu lado esquerdo, isto é, o transporte deve ser igual ao termos fonte associados a produção ou destruição da propriedade!

12 IM250 Prof. Eugênio Rosa Os postulados físicos para sistemas são aplicados com sucesso para partículas e corpos rígidos. No entanto encontra-se dificuldade para aplicá- los em corpos que se deformam continuamente (FLUIDOS)! Veja se você conseguiria identificar, em qualquer instante de tempo, todas as partículas de fluido que compõe o sistema ao entrar em um reator com agitação, transferência de calor e trabalho: Aplicação do Conceito de Sistema

13 IM250 Prof. Eugênio Rosa

14 Para corpos que se deformam continuamente( gases e líquidos) é difícil realizar uma análise seguindo-se o sistema! É muito mais simples se ater a uma região no espaço (Volume de Controle) onde massa pode cruzar sua fronteira. O Teorema de Transporte de Reynolds (TTR) permite que se faça uma análise de um Sistema a partir do conceito de Volume de Controle! Sistema x Volume de Controle

15 IM250 Prof. Eugênio Rosa O Volume de Controle O Volume de Controle V.C. é uma região do espaço onde se deseja realizar a análise. A sua fronteira com o meio externa é delimitada pela Superfície de Controle, S.C.: massa, força e energia podem cruzar a S.C. O Volume de Controle pode ser estacionário ou móvel no espaço; fronteiras fixas ou deformáveis ou qualquer outra combinação;

16 IM250 Prof. Eugênio Rosa Teorema de Transporte de Reynolds Ele descreve a variação da propriedade do sistema em termos de propriedades medidas no Volume de Controle. A variação da propriedade B do sistema é igual a variação de B no V.C. mais o fluxo líquido de B que cruza a S.C. onde V r é a velocidade relativa do fluido em relação a fronteira, V r = V f - V b

17 IM250 Prof. Eugênio Rosa Demonstração do Teorema de Transporte de Reynolds

18 IM250 Prof. Eugênio Rosa Teorema de Transporte de Reynolds ( t 0 ) (t 0 +  t) system control volume III III No instante t 0 a superfície de controle é coincidente com a fronteira do sistema. No instante t 0 +  t o sistema ‘deixa’ parcialmente o V.C. A região III está fora do V.C.; a região II ainda está dentro do V.C.; e a região I é preenchida por outro sistema.

19 IM250 Prof. Eugênio Rosa Teorema de Transporte de Reynolds ( t 0 ) (t 0 +  t) sistema volume controle III III A taxa de variação do sistema é escrita em função de propriedades do V.C. Sistema = (II)+(III) V. C. = (I)+ (II) Identificação do sistema e do VC no instante (t 0 +  t).

20 IM250 Prof. Eugênio Rosa Sistema com Propriedades Não-Uniformes Com freqüência ocorre que as propriedades de uma variável não são uniformes em toda extensão espacial do sistema. Neste caso, para representar adequadamente a massa ou qualquer outra propriedade do sistema devemos somar sua contribuição em toda extensão: Onde

21 IM250 Prof. Eugênio Rosa Teorema de Transporte de Reynolds O primeiro termo representa a taxa de variação de B no V.C. ( t 0 ) (t 0 +  t) system control volume III III

22 IM250 Prof. Eugênio Rosa Teorema de Transporte de Reynolds Os 2 o e 3 o termos representam os fluxos de B para for a e para dentro do V.C. ( t 0 ) (t 0 +  t) system control volume III III n VrVr Leaving C.V. n.V r >0 n VrVr Entering C.V. n.V r <0

23 IM250 Prof. Eugênio Rosa Taxa de variação do sistema escrita em termos de propriedades do Volume de Controle, A variação de B no sistema é igual a variação de B no V.C. mais o fluxo líquido de B que cruza a S.C. A derivada ‘lagrangeana’ do sistema é determinida para uma região no espaço por meio do TTR. Teorema de Transporte de Reynolds

24 IM250 Prof. Eugênio Rosa Forma Integral das Equações de Transporte O TTR permite escrever as Equações de Transporte a partir do conceito de Volume de Controle:   Source Massa10 MovimentoV 1 a Leie 2 a Leis J e f são fontes genéricos associados a SC e ao VC

25 IM250 Prof. Eugênio Rosa Conservação da Massa A Eq. da conservação da massa é obtida fazendo-se B = M, b = 1. Não há fontes de superfície ou de volume; DM/Dt = 0 por definição de sistema!

26 IM250 Prof. Eugênio Rosa Ex. – Escoamento de água (incompressível) com velocidade uniforme nas seções. Determine a vazão mássica em (3). São conhecidas as áreas em (1), (2) e (3) e as velocidades nas seções (1) e (2) são, respectivamente: U1 e U2+cos(  t). O balanço de massa fica sendo os fluxos que entram e saem do VC: Comentário: não importa se as velocidades são transientes, não há termo de acumulação, a vazão instantânea que entra é igual àquela que sai! Fluido incompressível,  = constante e fronteira não deformável, então o termo de acumulação é nulo;

27 IM250 Prof. Eugênio Rosa Ex. – Água escoa em regime permanente através de uma placa porosa, avalie a vazão da massa na seção bc se o perfil de velocidades na seção cd é: Trace uma superfície de controle m=? Aplique o balanço de massa para R.P. Calcule os fluxos em cada face da S.C.: Note que m bc >0, portanto o fluxo de massa cruza a S.C. para fora!

28 IM250 Prof. Eugênio Rosa Ex. – Um tanque de volume fixo contém salmoura, com densidade inicial  i. Água pura (dens.  A ) entra no tanque e mistura-se perfeitamente com a salmoura. Determine uma expressão para a taxa de variação da densidade da salmoura  m com o tempo. Trace uma S.C. Crie um referencial x y Balanço de massa: como há uma mistura ‘perfeita’, a densidade média no volume é igual àquela da saída,  m então: Como vol. const., então a vazão volumétrica na entrada e saída são iguais a Q

29 IM250 Prof. Eugênio Rosa Ex. – continuação Separando os termos vamos ter: Integrando, x y Onde  i é a concentração inicial. Reconhecendo que V/Q é a constante de tempo, , a razão das densidades pode ser então representada por:

30 IM250 Prof. Eugênio Rosa Ex. – continuação Qual é a relação entre a densidade da salmoura e a concentração volumétrica do sal? Reconhecendo que as densidades do sal e da água pura são:  s e  A, então a densidade da mistura é: x y Onde C é a concentração volumétrica do sal, isto é, a razão entre o volume que ele ocupa e o volume da mistura,

31 IM250 Prof. Eugênio Rosa Fronteira Deformável x Fronteira Fixa

32 IM250 Prof. Eugênio Rosa Ex. – Um acumulador hidráulico reduz os pulsos de pressão acumulando ou descarregando óleo no seu interior. Considerando que a vazão instantânea de óleo que entra é Q e que a velocidade instantânea de saída é V numa área A, determine a taxa a qual o acumulador ganha ou perde óleo. A taxa de acumulação é: ar Q V, A Trace uma superfície de controle Aplique o balanço de massa Crie um referencial x y Fronteira fixa Fronteira deformável Ou,

33 IM250 Prof. Eugênio Rosa Exemplo– Um pistão de área A p desliza num cilindro com velocidade V b. Na extremidade oposta do cilindro há uma abertura de área A. Determine a velocidade de saída do jato. Considere o fluido incompressível. Trace uma superfície de controle Aplique o balanço de massa: Calcule as integrais: VbVb VsVs Crie um referencial x y h(t) Reconhecendo que ´-dh/dt = V b, então: Fronteira fixa Fronteira deformável

34 IM250 Prof. Eugênio Rosa Problema Desafio – Inicialmente o raio interno de um balão elástico é R i e ar no seu interior está a pressão e temperatura P i e T 0. Ele começa a ser enchido por um fluxo de ar com velocidade V 1 e densidade  1 pela seção (1) de área A 1. A pressão externa ao balão é atmosférica, P atm. Considere o ar como um gás perfeito e o processo de enchimento se dá a temperatura constante T 0. Determine a taxa de variação da densidade do ar no balão  b e R com o fluxo de ar na entrada. Utilize a equação de Laplace- Young para determinar a diferença de pressão em função do raio durante o processo de enchimento. RiRi PiPi Patm T0T0 R P bb T0T0 V1 A1  1

35 IM250 Prof. Eugênio Rosa Teorema de Leibniz

36 IM250 Prof. Eugênio Rosa Pode ocorrer uma função  (t) definida pela integral: A derivada de  (t) é definida pelo teorema de Leibniz: Note que se os limites de integração forem fixos no tempo então Qual seria a derivada da função  (t) em relação a t?

37 IM250 Prof. Eugênio Rosa Representação Gráfica f x f(x,t+  t) A(t+  t) B(t+  t) f(x,t) f(A)f(B) A(t)B(t) Agrupando os termos e fazendo dt->0, tem-se:

38 IM250 Prof. Eugênio Rosa Extensão para Volumes do Teorema de Leibniz Onde A(t) e B(t) são volumes deformáveis cuja forma depende do tempo t. d  /dt depende da taxa de variação do volume (ou vazão volumétrica) nas fronteiras!

39 IM250 Prof. Eugênio Rosa Como eu aplico o T. Leibnitz em Mec Flu? onde Vb é a velocidade da fronteira. A derivada da integral do volume deformável é igual: 1.A integral da derivada da propriedade no V.C. 2.Mais um termo de fluxo associado com a deformação da fronteira.

40 IM250 Prof. Eugênio Rosa Como fica o T.T. Reynolds?

41 IM250 Prof. Eugênio Rosa Ex. revisitado A velocidade da fronteira pode ser determinada a partir do balanço de massa: ar Q V, A x y Fronteira fixa Fronteira deformável Vb

42 IM250 Prof. Eugênio Rosa Exemplo revisitado A velocidade da fronteira pode ser determinada a partir do balanço de massa: VbVb VsVs h(t) Fronteira fixa Fronteira deformável

43 IM250 Prof. Eugênio Rosa Conservação da Quantidade de Movimento 2ª Lei de Newton

44 IM250 Prof. Eugênio Rosa O que é um Ref. Não-Inercial? Um referencial é inercial se ele não tiver aceleração em relação a um referencial ‘estacionário’. Um referencial NI é aquele que pode apresentar aceleração linear, angular, centrífuga ou de coriolis em relação a um referencial ‘estacionário’ Exemplos de referencial NI e I: 1. ref. seguindo VC que acelera em relação ref. estacionário 2. ref. seguindo VC que descreve um arco de curva 3. ref. Seguindo VC que se desloca com velocidade constante em relação a um ref. Estacionário, este é Inercial!

45 IM250 Prof. Eugênio Rosa A 2 a Lei de Newton Para referenciais NI é necessário relacionar a aceleração do referencial NI (xyz) a um referencial estacionário (XYZ). A variação de quantidade de movimento de um sistema é igual a somatória das forças externas desde que o referencial seja Inercial.

46 IM250 Prof. Eugênio Rosa Posição Relativa O ref (xyz) gira com  e é localizado pelo vetor posição R. A posição do sistema P XYZ = R + r O problema fundamental é estabelecer a aceleração relativa do referencial NI a um estacionário. X Y Z y x z R P r  sistema

47 IM250 Prof. Eugênio Rosa Movimento Relativo A velocidade observada no ref (XYZ) é dada pela velocidade de translação de (xyz) (dR/dt = V rf ) mais a velocidade de translação e rotação do sistema em relação ao ref (xyz) (V xyz e  x r) X Y Z y x z R P r  sistema

48 IM250 Prof. Eugênio Rosa Aceleração Inercial x Não-Inercial A aceleração do ref. (XYZ) é obtida derivando-se as velocidades relativas. Aceleração Inercial Acel. retilínea do ref (xyz) Aceleração de rotação ref (xyz) Aceleração linear medida no ref (xyz) Aceleração angular (xyz) Aceleração centrífuga Aceleração retilínea no (xyz) Aceleração Coriolis

49 IM250 Prof. Eugênio Rosa A aceleração Inercial é composta por duas parcelas: –(1) a xyz : acel. do sistema medida do referencial N.I., –(2) a rel : termo de aceleração relativa, Aceleração Inercial x Não-Inercial O termo (1) é simplesmente a aceleração medida do referencial N.I. Se o referencial estiver com velocidade linear constante então a XYZ = a xyz e a rel = 0 O termo (2) compõe com a a xyz a aceleração inercial! Ele tem 4 parcelas : (i) aceleração linear e (ii) aceleração devido a rotação do referencial:

50 IM250 Prof. Eugênio Rosa Como fica a Eq. da Massa? Nada muda! Lembre-se porém que pode ser mais simples de realizar a análise a partir do referencial inercial móvel (xyz).

51 IM250 Prof. Eugênio Rosa Como fica a Eq. da Q. Movimento? As velocidades são medidas do referencial (xyz), onde a aceleração relativa, a rel é,

52 IM250 Prof. Eugênio Rosa Casos Especiais de a rel 2. Sistemas Não-Inerciais com deslocamento linear apenas (  = 0): 1. Sistemas Não-Inerciais caso Geral: 3. Sistemas Não-Inerciais com rotação constante apenas:

53 IM250 Prof. Eugênio Rosa Alguns devaneios sobre os efeitos do termo de aceleração de Coriolis…

54 IM250 Prof. Eugênio Rosa A aceleração de Coriolis Enquanto que os termos de aceleração retilínea, rotação e centrífugo são relativamente familiares, o mesmo não é verdade para o termo de Coriolis! O termo de Coriolis faz surgir uma força perpendicular ao plano definido pelos vetores velocidade e rotação.. Filme 1 Filme 2

55 IM250 Prof. Eugênio Rosa A aceleração de Coriolis Um jato de líquido num vaso cilíndrico sem e com rotação descreverá trajetórias diferentes devido ao termo de Coriolis Sem rotação: trajetória retilínea Com rotação: trajetória curva Vista lateral tanque Ñão deixe de assistir Rotating FlowsRotating Flows

56 IM250 Prof. Eugênio Rosa Porque os furacões no hemisfério N giram no sentido anti-horário e no S no sentido horário? Ciclone em Sta. Catarina, 2004 Sentido: horário Ciclone Fran, golfo do México, 1996 Sentido: anti- horário

57 IM250 Prof. Eugênio Rosa Estrutura do Furacão (Hurricane) Próximo ao solo, devido a rotação das massas, é criado uma região de baixa pressão que faz com que o ar seja succionado em direção ao ‘olho’

58 IM250 Prof. Eugênio Rosa Hemisfério Norte É a ação da aceleração de Coriolis e a rotação do planeta que produzem o sentido da rotação. V xyz   Vista lateral

59 IM250 Prof. Eugênio Rosa EXEMPLOS

60 IM250 Prof. Eugênio Rosa C.S. (1)(2) Patm P1P1 F x <0 Veja no link: Veja no link: força de reação de jato de água, causada por um bocal, é capaz de levantar um carro.

61 IM250 Prof. Eugênio Rosa Exemplo Determine a força de arrasto em uma placa plana devido ao atrito viscoso. Considere regime permanente. A velocidade em (a-b) é uniforme e vale Uo, a velocidade em (c-d) é variável e descrita por u(y). A pressão é atmosférica. Encontre uma expressão da força de arrasto em função do perfil de velocidades. L é a largura da placa UoUo u(y)  (a) (b) (d) (c) x y S.C.

62 IM250 Prof. Eugênio Rosa Efeitos de Mudança de Direção na Quantidade de Movimento

63 IM250 Prof. Eugênio Rosa 4.58 – Água escoa em regime permanente através de um cotovelo de 180 o. Na entrada do cotovelo a pressão manométrica é 96 kPa. Água é descarregada para a atmosfera. Admita que as propriedades são uniformes nas seções de entrada e saída, A 1 = 2600mm 2, A 2 =650mm 2 e V 1 =3,05 m/s. Determine a componente horizontal da força necessária para manter o cotovelo no lugar. F

64 IM250 Prof. Eugênio Rosa HOW IS LIFT GENERATED? Lift occurs when a moving flow of fluid is turned by a solid object. When the flow is turned in one direction it causes a change in the momentum flux which, in turn, requires an equal force in the opposite direction (THE LIFT), according to Newton's Third Law of action and reaction.

65 IM250 Prof. Eugênio Rosa HOW IS LIFT GENERATED? If one draws a control surface C.S. encompassing a solid body which by some means deflects the flow downward, there must be a vertical net force acting on the C.S. accordingly to the Newton’s Law: In equilibrium, the lift force is equal to the body weight: L = W! Momentum flux face N weight Control Surface Momentum flux face S Momentum flux face E Momentum flux face W

66 IM250 Prof. Eugênio Rosa Animais com propulsão baseada na sucção-injeção Água viva (jellyfish) filme Polvo (octopus) filme Efeitos de Sucção e Injeção na Quantidade de Movimento

67 IM250 Prof. Eugênio Rosa SUCÇÃO X INJEÇÃO (filme) Diferençasfilme Área de baixa pressão Área de pressão atmosf Área Baixa Pressão: linhas de corrente radiais em sentido ao centro. Descarga de um Jato: linhas de corrente paralelas a pressão atmosférica.

68 IM250 Prof. Eugênio Rosa Superfície de Controle Deformável

69 IM250 Prof. Eugênio Rosa Ex – Determine a freqüência natural de oscilação de um tubo e U. Despreze o atrito. FILME. FILME h+h+ h-h- H g z L Considere: Uma S.C. se movendo com a interface livre do líquido: v r =v f -v b =0 Tubo com seção transversal constante e igual a A Velocidade no tubo igual a taxa de variação do nível, V = dh/dt

70 IM250 Prof. Eugênio Rosa Referencial Não Inercial

71 IM250 Prof. Eugênio Rosa O carro com massa inicial M 0 parte do repouso propelido pelo jato horizontal (V j, A j e  ) que sai de seu reservatório a velocidade constante. A pista é horizontal e não há atrito nas rodas nem resistência do ar ao movimento. A) Determine a velocidade em função do tempo e a aceleração. Resposta: A) U/V j = Ln[1/(1-t*)] onde t* =t/  e  = (M 0 /m) U M0M0 VjAjVjAj Obs.: V j é a velocidade do jato para um observador que se move com o carro

72 IM250 Prof. Eugênio Rosa Exemplo I – Um carro com massa inicial M 0 é feito por um tubo de área A com um comprimento horizontal L e um vertical h 0. Na sua extremidade tem uma válvula de abertura rápida e a água está armazenada numa altura h 0. A) determine a equação para movimento do carro ao abrir a válvula. B) faça uma análise do movimento considerando que após os instantes iniciais de abertura da válvula o nível de água varia linearmente com o tempo (observação experimental) Resposta: A) -  ALd 2 h/dt 2 +  A(dh/dt)^2 = -MdU/dt V L h(t) h0h0 S.C. se movo junto com o carro Ref N.I. Move com Vcarro


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